二项式定理
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2023年3月4日发(作者：想吃苹果的鼠小弟)10．4二项式定理
一、知识梳理
1.二项展开式的通项公式是解决与二项式定理有关问题的基础.
2.二项展开式的性质是解题的关键.
3.利用二项式展开式可以证明整除性问题，讨论项的有关性质，证明组合数恒等式，进行
近似计算等.
二、点击双基
1.已知（1－3x）9=a
0
+a
1
x+a
2
x2+…+a
9
x9，则｜a
0
｜+｜a
1
｜+｜a
2
｜+…+｜a
9
｜等于
A.29B.49C.39D.1
2.（2004年江苏，7）（2x+x）4的展开式中x3的系数是
A.6B.12C.24D.48
3.（2004年全国Ⅰ，5）（2x3－
x
1
）7的展开式中常数项是
A.14B.－14C.42D.－42
4.（2004年湖北，文14）已知（x2
3
+x3
1
）n的展开式中各项系数的和是128，则展开式中
x5的系数是_____________.（以数字作答）
5.若（x+1）n=xn+…+ax3+bx2+cx+1（n∈N*），且a∶b=3∶1，那么n=_____________.
三、例题精讲
【例1】如果在（x+
42
1
x
）n的展开式中，前三项系数成等差数列，求展开式中的有理
项.
【例2】求式子（｜x｜+
||
1
x
－2）3的展开式中的常数项.
思考讨论
（1）求（1+x+x2+x3）（1－x）7的展开式中x4的系数；
（2）求（x+
x
4
－4）4的展开式中的常数项；
（3）求（1+x）3+（1+x）4+…+（1+x）50的展开式中x3的系数.
四、闯关训练
（一）、基础达标
1.一串装饰彩灯由灯泡串联而成，每串有20个灯泡，只要有一只灯泡坏了，整串灯泡就不
亮，则因灯泡损坏致使一串彩灯不亮的可能性的种数为
A.20B.219C.220D.220－1
2.（2004年福建，文9）已知（x－
x
a
）8展开式中常数项为1120，其中实数a是常数，则
展开式中各项系数的和是
A.28B.38C.1或38D.1或28
3.（2004年全国Ⅳ，13）（x－
x
1
）8展开式中x5的系数为_____________.
4.（2004年湖南，15）若（x3+
xx
1
）n的展开式中的常数项为84，则n=_____________.
5.已知（xxlg+1）n展开式中，末三项的二项式系数和等于22，求n=
（二）、迁移体验
6.若（1+x）6（1－2x）5=a
0
+a
1
x+a
2
x2+…+a
11
x11.
求：（1）a
1
+a
2
+a
3
+…+a
11
；
（2）a
0
+a
2
+a
4
+…+a
10
.
7.在二项式（axm+bxn）12（a＞0，b＞0，m、n≠0）中有2m+n=0，如果它的展开式里最大
系数项恰是常数项.
（1）求它是第几项；（2）求
b
a
的范围.
8.在二项式（x+
42
1
x
）n的展开式中，前三项的系数成等差数列，求展开式中的有理项.
1.9)
x
1
x(的展开式中含3x的项是.
2.二项式10)xi3(的展开式中的第八项是………………………………（）
A.-135x3B.3645x2C.7ix3360D.3ix33240
3.24
75)53(的展开式中的整数项是…………………………………（）
A.第12项B.第13项C.第14项D.第15项
4.n)
2
2
x3(展开式中第9项是常数项，则n的值是…………………（）
A.13B.12C.11D.10
5.9)di2(的展开式中的第7项是………………………………………（）
A.2d2288B.-2d2288C.-672d3iD.672d3i
6.10
2
3)
x
1
x2(展开式的常数项是.
7.3)2
|x|
1
|x(|展开式的常数项是.
8.在18
3
)
x
b
b
x
(的展开式中，第项是中间项，中间项是.
9.已知（10+xlgx）5的展开式中第4项为106，求x的值.
（x-2）9的展开式中，第6项的二项式系数是……………………………（）
A.4032B.-4032C.126D.-126
10.若n)
11
1
x(的展开式中的第三项系数等于6，则n等于………………（）
A.4B.4或-3C.12D.3
11.多项式(1-2x)5(2+x)含x3项的系数是…………………………………（）
A.120B.-120C.100D.-100
12.求(x-1)-(x-1)2+(x-1)3-(x-1)4+(x-1)5的展开式中，x2的系数
13.二项式n
4
)
x
1
xx(的展开式中第三项系数比第二项系数大44，求第4项的系数.
14.在10)3x(的展开式中，x6的系数是……………………………（）
A.-276
10
CB.274
10
CC.-96
10
CD.94
10
C
15.在(x2+3x+2)5的展开式中，x的系数为…………………………（）
A.160B.240C.360D.800
16.(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50展开式中x3的系数是………………（）
A.3
51
CB.4
50
CC.4
51
CD.4
47
C
17.(1+x)+(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)10的展开式中，含x8的系数是…（）
A.10B.45C.54D.55
18.在8)
x
1
x(的展开式中，求x4的系数与x-4的系数之差.
19.(1-x)5(1+x+x2)4的展开式中，含x7项的系数是.
20.已知(1+
x
2
)n展开式中含x-2的项的系数为12，求n.
21.x(1-x)4+x2(1+2x)5+x3+(1-3x)7的展开式中，x4项的系数是
22.已知(2a3+
a
1
)n的展开式的常数项是第7项，则n的值为………………（）
A.7B.8C.9D.10
23.2.在(x2+3x+2)5的展开式中，x2的系数为………………………………（）
A.850B.640C.800D240
24.(x-
2
1
y-2z)8的展开式中x6yz的系数是………………………………（）
A.28B.16C.56D-16
25.设(1+x)3+(1+x)4+…+(1+x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50，则a3=………（）
A.3
51
CB.4
51
CC.3
50
C2D.4
50
C
26.数(1.05)6的计算结果精确到0.01的近视值是………………………（）
A.1.23B.1.24C.1.33D.1.44
27.在(ax+1)7的展开式中，(a>1)，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项，则a的值
是………………………………………………（）
A.1
5
10
B.1
5
10
C.2-
5
10
D.2+
5
10
28.(x+1)(2x+1)(3x+1)…(nx+1)的展开式中，x的系数是…………………（）
A.1n
n
CB.2
n
CC.2
1n
C
D.2
1n
C
29.(1+x+x2+x3)4的展开式中，奇次项系数和是………………………（）
A.64B.128C.120D.256
30.
!20
123181920
!4
17181920
!2
1920
C0
4
的值是（）
A.217B.218C.219D.220
31.(1-2x)15的展开式中的各项系数和是………………………（）
A.1B.-1C.215D.315
32.若(
x
1
x3)n展开式中第五项是常数项，则展开式中系数最大的项是.
33.13)xy
2
1
yx(展开式的中间项是.
34.(|x|+2
|x|
1
)3的展开式中，所有常数项的和是.
35.在(x2-x-1)n的展开式中，奇次项的系数和为-128，则系数最小的项是.
36.(a+b)n展开式中第四项与第六项的系数相等，则n为…………………（）
A.8B.9C.10D.11
37.二项式(1-x)4n+1的展开式系数最大的项是……………………………（）
A.第2n+1项B.第2n+2项C.第2n项D第2n+1项或2n+2项
38.若(a+b)n的展开式中，各项的二项式系数和为8192，则n的值为………（）
A16B.15C.14D.13
39.(a+b)2n的展开式中二项式系数最大的是………………………………（）
A.第n项B.第n项或第n+1项C.第n+1项
D.当n为偶数时，是第n+1项；当n为奇数时，是第n项.
40.(a-b)99的展开式中，系数最小的项是……………………………………（）
A.第1项B.第50项C.第51项D.第50项与第51项
41.7
7
3
7
2
7
1
7
CCCC.
42.7.7
8
5
8
3
8
1
8
CCCC=.
43.若(a+a)n的展开式中，奇数项的系数和等于512，求第八项.
44.9.n
3
)
x
1
x(的展开式的各项系数和为32，求这个展开式的常数项.