滚动阻力
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2023年3月3日发(作者：c6h12)自由滚动的轮胎在平滑路面上胎面块所受压力的预测
摘要:本文提出了一种自由滚动的充气轮胎上花纹块的接触力学模型，先进的
三维有限元（FE）分析和简单的刷模型之间的复杂联系。该模型是能够捕捉到
基本物理信息且得到充分证明的简单的动态轮胎模型，比如可以用来预测受力
状态。胎面块是考虑到台面接触和剪切变形的一种名叫“刷型”的弹簧模型。
橡胶被表示为一个线性粘弹性材料。对发现类似正常的弹簧模型和装在一个畸
形的轮胎带花纹块（轮胎的几何测量）上的刚性圆柱的剪切力进行更复杂的有
限元分析，且对一个小规模的滚动接触试验台进行几何匹配。能够比较合理的
预测测量花纹块在钻机上的受力和切向力。
关键词：轮胎，胎面块，接触力学，粘弹性弹簧模型，有限元模型
1.简介
动态系统的平衡一直是汽车制造商感兴趣的话题,除了客运车辆舱的噪音，
还有车毂、道路条件和自身的振动等会引起汽车的动态不平衡,通过它们安装在
轮辋的相关部件，可以输入到汽车的悬架平衡系统。在设计阶段的客运车辆，汽
车制造商需要有表征频率枢纽部件的高达1kHz的预测工具。[1]汽车枢纽的不稳定
是由于轮胎的动态不平衡导致的，一个先进的轮胎模型在开发这些工具中起到了
重要的作用。
最近，勒孔特等[2]建立了一个理论值高达1千赫兹频率的轮胎带振动模型，
得到了令人满意的结果，这与1千赫的实验结果显示了良好的相关性。[3]作为同
一项目的一部分，我们已经提出了一个简化而强大的胎块的接触力学模型和轮胎
带振动模型,使用[3]中描述的方法，本文进一步研究的目的是对尽可能捕捉到的
基本物理联系提供简单的描述，并提供必要的投入等。在类似Wullens的和Kropp[4]
描述了耦合的接触和轮胎结构轮胎/路面噪声预测模型。简单的接触模型是要求
计算轮胎振动的计算强度，这需要一个时间步模拟。胎面接触模型是一个相对较
小的一部分，需要的整体解决方案的方法是相对容易实现。要使用行之有效的有
限元（FE）的方法来描述接触使用的规则，虽然我们认识到，这种做法可以提供
一个有用的工具，来模拟接触问题，这也是用来作为本文的基准。[5]由Sujin等
人的典型例子提出了全面的调查，得出滚动轮胎的有限元模型[6]和霍尔等人[7]显
示如何确切的计算接触几何的细节。
最简单的橡胶材料模型是线性弹性模型。这种方法是适用于Wullens和
Kropp[4]，分析解决方案，对于这样的情况要研究轮胎和道路的相互作用。使用
超弹性模型，例如通过Sujin等，也包括大量的非线弹性影响。[6]还有hall等[7]
橡胶是一种粘弹性材料，所以这并不奇怪，各种形式的粘弹性模型也被用来研究
轮胎力学，无论是明确的材料模型，或含蓄地通过弹簧阻尼配方来组成的模型等
[8]列出了一系列的例子，指出他们的实验结果可以解释这样的粘弹行为。非线性
行为（即应变性）也是相关的黏弹性模型.[9]这一点可能存在其他的影响因素（本
文不考虑）本文研究的是胎面和平坦路面接触的情况,现在的标准方法普遍采用
粘弹性材料。在[10]的基础上,可以利用原理动态力学分析(DMNA)和
Williams-Landel-Ferry(WLF)变换与温度和频率的变化。WLF变换也被成功地用
于Grosch[11]在橡胶摩擦模型与温度变化和滑动速度方面的研究。粘弹性模型定义
了胎面资料通过的标准数据。这是一个重要的优势利用胎块模型作为一种预测工
具,由于直接存储器存取数据是直接踹橡胶才能获得。作为装运几何是很好地确
定,萃取材料性质可制成具有相对的信心。其他的胎面块接触模型,例如,通过
Anderson[13]和[15]Brinkmeier和Nackenhorst,需要一个更加复杂的提取有效的材
料性质的非标准测试从几何学。
曾经做过一系列离散的粘弹性弹簧模型实验，温克尔是广为人知的用胎面
块研究接触力学模型的制作者,例如[12]Kropp,Andersson[13]和Holtschulze。[14]
出于自由滚动情况的考虑,提出了一种比常用的要求更复杂的弹簧模型,包括一
个更精确的表达释放冲击的几何学。简要地介绍了[3]粘弹性弹簧模型，也研究了
道路胎块预测的切向正应力,和适当添加到每个刚度弹簧径向力。出于轮胎带模
型预测的切向力使轮胎振动产生切向反应的考虑。这也许有助于回答提出的问题,
Wullens和Kropp[4],他们将减少自己的轮胎振动模型的有效性切向刚度并降
低轮胎和凹槽的震动。
在本文中,我们继续研究粘弹性弹簧模型[3],预测其滚动轮胎和路面的正常
的切向应力f。胎面块粘弹性弹簧模型比相应的有限元模拟计算成本更低。这些
力量可以反过来用于输入轮胎振动模型，代入积分公式[16]。文章从描述橡胶材料
的胎面模型入手,将这一理论运用到一个粘弹性弹簧模型中。在滚动试验台上用
相应的材料以实验测量模型验证。测量轮廓线的一个典型是客车轮胎胎面带,这
可作为边界条件,进行滚动接触仿真,并做出描述。其次,粘弹性弹簧表示扩展并
结合任意位移边界条件来生成一个合适的滚动接触模型。最后,本模型是有限元
仿真校验的滚动接触模型。
值得注意的是,本文认为这些情况只考虑了平坦路面。在实践中会大大改变
路面粗糙度与胎块性质;例如Andersson和Kropp的理论模型的这种接触[17],或
者刘的等效方法研究[18]。然而,社区噪音减少可能影响调查有效光滑路面,尤其是
低速、稳健的路线。
2.橡胶材料模型的胎面
胎面胶是一种粘弹性材料，具有时间相关的弹性和阻尼性能。填充炭黑粒子
作为一种抗磨损的色素，也使胎面胶变硬，这取决于应变水平。表格[19]表明自由
滚动的轿车轮胎的接触面接触应力变化，从0.2到0.4兆帕，车轮压力和车毂的
轮胎带支配。考虑应力相对狭窄的范围，我们建议采用线性粘弹性模型，代表自
由滚动轮胎的胎面块属性，忽略应变级别的依赖[3]。
2.1线性粘弹性轮胎胎面模型
线性粘弹性模型基于玻尔兹曼叠加原理[10],例如σ
σ
(
t
)
=∫E
(
t−s
)
ε（s）ds
t
0
其中E是一个时间相关的材料常数，称为应力松弛模量，s是动态应变速率
与时间t是时间依赖所造成的压力。
松弛模量的数值计算的玻尔兹曼叠加原理可视为一个N-termProny级数展
开，
E
(
t
)
=E
∞
+∑E
i
e−（t/τ
i
），N=1,2,…
N
i=1
其中，E是胶状区域的长期弹性模量，E
i
和e是材料常数，称为松弛的长处
和弛豫时间。采用傅里叶变换,放松模量E(t)可以被转化为一些复杂函数E(ω)。
真实与虚构的部分被称为复模量E(ω)的储存模量和损耗模量,
E′(
ω
)
=E
∞
+∑E
i
ω2τ
i
2
1+ω2τ
i
2
N
i=1
E′′(
ω
)
=E
∞
+∑E
i
ωτ
i
1+ω2τ
i
2
N
i=1
其中，E（ω）描述的粘弹性固体的弹性行为，而E（ω）是阻尼系数。
使用我们的工业合作伙伴Goodyear提供的胎面，使用TA仪器Q800DMA机
提供的样品进行标准的动态力学分析（DMA）已获得0.5％的菌株进行存储和损
耗模量。使用[10,20]中描述的技术使采集的数据平滑至22℃,执行WLF转化与
标准系数（C
1
=8.86，C
2
=101.6和玻璃转变温度Tg=-40℃）[20]。长期Prony级数
膨胀的数据拟合是基于布拉德肖和布林森[21]提出使用标志的控制方法。正如图所
示,很好的拟合模量和实测数据之间的平衡被发现在0.25-2500为rad/s的频
率范围。[22]尽管开始关注胎面的填充聚合物使用的成份变换，但这种做法似乎难
以捕捉这种材料的有效温度和应变率之间的关系（曲线相对平滑的证明）。当提
及到轮胎的工作温度为60℃数据所涵盖的频率范围是3.8Hz至38kHz的，足
以代表胎面块的动态行为。Prony级数的参数，可以直接使用在有限元模型（FE）
如Abaqus/Explicit中的软件包。在材料的定义中所需的容积数据可以简化，
假设泊松比为0.47。
图1.24长期Prony级数曲线适合测量胎面复合属性
1.大轮2.锁定杆3.小轮4.摇摆臂
5.底座6.锁定板块7.支座8.称重传感器
9.传感放大器10.橡胶带
2.2
实验设置为材料模型的验证
为了验证线性粘弹性胎面模型，重要的是要设计一个实验，可以考虑到速度
和温度的影响。此外，与上一个0.4MPa的花纹块的接触应力峰值[19]和胎面20MPa
的平均弹性模量，作为我们的胎面样本[23]，在自由滚动的应变上的花纹块是可能
达到2％，高于0.5％的DMA测试中使用的值。因此，其他的应变级别还需要在实
验研究中证实。
图3.胎面块尺寸用于接触实验
据报道[3]，高速滚动接触试验台已建成模拟花纹块影响和释放的机制，用于
进行花纹块的接触实验。钻机的示意图如图.2，一个直径0.2米的小轮直接安装
在一个支座和由一个摇臂连接的10.6米直径的大轮的底座上。双轴（正切），胎
面块样品通过样品架连接，称重传感器嵌入小轮。后者是由电动马达，控制速度
最高可达600转。橡胶带连接切出窗口，以适应周围的花纹块小轮样本。橡胶带
连接切出窗口，以适应周围小轮的花纹块样品。要压缩胎面块样品，两个锁定键
是用来固定两个轮子的轴与橡胶带和大轮之间的位置。橡胶皮带带动大轮转动。
一旦大轮小轮一样切向速度加快，只有很少的电源来自小轮克服轴的摩擦损失和
与橡胶带接触面之间的阻尼损失。凭借其高的惯性，几乎连续与橡胶带的接触，
任何时候大轮都能保持恒定的切向速度，消除胎面块样品的影响。这确保了其他
条件不会带来影响。
安装在小轮上的称重传感器产生的信号被放大，并通过关闭旋转车轮的滑环
单元传输给桥式放大器。为了实现温度比周围高，用吹风机在小轮上的花纹块上
吹热空气。提供一个热电偶接触的胎面块样品来现场监测其工作温度。由默勒
DF51的电子变频控制单元控制电机的转速和所有的传感器信号，使用配备了
NI-6024数据采集卡计算机进行实验记录。
一块Goodyear胎面矩形或平行四边形的规整的花纹块样品用复合锋利的剃
刀进行生产切割。样品的标称尺寸如图.3。在实验中使用的速度范围从150至
600rpm，小轮子和两个轮子之间的干扰水平从0.1至0.3mm不等。
2.3
验证结果和讨论
使用有限元模型分析在Abaqus/Explicit中[24]的滚动接触试验台的接触运
动学。正如图4所示花纹块样品的顶端节点上的刚性环。网状的花纹块是用8个节
点的线性元素C3D8R来达到降低集成和沙漏控制的目的。在底部的花纹块的接触
面的网格细化，使花纹块在指定的速度旋转并与表面接触。压力和滑移率取决于
摩擦系数，如图4所示，在测量进行线性摩擦磨损试验机[3]的基础上获得胎面/钢
接触的滚动试验台。VFRIC子程序使用Abaqus/Explicit时，接触面的摩擦系数
被应用到模型中。摩擦模型在ABAQUS软件中实现接触元素定义集成点、接触约束
和过度封闭实施。使用拉格朗日定理[24]规定的约束。从高速滚动接触有限元模型
和试验台的实验结果比较，我们已经看出[3]，在1.5兆帕时线性粘弹性模型只有
10％的误差产生在不同轧制速度上。考虑到测量上自由滚动轮胎的胎面块应力不
超过0.4兆帕，线性粘弹性模型已被证实可以使用，即使它忽略任何依赖应变级
别。在这里，我们提出了进一步的FE并且实验结果证明胎面模型的有效性。请注
意，花纹块的尺寸20毫米×25毫米×8毫米且有4克的质量。产生一个40牛顿的力，
相应的压力只有80千帕（参见图9），如果加速到100兆帕，证明在建模时遗漏了
惯性的影响。
在实验中，有人指出，使用吹风机上的花纹块样品达到的最高稳定温度为
45°C。因此，在有限元模型中，温度场的45℃被用于材料的定义以及胎面块成
份的变换。
图4.有限元模型,对试验台试验
图5对随时间的接触力的预测和实测比较，在0.2mm的，300RPM滚动的速
度，在22℃到45℃的温度变化为平行四边形，产生干扰的整体水平都不错，虽然
与正常的应力相比切向力明显不准确但是他们的幅度较小。正如图1所示，弹性
模量随频率降低，从而降低在较高温度下产生的正常的剪切力。在两种温度下的
实验接触期间，略高于预测。这可能是由于在现实中长方体花纹块切割的难度，
导致在评估的有效长度块的误差，类似的小错误，将适用于DMA的测量方法。结
果表明，正常的接触力上升的花纹块的领先优势幅度很大。达到峰值的最大应力
与花纹块的接触面中心重合时在这里取得样品。开始由于花纹块的接触面正应力
迅速下降和后缘失去接触，应力达到零。在切线方向，可以看出，有限元模型预
测正应力，在上半段的接触应力抵消了下半段的负应力。这相当于自由滚动的条
件，在模型中的应用，这是在没有应力接触时间时其他需要克服的花纹块阻尼损
失。然而，测得的切向力的变化是有点不对称。[3]中解释说，在实验中，由于
橡胶带和切出窗口引起的几何不规则的阻尼，导致不完善的自由轧制条件，原则
上，它会稍微调整，以配合这种效果，在模拟环境中导致了相应的模拟不对称。
有限元分析走势在22℃的总结和比较实验结果如图6所示，误差表示在给
定的试验条件下获得的实验的最低和最高的指数。45℃为矩形块，并在温度为平
行四边形块都获得了类似的结果。只考虑实际负荷水平的数据，对应0.1mm和
0.2mm的干扰，长方形和平行四边形块在有限元预测的平均误差分别为18%和
10％。这一精度等级的花纹块体模型被认为是可以接受的。
对于每个组的数据在一个恒定的温度和干扰下（但忽略0.3毫米测量），圆
周速度的影响，发现线性回归拟合线的形式
F=F
0
(1+a
ϑ
ϑ)
A
V
系数表示速度相对依赖的性能。同样，v是一个系数，表达了对温度的相
对依赖比例，但在两个温度相同的干扰（分组相同和不同的速度）。表1详细比
较系数测量和预测结果，以百分比表示，图形为长方形和平行四边形块。A
V
不
同的干扰和相同温度下的四个速度系数的均值和标准差的分析，在两个温度系数
的均值和范围得到不同的干扰值。A
V
和一个典型的测量值2.5％和-0.36％，在
10％接触力的变化速度4m/s且温度在28℃时，分别对应。这些结果表明，在
这些参数的实际变化中，速度对花纹块受力的影响是重要的，而温度的影响不是
特别重要。这证实了在分析中使用的粘弹性模型的价值。数据的标准偏差，部分
原因是由于不同条件下的数据组合在一起，也可能是由于实验分散。两个形状的
胎面块对速度的影响预测和测量是相差无几的。比较测量和预测，测量的标准偏
差的变化较小，速度的敏感性降低成为平行四边形块的矩形块。在有限元模型中
温度的影响被高估了。也许使用吹风机的实验装置是不能够导致胎面温度均匀加
热。然而，由于温度是较次要的角色，相应的这种差异会很少，胎面形状对温度
的影响是微不足道的。
3.
轮胎带轮廓测量
验证适当的胎面材料模型，在加载轮胎带的几何边界条件下会生成一个全
尺寸的轮胎花纹块的接触模型。由于直接测量一个变形的轮胎带的概况是困难的，
所以用硅橡胶铸造轿车轮胎代替。
3.1
制造和测量的硅铸造
GoodyearHPAW235轮胎被加载到一个由ACCSE2005有机硅灌封料填补的金属
托盘以此弥补下降产生的500公斤的力。低粘度的复合允许它流入花纹沟槽和复
合的接触面。对轮胎进行加载，直到最大值，然后慢慢抬起释放硅胶有机硅化合
物7，花纹块的细节都清晰可见。四个轮胎的胎面纵向沟槽，可以作为定义变形
轮胎带的四个凸面。
图5.温度对正常（a）及（b）和切向力（C）和（d）在300RPM和0.2mm的干扰：（a）和（C）
22℃，（b）及（D）45℃
图6.正常的力量对比预测和测量为矩形块22℃,◇-预测，○-测量
对四脊的高度进行测量，使用MitutoyoSeries196系列数字坐标测量机
（CMM），其水平和垂直设置为2mm和10m，相应的，一旦每个山脊测量完成，由任
何特定点的曲率决定变形带，得到了执行3点与它的两个相邻点的圆形曲线拟合。
测量四脊高度和曲率如图8所示。在曲线接触面的曲率，是由未经过滤的高度跟
踪的随机变化引起的，因此应该被忽视。脊的位置，作为确定键，对应脊位置如
图7所示（即从顶部至底部）。带的曲率，然后迅速下降直至零点形成接触面。紧
邻的接触面，带的曲率是2m左右半径0.5m。在建立使用常用的带形状模型时中期
顶部曲线轮廓被选为轮胎花纹块的接触力学模型。
对线性回归结果比较测量和系数A
V
FE预测，并分别表示作为一个百分比的
切线轧制速度v和温度正常的力F。括号内为A
V
标准偏差的范围（在这种情况下，
只有两个数据点）。
表
1
图ar轮胎硅橡胶的复制品持续接触
3.2
在有限元模型中的实现
Prony级数定义在Abaqus/Explicit中的有限元模型和构建与测量的胎面胶
模型相结合。对于一个给定的速度v
0
，测量轮胎带轮廓定义移动路径，而不是被
捆绑作为模拟试验台的刚性环，花纹块的顶部节点被规定，在接触钻机实验模拟
时，花纹块采用8节点线性底部的接触面精制而成的C3D8R网状。表面建模不可用
平稳和刚性平面。
由于压力和滑移率，依赖摩擦系数如图4所示，测量滚动接触试验台，即胎
面胶，它是不适合建模轮胎或路面接触。在有限元模型中，采用全尺寸的轮胎带
个人资料，由Huemer等发达国家的实证模型。[25]被用来定义混凝土路面接触的
胎面橡胶的摩擦
ķ
动力学系数。动力学摩擦模型的经验系数的形式是
μ
k
=
α
m
|p|n−1+β
m
a+b|ϑ|−1/m+c|ϑ|−2/m
其中p是压力，V是滑动速度，其他变量都是常数。huemer等人。获得通
过实验[25]橡胶/混凝土表面接触的所有参数。摩擦的静态系数为0.9，在我们的
工作中，选择一个在干旱条件下的典型值胎面/坦途接触[23]。请注意，在本文中
我们不考虑路面平整度，这将有望改变接触摩擦的有效条件。通过跟踪每一个时
间的接触压力和每个接触单元的滑移率，这种摩擦模型的经验系数实施
inABAQUS/显式使用其VFRIC子程序。在第5胎面块的有限元模型预测。
4.
粘弹性弹簧模型
虽然有限元分析已广泛用于准静态条件下轮胎模型，但计算成本高，所以限
制了它在轮胎带动力学建模的使用。勒孔特等先进理论的轮胎带模型[2]需要一个
简化的花纹块的轮胎带耦合模型。我们已经建立了计算效率[3]在离散粘弹性弹簧
模型，考虑到两个Prony级数和几何复杂的花纹块胎面定义的属性，即形状和体
积。预测正常的力量，良好的试验台试验显示了有限元结果与实验结果的协调性。
我们现在的立场适用于全尺寸测量轮胎轮廓的粘弹性弹簧模型,并且能够预测扩
展模型[3]的切向力。
4.1
自由滚动的轮胎的切向力的生成机理
众所周知，自由滚动的轮胎，整个接触面的切向应力的前一半是正弦式分
布与接触面大致相等，但另一半符号相反。在第一点上的花纹块的切向力平行于
接触面，因为它影响道路，并逐渐改变其对后缘方向的切应力。切向应力的大小
是约1/3的正常应力[26]。图8是我们的工业伙伴提供测量的接触应力变化，这清
楚地表明了正弦式的切向力。由此可以看出，高峰期的正常压力高于0.4兆帕，
可能是由于过度膨胀腔和测试滚筒的曲率效应引起的。还值得指出的是切向力扭
转其方向和形成滑带花纹块前完全丧失与路面的接触。
图8.变形的轮胎带;（一）轮胎带型材，（二）轮胎带曲率的测量
图9.测量接触压力分布[27]
虽然许多研究人员，例如pumanli和Oblizajek[28]进行观察分析，但仍没
有解释清楚这个滑带的可用性。
正弦式的切向力的产生机理，一般认为可能与轮胎带半径的变化有关。伯杰
[29]单靠一个涉及轮胎带束层的运动学和以胎面分析为基础的生成机制进行分析。
然而，模拟结果得出，无论是胎面变形或两者产生切向力，都有助于平面变形。
klingbeil和Witt[30]提供一个完整的轮胎接触力预测模型;反复使用有限差分网
格，结果证明定性的解决他们的胎面轮胎模型是正确。为了实现定量可信的数据，
上述方法都需要对复合轮胎带变形建模，这本身就是一个非常复杂的问题。最近
Holtschulze等[14]提出了两个简化的假设，当作轮胎带在纵向方向的刚性或可
压缩。据此有人认为，可能是由于花纹块变形或缩短接触面的切向力。虽然这两
个假设都使用合理的正弦式的切向力，刚性轮胎带的假设似乎比可压缩假设更合
理。首先，轮胎带强化钢断路器纵向和尼龙或聚酯层呈放射状，这两者要求是非
常苛刻并且要远小于胎面的变形。其次，由松崎等最近的研究表明[31]使用了一种
新的无线应变传感器对轮胎带内的接触面施加压力，而不是压缩，这违背了
Holtschulze等的第二个假设。
图10.花纹块的接触面的应变因（一）带半径的变化，（二）渐变，（三）叠加变形蠕动
在这次讨论中，我们已经适应Holtschulze等的刚性带的假设，预测的切向
力建立在定量的有效模式上。基于这一假设的切向力的生成机制说明如图10所
示。首先，假设：皮带接触面是平的，且半径曲率接近无穷大;内带和道路接触
面具有相同的恒定速度V
0
;并没有防滑花纹块/道路接口。在这种情况下，如图
10（一）所示对接触面的领先优势，因为它进入了接触面，由于带从0到无穷大
的曲率半径的变化（4.2节给出了一个证明）。在剪应变上的花纹块速度增加，
从0到v。虚线划定这样的结果。就可以看到花纹块里面的接触面。
在这次讨论中，我们已经适应Holtschulze等的刚性带的假设，预测切向力，
建立定量的有效模式。基于这一假设的切向力的生成机制说明如图10所示。一
旦花纹块的接触面内，底部和顶部表面的花纹块有相同的速度V
0
和剪应变保持
恒定。由于花纹块开始被释放，剪应变的增加又由于恢复带的曲率半径而变化。
因此，由于这一机制对接触面的领先优势，剪切力对道路上的每一个花纹块的底
部产生作用。在切线方向上正应力为零的自由滚动的轮胎，道路必须将略高于轮
胎带等，假设没有滑快，静摩擦力是强加给每个花纹块指向接触面的后缘。正如
图10所示（B），如果轮胎静止，V
1
的蠕变速度从0到其整个接触面的最大价值，
从而增加每个花纹块诱导的剪切应变。在上述两种边界条件下叠加，整体剪应变
如图10（C）所示。而带和道路分别V
0
和V
0
+V
1
行驶，胎面橡胶块剪切力与接
触面的边缘向外，导致剪切力正弦式分布。在现实中目前可能是轮胎带拉伸应变，
这种模式采用的蠕变速度V
1
代表整体轮胎带和道路之间的速度差。松紧带模型
的耦合接触模型的设想，将使蠕变速度得到修正，以至于产生这种弹性应变。
4.2
拟定方程
虽然接触力的预测由Holtschulze等的机制定性是正确的，他们声称，是不
切实际的小幅度的预测切向力。一个可能的原因可能是过于简单化，在制定他们
的模型时，其中的剪切力指向半径方向，只是作为一个功能的皮带半径考虑，而
不考虑实际花纹块变形。缺乏一个合适的材料模型可能也削弱了他们的数值模拟
的有效性。Prony级数定义与验证的胎面材料模型，一个花纹块的接触过程中的
变形可以在详细的分析，因为我们现在实验得出
图11.变形弹簧轮胎/路面接触的元素
进行[3]正常的压力模型测试，花纹块离散化到一系列的粘弹性弹簧元素，但
这个时候，纵向弹簧包括在每个元素上的切向力。原理图11说明了一个弹簧元
件的接触力学时，它影响了平衡。通过引入蠕变比率=V
1
/V
0
，图10可表示为V
0
+
V
0
。假设花纹元素B和C一旦取得了联系，相应的花纹元素的顶部和底部的节点
在任意时刻的位置就可以计算出，由于V
0
的带的曲率半径是已知的，因此可以
得到B和C点之间的距离L。在同一时间，角度x之间的垂直线和BC，垂直线和
BB之间，可以得出。然后给BB和BC，这是时间t的函数之间的夹角
φ
(
t
)
=∅
(
t
)
−θ(t)
因此，径向和纵向的弹簧元件的电流长度可以表示为
δ
(
t
)
=L
(
t
)
cosφ
(
t
)
X
(
t
)
=L
(
t
)
sinφ(t)
对于一个给定的花纹块表面面积和厚度HT，对于一个给定的花纹块在纵向
方向SL（T）就可得出随时间变化在径向方向的刚度，
S
r
(
t
)
=
E(t)A
s
h
t
S
I
(
t
)
=
G(t)A
s
h
t
其中，G（t）是随时间变化的剪切模量G（T）=E（T）/2（1+V），泊松
系数与胎面胶比。如果胎面块已被分为n个元素的离散化，在每个元素的径向和
纵向方向的弹簧，届时将有时间相关的弹簧刚度KR（T）和G（T）
K
r
(t)=
S
r
(t)
n
K
l
(
t
)
=
S
l
(t)
n
因此,径向力Fr和纵向力F
l
在每一个胎面单元可以衍生
F
r
(
t
)
=∫k
r
(
t−τ
)
dδ
dτ
dτ
t
−∞
F
l
(t)=∫k
l
(
t−τ
)
dδ
dτ
dτ
t
−∞
图12.花纹块上的动态力量，集中质量与滑
由于通常是非常小（径向和纵向力可以等价于正常的接触面和切向力）。
申请的滑移率和压力摩擦式定义的依赖系数（5）的每个胎面元素的底部节点
的速度，必须计算每个时间段和切向力是否超过正常力的产品和静态摩擦系数的
摩擦极限。这可以通过分配一个集中质量m炉的节点来实现，如图12所示（相
当于集中质量与分布质量的误差已经证明[32]是由于一半失误造成的）。因此，可
以得到误差公式
m̅=
M
2n
其中M是一个花纹块的总质量已经成离散化。一旦一个节点是在与路面接触，
它的速度可以通过在切线方向的运动方程计算每个时间段，这是
dx
dt
=v
1
,|F
l
(t)|≤u
s
F
r
m̅
d2x
dt2
+F
l
(
t
)
=sign(v
1
−
dx
dt
)μ
k
F
r
,|F
l
(t)|>u
s
F
r
当检测到加速d
2
/d
t2
一次集成，以获得下一个时间段，这是后来用于计算公
式K，切向速度（5），按式（10）进一步整合，以找到切向位移，然后定义的径
向位移，因此得出Frvia式（10）。
4.3
实施测量轮胎带个人资料
在图分析的基础上假定外接触面的轮胎带半径恒定。在现实中，一个变
形的轮胎带半径是一个位置功能，如图8所示。为了实现测量轮胎带的文件，即
中期顶部曲线图定义。在图的基础上11考虑到其邻近点的位置近似的路径类型可
以是任意点。正如图13所示，弹簧元素的顶级节点如下图所示，相应坐标变形
的轮胎可以在相应的时间段完成。此外，分别在前面和下面的时间段的位置注明
坐标。然后位置我可以近似认为
图13.使用测量带轮廓的角度计算
一旦被确定每个时间的方程。就可以用来得到正常的切向接触力，给予证明
的花纹块的最大压缩。然后直接搜索找到对应自由滚动的蠕变比率的试验值
5.
模拟结果和讨论
应当指出，虽然可以模拟高速滚动接触钻机的花纹块的影响和产生机制，
但是它不能提供一个平整的接触面，直接测试为全尺寸轮胎的胎面花纹块的接触
模型。然而，有限的胎面接触模型已被证实与在第2试验台的数据相符合，使用
正常和切向接触力的预测。因此，有限元模拟了轮胎的几何花纹块的接触过程现
在可以被用来作为衡量标准，以评估的粘弹性弹簧模型的有效性的验证。
同尺寸25mm的长方形花纹块×为20mm×8mmFE和粘弹性弹簧模型，再加上
与轮胎带几何图在中期顶部跟踪定义。在粘弹性弹簧模型，花纹块离散化，分辨
率为0.5mm。温度场的60
◦
C是应用在模拟和轮胎带速度为16.7米/秒（60公里/
小时）。当设置最大压缩到0.2mm，约200N时的正常接触力，对应到现实的接
触压力为0.4兆帕，发现带来的正切向力接近零蠕变率等于0.3％。从FE和粘
弹性弹簧模型模拟结果比较图14，可以看到两种图形之间非常好的对应。最大
切向力的大小是约80牛顿，接近三分之一的正常力的大小，在[26-30]报告。请
注意，在这个模拟中发现的蠕变比率小于预计的滚动接触。这是因为蠕变比率一
直在这种情况下，调整带来的净力为零。因为实际的自由滚动会有净的正应力，
相当于滚动阻力，从而导致较大的蠕变比率。列入净摩擦力会改变接触的细节，
但不是一般的解决方案的形式，也不好协议之间的FE和弹簧模型。虽然这将是
重要的，包括一个完整的轮胎模型，弹簧模型，这是这个模拟的主要目的验证这
种功能在不同的位置是不一样的。
带状描述所需的详细程度也很严格。因此，我们现在考虑简化剖面图15，
它的长度和两弧半径相同的比例的接触面组成。从测量图8可以看出，轮胎带接
触面边缘的半径约0.5m。L=0.5mH=0.17m模拟的结果可以得出，图16现实的是
那些使用实际测量的结果，
14.使用测量轮胎带轮廓的建模结果的比较
改
图15.简化变形的轮胎带剖面
图16.联系部队使用简化的带轮廓
图15表明，在使用接触面边缘，只有一个固定的曲率半径，而不是与一个
不断下降的曲率完全匹配，轮胎带模型采用简单的方法是可以接受的。
这也是特别值得指出从图14得出，无论是FE和粘弹性弹簧模型都已经成功
地预测了花纹块开始退出的接触面的切向力的方向逆转。机制的原理图如图17，
假设是一个花纹元素的中性轴沿AA在时间t的变化，花纹元素已对出口的接触
面剪切，由于蠕变速度从它的中性轴开始减慢，所以产生了消极的切向力。在时
间DT，花纹元素开始退出的接触面和花纹元素的中性轴改变其方向从AA到BB
这会导致剪切角d的变化。剪切率的角度定义是d/dt。如果是切向弹簧模型，
切向力将保持负，并逐步达到零花纹元素，退出时的接触面接近中性轴。然而，
切向弹簧的粘弹性性质意味着，如果d/dt的剪切速率大于弹簧的自我恢复率，
需要一个强加的剪切速率。这个结果，在过程中释放的花纹块的切向力的方向变
化的预测由FE和粘弹性弹簧模型得出。鉴于压力和滑移率的依赖摩擦系数K。
它也可以看出一些接触面的延误是不可避免的，为更好的使切向力达到其摩擦极
限（即产品的摩擦系数迅速下降）创造条件。
图17.花纹块的释放机制
6.
结论
本文我们已经提交了一份自由滚动的轮胎花纹块和路面之间的接触力学的
数值研究。胎面材料已为蓝本，利用Prony级数近似为线性粘弹性模型。一个小
规模的滚动接触试验台已被用来验证材料模型和有限元模拟，捕捉了花纹块的影
响和释放的议案。这两种材料模型和有限元接触模型与实验结果显示很好的平衡
性。轧制速度的效果已被证明是比改变胎面接触面温度的影响更为明显的因素。
简化粘弹性弹簧模型[3]，是以前一直使用到预测时来分析影响和释放运动的弹
簧元素变形的切向花纹块。使用轮胎带材料，粘弹性弹簧模型的结果表明，与预
测的结果拟合非常好。预计正常和切向力的定性和定量分析相比其他研究人员的
测量和模拟得出的结果更合理。粘弹性模型将被用来研究轮胎带振动模型[2]在这
个项目的开发。
模型的限制包括缺乏的花纹块或带热建模;lin和Hwang[33]表明，这些很可
能是重要的，特别是当热源可能会相对稳定时。然而，列入这种影响将需要大量
的努力，这可能是一个明智的选择，温度测量可以避免重测，本文所提出的工作
只涉及到平坦的道路条件。崎岖的道路将只联系到花纹块的一部分，然后在不同
的高度和强度，取决于道路状况。在其他的情况下，这种影响的因素，包括在[18]。
鸣谢
这项工作是由英国工程和物理科学研究理事会（授权号：EP/D011035/1）支
持。作者非常感谢我们的工业合作伙伴捷豹汽车有限公司，路虎，Goddyear轮
胎橡胶公司，他们的资金和技术支持和测试材料供应。尤其是作者想感谢
adson·DeerenbergfromAndy布里奇沃特，马尔科姆·哈迪，Leyssensyue，戴
维·马歇尔，奈杰尔·泰勒和弗雷德里克Wullens贡献。还要感谢罗伯特·康奈
尔大学博士和罗杰·布拉德肖与DMA分析的援助和财政援助，以佛罗里达州的剑
桥信托。
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