解微分方程
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2023年3月4日发(作者：三字经的意思)微分方程
什么是微分方程它是怎样产生的这是首先要回答的问题.
300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积
分学，是人类科学史上划时代的重大发现，而微积分的产生和发展，又与求解微分方程
问题密切相关.这是因为，微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律
的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的
全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某
种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系，而这种联系，用数学语言表达出来，
其结果往往形成一个微分方程.一旦求出这个方程的解，其运动规律将一目了然.下面的
例子，将会使你看到微分方程是表达自然规律的一种最为自然的数学语言.
例1物体下落问题
设质量为m的物体，在时间t=0时，在距地面高度为H处以初始速度v(0)=v0垂
直地面下落，求此物体下落时距离与时间的关系.
解如图1-1建立坐标系，设为t时刻物体的位置坐标.于是物体下落的速度为
加速度为
质量为m的物体，在下落的任一时刻所受到的外力有重力mg和空气阻力，当速度
不太大时，空气阻力可取为与速度成正比.于是根据牛顿第二定律
F=ma(力=质量×加速度)
可以列出方程
(·=）
其中k＞0为阻尼系数，g是重力加速度.
式就是一个微分方程，这里t是自变量，x是未知函数，是未知函数对t导数.现在，
我们还不会求解方程，但是，如果考虑k=0的情形，即自由落体运动，此时方程可化为
将上式对t积分两次得
其中和是两个独立的任意常数，它是方程的解.
一般说来，微分方程就是联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数之间的关
系式.如果其中的未知函数只与一个自变量有关，则称为常微分方程；如果未知函数是两
个或两个以上自变量的函数，并且在方程中出现偏导数，则称为偏微分方程.本书所介绍
的都是常微分方程，有时就简称微分方程或方程.
例如下面的方程都是常微分方程
（）
（）
(·=)（）
(′=)（）
在一个常微分方程中，未知函数最高阶导数的阶数，称为方程的阶.这样，一阶常微分方
程的一般形式可表为
（）
如果在中能将y′解出，则得到方程
（）
或（）
称为一阶隐式方程,称为一阶显式方程，称为微分形式的一阶方程.
n阶隐式方程的一般形式为
（）
n阶显式方程的一般形式为
在方程中，如果左端函数F对未知函数y和它的各阶导数y′,y″,…,y(n)的全体而言是
一次的，则称为线性常微分方程，否则称它为非线性常微分方程.这样，一个以y为未知
函数，以x为自变量的n阶线性微分方程具有如下形式：
（）
显然，方程是一阶线性方程；方程是一阶非线性方程；方程是二阶线性方程；方程是
二阶非线性方程.
通解与特解
微分方程的解就是满足方程的函数，可定义如下.
定义1.１设函数在区间I上连续，且有直到n阶的导数.如果把
代入方程，得到在区间I上关于x的恒等式，
则称为方程在区间I上的一个解.
这样，从定义可以直接验证：
1.函数y=x2＋Ｃ是方程在区间(-∞，+∞)上的解，其中C是任意的常数.
2.函数是方程在区间（-1,+1）上的解，其中C是任意常数.
又方程有两个明显的常数解y=±１，这两个解不包含在上述解中.
3.函数是方程在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意
常数.
4.函数是方程(１.７)在区间(-∞，+∞)上的解，其中和是独立的任意
常数.
这里，我们仅验证3，其余留给读者完成.事实上，在(-∞，+∞)上有
所以在（－∞，＋∞）上有
从而该函数是方程的解.
从上面的讨论中，可以看到一个重要事实，那就是微分方程的解中可以包含任意常
数，其中任意常数的个数可以多到与方程的阶数相等，也可以不含任意常数.我们把n
阶常微分方程的含有n个独立的任意常数C1，C2，…，Cn的解，
称为该方程的通解，如果方程的解不包含任意常数，则称它为特解.由隐式表
出的通解称为通积分，而由隐式表出的特解称为特积分.
由上面的定义，不难看出，函数和
分别是方程，和的通解，函数是方程的通积分，而函数
y=±１是方程的特解.通常方程的特解可对通解中的任意常数以定值确定，这种确定过
程，需要下面介绍的初始值条件，或简称初值条件.
初值问题
例1中的函数显然是方程的通解，由于和是两个任意常数，这表明方程有无数个
解，解的图像见下面的图a和图b所示.
图a（C1＞固定，C2＞0）图b（C1=0,C2＞0）
而实际经验表明，一个自由落体运动仅能有一条运动轨迹.产生这种多解性的原因是
因为方程所表达的是任何一个自由落体，在任意瞬时t所满足的关系式，并未考虑运动
的初始状态，因此，通过积分求得的其通解所描述的是任何一个自由落体的运动规律.
显然，在同一初始时刻，从不同的高度或以不同初速度自由下落的物体，
应有不同的运动轨迹.为了求解满足初值条件的解，我们可以把例1中给出的两个
初始值条件，即
初始位置x(0)=H初始速度
代入到通解中，推得
于是，得到满足上述初值条件的特解为
它描述了初始高度为H，初始速度为v0的自由落体运动规律.
求微分方程满足初值条件的解的问题称为初值问题.
于是我们称是初值问题
的解.
对于一个n阶方程，初值条件的一般提法是
其中是自变量的某个取定值，而是相应的未知函数及导数的给定
值.方程的初值问题常记为
初值问题也常称为柯希（Cauchy）问题.
对于一阶方程，若已求出通解，只要把初值条件
代入通解中，得到方程
从中解出C，设为，代入通解，即得满足初值条件的解.
对于n阶方程，若已求出通解后，代入初值条件，得到n
个方程式
如果能从式中确定出
，代回通解，即得所求初值问题的.
例2求方程
的满足初值条件的解.
解方程通解为
求导数后得
将初值条件代入，得到方程组
解出和得
故所求特解为
积分曲线
为了便于研究方程解的性质，我们常常考虑解的图象.一阶方程的一个特解
的图象是xoy平面上的一条曲线，称为方程的积分曲线，而通解的
图象是平面上的一族曲线，称为积分曲线族.例如，方程的通解+C是xoy平面上
的一族抛物曲线.而是过点(0，0)的一条积分曲线.以后，为了叙述简便，我们对解
和积分曲线这两个名词一般不加以区别.对于二阶和二阶以上的方程，也有积分曲线和积
分曲线族的概念，只不过此时积分曲线所在的空间维数不同，我们将在第4章详细讨论.
最后，我们要指出，本书中按习惯用
分别代表，
而
分别代表
本节要点：
1．常微分程的定义，方程的阶，隐式方程，显式方程，线性方程，非线性方程.
2．常微分方程解的定义，通解，特解，通积分，特积分.
3．初值问题及初值问题解的求法.
4．解的几何意义，积分曲线.