协方差性质
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2023年3月4日发(作者：三角函数常用公式)古典概型
我们称具有下列两个特征的随机试验模型为古典概型。
1.随机试验只有有限个可能的结果;
2.每一个结果发生的可能性大小相同.
定义1设BA,是两个事件,且0)(AP,则称
)(
)(
)|(
AP
ABP
ABP
二、乘法公式
由条件概率的定义立即得到:
)0)(()|()()(APABPAPABP
(2)
注意到BAAB,及BA,的对称性可得到:
)0)(()|()()(BPBAPBPABP
(3)
全概率公式
11
()()(|)()(|)
nn
PBPAPBAPAPBA
四、贝叶斯公式
()()(|)
(|),1,2,,
()()(|)
iii
i
jj
j
PABPAPBA
PABin
PBPAPBA
定义设
CBA,,
为三个事件,若满足等式
),()()()(
),()()(
),()()(
),()()(
CPBPAPABCP
CPBPBCP
CPAPACP
BPAPABP
则称事件CBA,,相互独立.
定理3（伯努利定理）
(1),(0,1,,).kknk
nn
PkCppkn
首次发生的概率为
).,,1(,)1(1nkppk
离散型随机变量的所有可能取值为有限个或者无穷可列个；
而非离散型随机变量的取值比较复杂，它的所有可能取值不
能够一一列举出来。
3、泊松分布
如果随机变量X的分布律为
{}(0),0,1,2,...
!
ke
PXkk
k
几何分布
如果随机变量X的分布律为
1{}1,1,2,...kPXkppk
分布函数的性质
1.单调非减.若21
xx
,则
)()(
21
xFxF
；
2.;1)(lim)(,0)(lim)(
xFFxFF
xx
3.右连续性.即
).()(lim
0
0
xFxF
xx
离散型随机变量的分布函数
例3设随机变量X的分布律为
345
,
0.10.30.6
i
X
p
求
)(xF.
解}{)(xXPxF
当3x时，,}{xX故
()0FxPXx
当34x时，(){}{3}0.1FxPXxPX
当45x时,(){3}{4}0.10.30.4FxPXPX
当2x时，(){3}{4}{5}1FxPXPXPX
故
0,3
0.1,34
(),
0.4,45
1,5
x
x
Fx
x
x
连续型随机变量及其概率密度
1、定义如果对随机变量X的分布函数)(xF,存在非负可
积函数)(xf,使得对于任意实数x有
.)(}{)(
x
dttfxXPxF
1.对一个连续型随机变量X,若已知其密度函数
)(xf
,则根据定义,可求得其分布函数
)(xF
,同时,还可
求得
X
的取值落在任意区间],(ba上的概率:
b
a
dxxfaFbFbXaP)()()(}{
2.连续型随机变量X取任一指定值)(Raa的概率为0.
3.若)(xf在点x处连续,则
)()(xfxF
例2设随机变量X的分布函数为
x
xx
x
xF
1,1
10,
0,0
)(2
求(1)概率}7.03.0{XP;(2)X的密度函数.
解由连续型随机变量分布函数的性质,有
(1))3.0()7.0(}7.03.0{FFXP
;4.03.07.022
(2)X的密度函数为
)()(xFxf
x
xx
x
1,0
10,2
0,0
.
,0
10,2
其它
xx
例3设随机变量X具有概率密度
.,0
,43,
2
2
,30,
)(
其它
x
x
xkx
xf
}.2/71{)3();()2(;)1(XPxFXk求的分布函数求确定常数
解(1)由
,1)(dxxf得
,1
2
2
4
3
3
0
dx
x
kxdx
解得,6/1k于是X的概率密度为
.
,0
43,
2
2
30,
6
)(
其它
x
x
x
x
xf
(2)X的分布函数为
)(xF
4,1
43,
2
2
6
30,
6
0,0
3
03
0
x
xdt
t
dt
t
xdt
t
x
x
x
.
4,1
43,4/23
30,12/
0,0
2
2
x
xxx
xx
x
(3)
2/7
1
)(}2/71{dxxfXP
2/7
3
3
12
2
6
1
dx
x
xdx
2/7
3
2
3
1
2
4
2
12
1
x
xx
,
48
41
或
)1()2/7(}2/71{FFXP.48/41
均匀分布
定义若连续型随机变量X的概率密度为
其它,0
,
1
)(
bxa
ab
xf
则称X在区间
),(ba
上服从均匀分布,记为
),(~baUX
.
均匀分布
例5有一同学乘出租车从学校到火车站赶乘火车，火车
是18：30发车，出租车从学校开出的时间是18：00，若出
租车从学校到火车站所用的时间
15,30XU,且从下出租车到
上火车还需9分钟，求此人能赶上火车的概率是多少？
解若要赶上火车，则出租车行驶的时间最多只能有21
分钟，由X的密度函数
1
,1530
()
15
0,
x
fx
其它
可得
{21}PX2121
15
12
155
fxdxdx
即此人能赶上火车的概率只有40%
指数分布
定义若随机变量X的概率密度为
0
.,0
,0,
)(
其它
xe
xf
x
正态分布
定义若随机变量
X
的概率密度为
.,
2
1
)(2
2
2
)(
xexf
x
其中和
)0(
都是常数,则称
X
服从参数为
和
2
的正态分布.记为
).,(~2NX
标准正态分布表的使用：
（1）表中给出了
0x
时
)(x
的数值,当
0x
时,
利用正态分布的对称性,易见有
);(1)(xx
（2）若
),1,0(~NX
则
);()(}{abbXaP
3）若),(~2NX,则),1,0(~N
X
Y
故X的分布函
数
;}{)(
xxX
PxXPxF
b
Y
a
PbXaP}{
.
ab
例10设某项竞赛成绩NX~（65,100），若按参赛人数的10%
发奖，问获奖分数线应定为多少？
解设获奖分数线为,
0
x则求使1.0}{
0
xXP成立的.
0
x
)(1}{1}{
000
xFxXPxXP
,1.0
10
65
10
x
即
,9.0
10
65
0
x
查表得
,29.1
10
65
0
x
解得
,9.77
0
x
故
分数线可定为78分.
联合分布函数的性质:
(1)),(yxF关于x和y均为单调非减函数,即
对任意固定的,y当
),,(),(,
1212
yxFyxFxx
对任意固定的,x当
);,(),(,
1212
yxFyxFyy
（2）,1),(0yxF且
对任意固定的,y
,0),(yF
对任意固定的
,0),(,xFx
;1),(,0),(FF
(3)),(yxF关于x和y均为右连续,即
(0,)(,),(,0)(,).FxyFxyFxyFxy
（4）对
1212
,xxRyyR，有
22122111
,,,,0FxyFxyFxyFxy
设),(YX的联合分布函数为
,Fxy，关于关于X，Y的边缘分布
函数分别为
,
XY
FxFy，则有
,,limX
y
FxPXxPXxYFxy
,,limY
x
FyPYyPXYyFxy
X和Y相互独立的等价条件：),()(),(yFxFyxF
YX
即
,
X
FxFx，
,
Y
FyFy
例1(设二维随机变量),(YX的分布函数为
yx
y
C
x
BAyxF,,
3
arctan
2
arctan),(
(1)试确定常数
.,,CBA
(2)求事件}30,2{YX的概率.
（3）求关于X，Y的边缘分布函数
（4）讨论X，Y的相互独立性
解(1)由二维随机变量的分布函数的性质,可得
,1)2/)(2/(),(CBAF
,0)2/)(2/(),(CBAF
,0)2/)(2/(),(CBAF
由这三个等式中的第一个等式知,0A,02/B,02/C
故由第二、三个等式知,02/B,02/C
于是得,2/CB2/1A
故),(YX的分布函数为.
3
arctan
22
arctan
2
1
),(
2
yx
yxF
(2)由(1)式得
}30,2{YXP)0,2()3,2()0,()3,(FFFF.16/1
二维连续型随机变量及其概率密度函数
,),(),(
xy
dsdttsfyxF
概率密度函数),(yxf的性质:
;0),()1(yxf
;1),(),()2(
Fdxdyyxf
(3)设
D
是
xOy
平面上的区域,点),(YX落入
D
内的
概率为
D
dxdyyxfDyxP),(}),{(
X是连续型随机变量,且其密度函数为:
,),()(
dyyxfxf
X
Y是连续型随机变量,且其密度函数为:
dxyxfyf
Y
),()(
,
分别称
)(xf
X和
)(yf
Y
为),(YX关于X和
Y
的边缘密度函
数.
(4)若),(yxf在点),(yx连续,则有
).,(
),(2
yxf
yx
yxF
例2设
),(YX
的概率密度是
其它,0
0,10),2(
),(
xyxxcy
yxf
求(1)
c
的值;(2)两个边缘密度.
解(1)由
1),(
dxdyyxf
确
定
.c
dxdyxcy
x
0
1
0
)2(
1
0
2]2/)2([dxxxc
124/5c
.5/24c
(2)
),2(
5
12
)2(
5
24
)(2
0
xxdyxyxf
x
X
10x
,
2
2
2
3
5
24
)2(
5
24
)(
2
1
y
yydxxyyf
y
Y
10y
即
其它,0
10),2(
5
12
)(
2xxx
xf
X
.
,0
10,
2
2
2
3
5
24
)(
2
其它
y
y
yy
yf
Y
二、连续型随机变量的数学期望
定义设X是连续型随机变量,其密度函数为)(xf,如果
dxxxf)(
绝对收敛,定义
X
的数学期望为
.)()(
dxxxfXE
方差的定义
定义1设
X
是一个随机变量,若2)]([(XEXE存在,
则称它为
X
的方差,记为
.)]([)(2XEXEXD
22)]([)()(XEXEXD
.
1.设
C
常数,则
0)(CD;
2.若
X
是随机变量,若
C
是常数,则
);()(2XDCCXD
3.设YX,是两个随机向量,若
YX,
相互独立,则
).()()(YDXDYXD
4、
0DX的充分必要条件是
1PXC
一、协方差的定义
定义设),(YX为二维随机向量,若
)]}()][({[YEYXEXE
存在,则称其为随机变量X和Y的协方差,记为),(YXCov
即)]}.()][({[),cov(YEYXEXEYX
)()()(),cov(YEXEXYEYX
例2设连续型随机变量),(YX的密度函数为
其它,0
10,8
),(
yxxy
yxf
求
),cov(YX
和
)(YXD
.
解由),(YX的密度函数可求得其边缘密度函数分别为:
,
,0
10),1(4
)(
2
其它
xxx
xf
X
,
,0
10,4
)(
3
其它
yy
yf
Y
于是
dxxxfXE
X
)()(
1
0
2)1(4dxxxx,15/8
dyyyfYE
Y
)()(
1
0
34dyyy
,5/4
dxdyyxxyfXYE),()(
11
0
8
x
dyxyxydx,9/4
从而
)()()(),cov(YEXEXYEYX,225/4
又
dxxfxXE
X
)()(22
1
0
22)1(4dxxxx
,3/1
dyyfyYE
Y
)()(22
1
0
324dyyy
,3/2
所以22)]([)()(XEXEXD,225/11
,75/2)]([)()(22YEYEYD
故
),cov(2)()()(YXYDXDYXD
.9/1
1.协方差的基本性质
);(),cov()1(XDXX
);,cov(),cov()2(XYYX
),cov(),cov()3(YXabbYaX,其中ba,是常数;
CXC,0),cov()4(
为任意常数;
).,cov(),cov(),cov()5(
2121
YXYXYXX
(6)若X与Y相互独立时,则
.0),cov(YX
)()(
),(
YDXD
YXCov
XY