平面向量数量积
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2023年3月3日发(作者：经典爱情诗)精品文档
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绝密★启用前
2018年01月19日214****9063的高中数学组卷
试卷副标题
考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx
题号一二三总分
得分
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人得分
一．选择题（共2小题）
1．若向量，满足，，则•=（）
A．1B．2C．3D．5
2．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且
⊥，则实数的值为（）
A．B．C．6D．4
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第Ⅱ卷（非选择题）
请点击修改第Ⅱ卷的文字说明
评卷人得分
二．填空题（共6小题）
3．设=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，则m=．
4．已知平面向量的夹角为，且||=1，||=2，若（）
），则λ=．
5．已知向量，，且，则=．
6．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=．
7．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=．
8．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|=．
评卷人得分
三．解答题（共6小题）
9．化简：
（1）；
（2）．
10．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与
的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若
+，求λ+μ的值．
11．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF
的交点，若，试用，表示、、．
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12．在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角△
ABO，使∠B=90°，求点B和向量的坐标．
13．已知=（1，1），=（1，﹣1），当k为何值时：
（1）k+与﹣2垂直？
（2）k+与﹣2平行？
14．已知向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，
（1）求•；
（2）求|+|．
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2018年01月19日214****9063的高中数学组卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共2小题）
1．若向量，满足，，则•=（）
A．1B．2C．3D．5
【分析】通过将、两边平方，利用||2=，相减即
得结论．
【解答】解：∵，，
∴（+）2=10，（﹣）2=6，
两者相减得：4•=4，
∴•=1，
故选：A．
【点评】本题考查向量数量积运算，注意解题方法的积累，属于基础题．
2．已知向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，且
⊥，则实数的值为（）
A．B．C．6D．4
【分析】根据两个向量垂直的性质、两个向量的数量积的定义，先求得
的值，再根据=0求得实数的值．
【解答】解：∵向量||=3，||=2，=m+n，若与的夹角为60°，
∴•=3•2•cos60°=3，
∴=（﹣）•（m+n）=（m﹣n）•﹣m+n•
=3（m﹣n）﹣9m+4n=﹣6m+n=0，
∴实数=，
故选：A．
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
2
【点评】本题主要考查了向量垂直与数量积的关系、向量三角形法则，考查
了推理能力与计算能力，属于中档题．
二．填空题（共6小题）
3．设=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，则m=﹣1．
【分析】利用向量垂直的性质直接求解．
【解答】解：∵=（2m+1，m），=（1，m），且⊥，
∴=2m+1+m2=0，
解得m=﹣1．
故答案为：﹣1．
【点评】本题考查实数值的求法，考查向量垂直的性质等基础知识，考查运
算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
4．已知平面向量的夹角为，且||=1，||=2，若（）
），则λ=3．
【分析】令（）•（）=0列方程解出λ的值．
【解答】解：=1×2×cos=﹣1，
∵（）），
∴（）•（）=0，即λ﹣2﹣（2λ﹣1）=0，
∴λ+（2λ﹣1）﹣8=0，
解得λ=3．
故答案为：3
【点评】本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．
5．已知向量，，且，则=．
【分析】，可得=0，解得m．再利用数量积运算性质即可得出．
【解答】解：∵，∴=6﹣2m=0，
解得m=3．
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∴=（6，﹣2）﹣2（1，3）=（4，8）．
∴==4．
故答案为：．
【点评】本题考查了向量数量积运算性质、向量垂直与数量积的关系，考查
了推理能力与计算能力，属于基础题．
6．已知向量=（﹣1，2），=（m，1），若向量+与垂直，则m=7．
【分析】利用平面向量坐标运算法则先求出，再由向量+与垂直，利
用向量垂直的条件能求出m的值．
【解答】解：∵向量=（﹣1，2），=（m，1），
∴=（﹣1+m，3），
∵向量+与垂直，
∴（）•=（﹣1+m）×（﹣1）+3×2=0，
解得m=7．
故答案为：7．
【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意平面
向量坐标运算法则和向量垂直的性质的合理运用．
7．已知向量，的夹角为60°，||=2，||=1，则|+2|=2．
【分析】根据平面向量的数量积求出模长即可．
【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||=2，||=1，
∴=+4•+4
=22+4×2×1×cos60°+4×12
=12，
∴|+2|=2．
【解法二】根据题意画出图形，如图所示；
结合图形=+=+2；
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
4
在△OAC中，由余弦定理得
||==2，
即|+2|=2．
故答案为：2．
【点评】本题考查了平面向量的数量积的应用问题，解题时应利用数量积求
出模长，是基础题．
8．已知两个单位向量，的夹角为60°，则|+2|=．
【分析】根据平面向量数量积的定义与模长公式，求出结果即可．
【解答】解：两个单位向量，的夹角为60°，
∴•=1×1×cos60°=，
∴=+4•+4
=1+4×+4×1
=7，
∴|+2|=．
故答案为：．
【点评】本题考查了平面向量数量积的定义与模长公式的应用问题，是基础
题目．
三．解答题（共6小题）
9．化简：
（1）；
（2）．
【分析】根据向量的加法和减法的运算法则进行求解即可．
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【解答】解：（1）==；
（2）
=（3﹣+2﹣）﹣（++）
=﹣﹣﹣=．
【点评】本题主要考查向量的加法和减法的计算，根据加法和减法的运算法
则是解决本题的关键．
10．如图，平面内有三个向量，，，其中与的夹角为120°，与
的夹角为30°．且||=1，||=1，||=2，若
+，求λ+μ的值．
【分析】直接求λ+μ的值有难度，可换一角度，把利用向量加法的平行四
边形法则或三角形法则来表示成与共线的其它向量的和向量，再由平
面向量基本定理，进而求出λ+μ的值
【解答】解：如图，，
在△OCD中，∠COD=30°，∠OCD=∠COB=90°，
可求||=4，
同理可求||=2，
∴λ=4，μ=2，
∴λ+μ=6．
【点评】本题考查平面向量加法的平行四边形法则与三角形法则，及解三角
形，是一道综合题，是本部分的重点也是难点．夯实基础是关键
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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11．如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC，DC的中点，G为DE，BF
的交点，若，试用，表示、、．
【分析】由题意及图形知，本题考查用两个基向量，表示、、．故
利用向量运算的三角形法则与数乘的几何意义将三个向量用两个基向量表
示出来即可．
【解答】解：由题意，如图
连接BD，则G是△BCD的重心，连接AC交BD于点O则O是BD的中点，∴
点G在AC上．
∴
【点评】本题考点是向量数乘的去处及其几何意义，考查向量中两个基本运
算向量的三角形法则与向量的数乘运算定义，是考查向量基础运算的一道好
题，做题过程中要注意体会向量运算规则的运用．
12．在平面直角坐标系中，以坐标原点O和A（5，2）为顶点作等腰直角△
ABO，使∠B=90°，求点B和向量的坐标．
【分析】设B（x，y），则，由此利用，
，能求出点B和向量的坐标．
【解答】（本小题满分12分）
解：如图，设B（x，y），则，…（2分）
∵，∴…（4分）
∴x（x﹣5）+y（y﹣2）=0，即x2+y2﹣5x﹣2y=0…（6分）
又∵，…（8分）
∴x2+y2=（x﹣5）2+（y﹣2）2，即10x+4y=29…（10分）
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由解得或
∴B点的坐标为，…（11分）
…（12分）
【点评】本题考查点的坐标及向量坐标的求法，是基础题，解题时要认真审
题，注意向量坐标运算法则的合理运用．
13．已知=（1，1），=（1，﹣1），当k为何值时：
（1）k+与﹣2垂直？
（2）k+与﹣2平行？
【分析】（1）求得k+=（k+1，k﹣1），﹣2=（﹣1，3），由向量垂直的
条件：数量积为0，解方程即可得到所求值；
（2）运用两向量平行的条件可得3（k+1）=﹣（k﹣1），解方程即可得到所
求值．
【解答】解：（1）=（1，1），=（1，﹣1），
可得k+=（k+1，k﹣1），
﹣2=（﹣1，3），
由题意可得（k+）•（﹣2）=0，
即为﹣（1+k）+3（k﹣1）=0，
解得k=2，
则k=2，可得k+与﹣2垂直；
（2）k+与﹣2平行，
可得3（k+1）=﹣（k﹣1），
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
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解得k=﹣，
则k=﹣，可得k+与﹣2平行．
【点评】本题考查向量的平行和垂直的条件，注意运用坐标表示，考查运算
能力，属于基础题．
14．已知向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，
（1）求•；
（2）求|+|．
【分析】（1）运用向量数量积的定义，计算即可得到所求值；
（2）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所
求值．
【解答】解：（1）向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，
可得•=4×2×cos60°=8×=4；
（2）|+|==
===2．
【点评】本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平
方，考查运算能力，属于基础题．
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