曲面的切平面
-
2023年3月4日发(作者：科学是美丽的教案)二．单项选择题
1．
0
()Pt是曲线r=
()rt
上一点，
1
P是曲线上P点附近的一点，
S为弧
1
PP的长，
为曲线在P点和
1
P点的切向量的夹角，k(s)
是曲线在P点的曲率。则下面不等于
0
lim||
ss
。
①
0
()kt②|
0
()rt|
③
0
|()|t④
0
()t
2．曲线r=
()rs
在P点的基本向量为，
，。在P点的
曲率k(s)，挠率为
()s，则=。
①k(s)②-k(s)+()s
③-()s④k(s)-()s
3．曲线r=
()rs
在P（s）点的基本向量为，
，。在P
点的曲率k(s)，挠率为
()s，则
=.
①k(s)
②
()s
③-k(s)+()s④-()s
4.曲线r=
()rs
在P（s）点的基本向量为，
，。在
P点的曲率k(s)，挠率为
()s，则下式不正确。
①
=-k(s)
②=-k(s)+
()s
③
=k(s)
④
=-
()s
5．曲线r=
()rs
在P（s）点的基本向量为，
，。
在P点的曲率k(s)，挠率为
()s，则k(s)=。
①
②
③
④
6．曲线r=
()rs
在P（s）点的基本向量为，
，。
则下式不正确。
①
=2
②=3-2
③=-3+2④
=2
7．曲线r=()rs在P（s）点的基本向量为，
，。
在P点的曲率k(s)，挠率为()s，则()s=。
①
②
③④-
8．曲线r=
()rt
在P点的曲率k，挠率为
，则下式不
正确。
①
2
|'''|
|'|
rr
k
r
②
3
|'''|
|'|
rr
k
r
③||kr④
2
(','',''')
(''')
rrr
rr
9．曲线r=
()rt
在P点的曲率k，挠率为
，则下式不
正确。
①
2
(,,)rrr
r
②
2
(,,)rrr
k
③
2
(','',''')
(''')
rrr
rr
④
(','',''')
|'''|
rrr
rr
10．设曲线(C)：r=()rt，以下不是(C)为平面曲
线的充要条件。
①(C)的密切平面固定；②(C)的副法向量=常矢
③(C)的曲率k=0；④(C)的挠率
=0。
11．已知曲线r=
()rt
在
0
()rt点的挠率为
，则
是
时，曲线在
0
()rt点附近是右旋的。
①—2②2
③—
2
④—
2
12．若曲线的所有密切平面经过一定点，则此曲线是
。
①直线；②平面曲线；
③球面曲线；④圆柱螺线。
13．若曲线的曲率、挠率都为非零常数，则曲线
是。
①平面曲线；②球面曲线；
③圆柱螺线；④直线。
14．平面曲线(C)的法线和它的渐缩线()C在对应点
处。
①相交；②相离；
③相切；④关系不确定。
15．平面曲线(C)上两点的曲率半径之差渐缩线
上对应点之间的弧长。
①等于；②大于；
③小于；④不等于。
16．曲线(C)是一般螺线，则以下命题不正确。
①(C)的切线与一固定方向成固定角；
②(C)的副法线与一固定方向成固定角；
③(C)的主法线与一固定方向垂直；
④(C)的副法线与一固定方向垂直。
17．曲线(C)在条件下不一定是一般螺线。
①其切向量与一固定方向成固定角；
②其主法向量与一固定方向成固定角；
③其副法向量与一固定方向成固定角；
④其曲率与挠率之比为常数。
18．若曲线的切向与一固定方向成固定角，则以下命题不
正确。
①曲线的主法线与固定方向垂直；
②曲线的副法线与固定方向成定角；
③曲线的副法线与固定方向垂直；
④曲线的曲率与挠率之比为常数。
19．下述命题不正确的是。
①若曲线(C)的密切平面固定，则(C)是平面曲线；
②若曲线(C)的密切平面垂直于某条固定直线，则(C)是平面
曲线；
③若曲线(C)的挠率()s=0，则(C)是平面曲线；
④若曲线(C)的从切平面平行于固定直线，则(C)是平面曲
线。
20．对曲面的第一基本形式222EduFdudvGdv，
2EGF
①>0；②<0；③≥0；④≤0。
21．球面
{coscos,cossin,sin}rRRR
的第一基本形
式I=。
①22222cosRdRd；②22222cosRdRd；
③22222sinRdRd；④22222sinRdRd。
22.正螺面
{cos,sin,}ruvuvbv
的第一基本形式是。
①2222()duubdv②2222()ubdudv
③222ududv④222duudv
23．正螺面{cos,sin,}ruvuvbv的第二基本形式是。
①
22
2
b
dudv
ub
②
22
b
dudv
ub
③2222()ubdudv④2222()duubdv
24．对于圆柱面{cos,sin,}rRRz，以下结论不正
确。
①坐标网是正交网；②沿同一直母线的切平面是同一个；
③其上高斯曲率为零；④其上没有抛物点。
25．以下量中，不是曲面的内蕴量。
①曲面上两曲线的夹角；②曲面上曲线的弧长；
③曲面上曲面域的面积；④曲面上一点沿一方向的法曲率。
26．曲面
(,),rruvn
是其单位法向量。下列第二类基本量的
计算中是不正确的。
①
uu
Lrr；②
uu
Lrn；③
uu
Lrn；④
uu
Lnr。
27．曲面
(,),rruvn
是其单位法向量。下列第二基本量的计
算中是不正确的。
①
uv
Mrn；②
uv
Mrn；③
uv
Mrn；④
vu
Mrn。
28．曲面(,),rrstn是其单位法向量。下列第二基本量的计
算中是不正确的。
①
tt
Nrn；②
tt
Nrn；③
tt
Nrn；④
tt
Nnr。
29．以下说法正确的是。
①法曲率是法截线的曲率；②法曲率大于等于零；
③法曲率是曲率向量
r
在主法向量
上的投影；
④法曲率的绝对值是法截线的曲率。
30．曲面(,)rruv在P点的第一第二基本形式分别为,。
过P点的曲线(C)在P点的曲率为k，曲面在P点沿(C)的方向(d)
的法曲率为
n
k，(C)在P点的主法线与曲面的法向
n
的夹角为，
则下式正确。
①
n
k
；②cos
n
kk；③
||
n
k
；④sin
n
kk。
31．在曲面的椭圆点处，。
①20LNM；②20LNM；
③20LNM；④L=M=N=0.
32.如果曲面上一点P处有20LNM,则点P是。
①椭圆点；②双曲点；③平点；④抛物点。
33．圆环面上的点是。
①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④或①或②或③。
34．一条有拐点的曲线绕一条直线旋转所得旋转曲面上的点
是。
①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④或①或②或③。
35．(C)是曲面S上的曲线,(C)上的点满足时，不一定
是渐近线。（其中
n
是沿(C)的法曲率，是第二基本形式，
g
是
测地曲率）
①0
n
K;②0;③K=0;④
g
K
=0.
36.椭圆抛物面上的点是。
①椭圆点；②双曲点；③平点；④抛物点。
37．曲面上的曲纹坐标网是渐近网的充要条件是。
①E=G=0;②L=N=0;③F=0;④M=0.
38.曲面上的曲纹坐标网是共轭网的充要条件是。
①F=0;②M=0;③L=N=0;④F=M=0.
39.曲面上的曲纹坐标网是正交网的充要条件是。
①F=0;②M=0;③E=G=0;④L=N=0.
40.曲面上的曲纹坐标网是曲率网的充要条件是。
①F=0;②M=0;③F=M=0;④L=N=0.
41．设L、N是曲面的第二类基本量，L=N=0是曲面的曲纹
坐标网为网的充要条件。
①正交网;②渐近网;③曲率线网;④半测地坐标网.
42．曲面在一点的单位法向量是
n，在该点的一个方向
dr
是
主方向的充要条件是。(其中
r是另一方向)
①
0dndr；②r使
0ndr；
③r使
0dnr;④r使
0ndr
且
0drr.
43．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向
dr
是
主方向的充要条件是。(其中
r是另一方向)
①
0dndr；②r使
0ndr；
③r使
0dnr;④r使
0dnr
且
0drr。
44．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向
dr
是
主方向的充要条件是。(其中
r是另一方向)
①0dndr；②r使0ndr；
③r使0dnr;④dndr。
45．曲面在一点的单位法向量是n，在该点的一个方向dr是
主方向的充要条件是。(其中r是另一方向)
①
0dndr；②r使
0ndr；
③r使
0dnr;④
dn‖dr。
46．曲面在一点的单位法向量是
n，在该点的一个方向是
dr，
则
dndr
的充要条件是。(其中
r是另一方向)
①
0dnr；②r使
0drr；
③沿
dr
有0
n
；④r使
0dnr
且
0drr。
47．下列不是
:drdudv
与
:ruv
共轭的充要条
件。
①
0dnr；②
0ndr；
③0dndr;④
()0LduuMduvdvuNdvv。
48．F=M=0是曲纹坐标网为网的充要条件。
①正交网；②共轭网；③曲率网；④渐进网。
49.以下说法不正确的是。
①球面上的每个点都是圆点;②平面上的每个点都是平点;
③双曲抛物面上的点都是双曲点;④球面上也可以有双曲点。
50.以下结论不正确的是。
①球面上的每一条曲线是曲率线;
②平面上的每一条曲线是曲率线;
③圆柱面上的圆柱螺线是曲率线;
④旋转曲面上的纬圆是曲率线。
51．以下结论不正确的是（其中n是曲面的单位法向量）。
①在等距变换下，曲面的第一、第二基本量是不变的；
②如果dndr，则(d)是主方向；
③曲面上的直线既是渐近线又是测地线；
④曲面上的两方向
,drr共轭0dnr。
52．对于球面
{coscos,cossin,sin}rRRR，以下说
法不正确。
①坐标网是正交网；②其上任何曲线是曲率线；
③高斯曲率为常数；④其上没有测地线。
53．若曲面S上曲线(C)是平面曲线，则一定有(C)的恒
等于零。
①法曲率；②挠率
；③侧地曲率
g
；④曲率k.
54.球面上的大圆不可能是球面上的。
①测地线；②曲率线；③法截线；④渐近线。
55．在圆柱面上，圆柱螺线是。
①平面曲线；②曲率线；③测地线；④渐近线。
56．对于球面{coscos,cossin,sin}rRRR，以下说
法正确。
①其上也有渐近线；②其上曲率线也是测地线；
③其上测地线也是曲率线；④曲纹坐标网不是曲率网。
57．对于球面{coscos,cossin,sin}rRRR，以下说
法不正确。
①沿其上任何曲线的法线曲面是可展曲面；
②大圆上每一点处的测地曲率为零；
③高斯曲率是正常数；
④只有大圆是曲率线。
58．以下各项中不一定是测地线。
①球面上的大圆；②圆柱面上的圆柱螺线；
③旋转曲面上的经线；④旋转曲面的纬线。
59．球面
{coscos,cossin,sin}rRRR
的坐标曲线构
不成。
①正交的渐近网；②共轭网；
③曲率线网；④半测地坐标网。
60．下列曲面对所选参数，的坐标网是曲率线网。
①旋转曲面
{()cos,()sin,()}rttt，（()0t）；
②正螺面
{cos,sin,}ruub；
③抛物面22()zaxy；
④直纹面()()rauvbu。
61．对于圆柱面{cos,sin,}rRRz，以下说法不正确。
①坐标网是正交网；②坐标网是共轭网；
③坐标网是曲率网；④坐标网是渐近网。
62．对于正螺面{cos,sin,}ruvuvbv，以下说法不正
确。
①坐标网是正交网；②坐标网是共轭网；
③坐标网是半测地坐标网；④坐标网是渐近网。
63．对于正螺面
{cos,sin,}ruvuvbv，其坐标网不是。
①正交网；②曲率网；
③渐近网；④半测地坐标网。
64．曲面上有直线，则直线不一定是。
①渐近线；②曲率线；
③测地线；④法截线。
65．曲线是曲面S上非直线的渐近线，则在的每一点，
以下说法不正确。
①曲面的法线与的副法线重合；
②曲面的法线与的主法线垂直；
③曲面的切平面是曲线的密切平面；
④曲面的法线与的主法线重合。
66．对给定曲面(,)rruv，在给定点沿方向du:dv的法曲率
为
n
，第一基本量为E、F、G，第二基本量为L、M、N，则以
下条件中不是du:dv为渐近方向的充要条件。
①
n
=0；②2220LduMdudvNdv；
③II=0；④2220EduFdudvGdv。
67．曲面在每一点处的主方向。
①只有一个；②至少有两个；③只有两个；④也可能没有。
68．若曲面上的曲线恒有法曲率为零，则曲线一定是。
①渐近线；②平面曲线；③曲率线；④测地线。
69．曲面上使0
ng
的曲线不一定是。
①直线；②渐近线；③曲率线；④测地线。
70．以下曲面中，上的直线是渐近线，也是测地线，
同时又是曲率线。
①柱面；②双曲抛物面；③单叶双曲面；④任意直纹面。
71．曲面上曲线的方向都是主方向，且在每点的主曲率
N
k=0，则沿的每点。
①一定曲率k=0；②不可能
ngN
；
③一定有法曲率
n
=0；④一定有测地曲率
g
=0。
72．曲面在一（非脐）点的主曲率是曲面在这点。
①沿主方向的法曲率；②所有方向法曲率中的最大值；
③所有方向法曲率中的最小值；④所有方向法曲率的平均值。
73．由方程
LEMF
MFNG
=0解得的k是。
①高斯曲率；②一般法曲率；③测地曲率；④主曲率。
74．由方程
LEMF
MFNG
=0求得的k是。
①高斯曲率；②主曲率；③一般法曲率；④平均曲率。
75．在曲面上一点处高斯曲率K>0，则2LNM
。
①>0；②<0；③=0；④符号不确定。
76．若在曲面上一点2LNM<0，则在该点的高斯曲率
K。
①>0；②<0；③=0；④符号不确定。
77．若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为2，-
1
2
，则这
点是曲面的。
①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④圆点。
78．若曲面在其上一点处的两个主曲率分别为2，
1
2
，则这点
是曲面的。
①椭圆点；②双曲点；③抛物点；④脐点。
79．若在曲面上一点处有
LMN
EFG
，则这点是曲面
的。
①椭圆点；②平点；③圆点；④脐点。
80．在双曲点，曲面的两个主曲率
1
K与
2
K。
①同号；②异号；③同号或异号；④可能是零。
81．在抛物点，曲面的两个主曲率
1
K与
2
K。
①同号；②异号；③至少一个为零；④不全是零。
82．曲面
(,),rruvn
是其单位法向量。则下列项不是
曲面的第三类基本量。
①
uu
nn；②
uv
nn；③
vv
nn；④
uu
rn。
83．曲面
(,),rruvn
是其单位法向量，
222edufdudvgdv。则下列第三基本量的表示中是正
确的。
①
uv
enn；②
uv
fnn；③
uu
gnn；④
vv
gnn。
84．以下曲面上的点总有高斯曲率K>0。
①椭球面；②圆环面；③双曲面；④圆柱面。
85．下列曲面中，不一定是可展曲面。
①锥面；②曲线的切线曲面；③柱面；④曲线的主法线曲面。
86．下列曲面中，不一定是可展曲面。
①柱面；②曲面上沿曲率线的法线曲面；
③某曲线的切线曲面；④曲线的副法线曲面。
87．下列直纹曲面中，是可展曲面。
①锥面；②挠曲线的主法线曲面；
③单叶双曲面；④双曲抛物面。
88．下列直纹曲面中，是可展曲面。
①单叶双曲面；②挠曲线的副法线曲面；
③挠曲线的切线曲面；④双曲抛物面。
89．下列曲面中，不一定是可展曲面。
①任意曲线的切线曲面；②曲面沿曲率线的法线曲面；
③平面曲线的副法线曲面；④圆柱螺线的主法线曲面。
90．下列曲面中，不与平面等距对应。
①锥面；②正螺面；③柱面；④可展曲面。
91．下列曲面中，不与平面等距对应。
①可展曲面；②高斯曲率为零的曲面；
③单参数平面族的包络；④圆柱螺线的主法线曲面。
92．曲面
(,)rruv
上，曲线(C)在P点的基本向量为，
，
曲面在P点的单位法向量为n，则测地曲率
g
k。
①kn
；②(,,)kn；③(,,)rrn
；④(,,)kn。
93．曲面
(,)rruv
上，曲线(C)在P点的基本向量为，
，
，曲面在P点的单位法向量为n，n。则曲线(C)在P点
的测地曲率
g
k=。
①k；②kn
；③k；④k
。
94．曲面(,)rruv上，曲线(C)在P点的基本向量为，
，
，曲面在P点的单位法向量为n，n。则曲线(C)在P点
的测地曲率
g
k=。
①k；②kn
；③
kn；④
k。
95．曲面
(,)rruv
上，曲线(C)在P点的基本向量为，
，
，曲面在P点的单位法向量为n，n。则曲线(C)在P点
的测地曲率
g
k=。
①
kr
；②krn；③rn；④r。
96．对于曲面上曲线(C)，为零时，(C)不一定是测地线。
①(C)的曲率；②沿(C)的高斯曲率；
③(C)的测地曲率；④沿(C)的法曲率和曲率。
97．曲面S上曲线(C)在P点的曲率为k,主法向量为
，曲
面（S)在P点的单位法向量为n，
与n的夹角为，则曲线(C)
在P点的测地曲率
g
k=。
①cosk；②sink；③sink；④cosk。
98．曲面上曲线(C)在其上一点的以下曲率中，一定不
变号。
①曲率
；②高斯曲率K；③法曲率
n
；④测地曲率
g
。
99．对于曲面上非直线的曲线，不可能。
①既是曲率线，又是渐近线；②既是曲率线，又是测地线；
③既是测地线，又是渐近线；④既是法截线，又是测地线。
100．两曲面沿一曲线相切，则以下结论中不成立。
①同为（或同不为）两曲面的曲率线；
②同为（或同不为）两曲面的测地线；
③同为（或同不为）两曲面的渐近线；
④两曲面同为（或同不为）可展曲面。
101．下列曲线(C)中，的曲线(C)不一定是曲面上的测
地线。
①不可展直纹面上的直母线；②圆环面上的最大圆(C)；
③旋转曲面上的经线(C)；④旋转曲面上的纬圆(C)。
102．下列曲面中，的坐标网不是半测地坐标网。
①圆柱面{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面{()cos,()sin,()}rttt；
③正螺面{cos,sin,}ruvuvbv；
④椭圆抛物面22{,,()}rxyaxy。
103．下列曲面中，的坐标网不一定是半测地坐标网。
①圆柱面{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面
{()cos,()sin,()}rttt；
③直纹面()()rauvbu
；
④球面
{coscos,cossin,sin}rRRR。
104．下列曲面中，的坐标网不是半测地坐标网。
①球面
{coscos,cossin,sin}rRRR
；
②旋转曲面
{()cos,()sin,()}rttt；
③双曲抛物面22{,,)}ruvuv；④平面在极坐标系下。
105．下列曲面中，的坐标网不一定是正交网。
①圆柱面{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面{()cos,()sin,()}rttt；
③直纹面()()rauvbu
；
④球面{coscos,cossin,sin}rRRR。
106．下列曲面中，的坐标网是渐近网。
①圆柱面{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面{()cos,()sin,()}rttt
③球面
{coscos,cossin,sin}rRRR；
④正螺面
{cos,sin,}ruvuvbv。
107．下列曲面中，的坐标网不是共轭网。
①圆柱面
{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面
{()cos,()sin,()}rttt
③球面
{coscos,cossin,sin}rRRR；
④正螺面
{cos,sin,}ruvuvbv。
108．下列曲面中，的坐标网不是共轭网。
①圆柱面{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面{()cos,()sin,()}rttt
③球面{coscos,cossin,sin}rRRR；
④不可展直纹面()()rauvbu
。
109．下列曲面中，的坐标网不是曲率网。
①圆柱面{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面{()cos,()sin,()}rttt
③球面
{coscos,cossin,sin}rRRR；
④不可展直纹面()()rauvbu
。
110．下列曲面中，的坐标网不是曲率网。
①圆柱面
{cos,sin,}rRRz；
②旋转曲面
{()cos,()sin,()}rttt
③球面
{coscos,cossin,sin}rRRR；
④正螺面
{cos,sin,}ruvuvbv。
111．在球面上，测地三角形的三内角之和。
①等于
；②大于或等于
；③大于
；④小于等于
。
112．在高斯曲率小于零的曲面上，测地三角形的三内角之
和。
①等于
；②大于或等于
；③小于
；④小于等于
。
113．下列不是曲面的内蕴性质或内蕴量。
①曲面的高斯曲率K;②曲面沿某方向的法曲率
n
k；
③曲面的测地曲率
g
k；④曲面的黎曼张量
mijk
R。
114．下列不是曲面的内蕴性质或内蕴量。
①曲面的克氏记号k
ij
;②曲面的黎曼张量l
ijk
R；
③曲面的第一类基本量E,F,G；④曲面的第二类基本量L,M,N。
115.下列不是曲面的内蕴性质或内蕴量。
①曲面上向量的平行移动;②曲面的可展性；
③曲面上的测地线；④曲面上的渐近线。