正弦型函数
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2023年3月3日发(作者：食盐中毒)一、三角函数的定义与三角函数线
例1、若角
的终边过点)
5
3
,
5
4
(
mm
P，且0
tan
cos
，求tansin.
例2.函数f()=
sin－1
cos－2
的最大值和最小值分别是()
(A)最大值
4
3
和最小值0(B)最大值不存在和最小值
3
4
(C)最大值－
4
3
和最小值0(D)最大值不存在和最小值－
3
4
变式训练：（1）设sin(1),cos(1),tabc,则,,abc的大小关系
是；
（2）已知()2cos
6
fxx
,则(0)(1)(2)(2006)ffff；
二、同角三角函数基本关系式与诱导公式
例3：若
cos
＋2sin＝－5，则tan＝()
A．
1
2
B．2C．
1
2
D．－2
变式训练:已知sincos1，则20082008sincos的值为________；
例4、如果sinα·cosα＞0，且sinα·tanα＞0，
化简：cos
α
2
·
1－sin
α
2
1＋sin
α
2
＋cos
α
2
·
1＋sin
α
2
1－sin
α
2
.
变式训练：（1）已知A为锐角，lg(1＋cosA)＝m，lg
1
1－cosA
＝n，则lgsinA的值为
()A．m＋
1
n
B．m－nC.
1
2
(m＋
1
n
)D.
1
2
(m－n)
例5、（1）(08·惠州模拟)已知
sin()cos(2)
()
cos()tan
f
，则
31
()
3
f
的值为()
A．
1
2
B．
1
2
C．
3
2
D．
3
2
（2）已知
sin()cos()
sincos
kk
A
(kZ)，则A的值构成的集合是()
A．{1，－1，2，－2}B．{－1，1}C．{2，－2}D．{1，－1，0，2，－2}
（3）若f(cosx)＝cos3x，则f(sin30°)的值为________．
变式训练：（1）sin(π＋
π
6
)sin(2π＋
π
6
)sin(3π＋
π
6
)…sin(2010π＋
π
6
)的值等于________．
（2）已知f(x)＝asin(πx＋α)＋bcos(πx＋β)，其中a、b、α、β都是非零常数，若f(2009)
＝－1，则f(2010)等于()A．－1B．0C．1D．2
（3）已知cos(
π
4
＋α)＝－
1
2
，则sin(
π
4
－α)＝()A．－
1
2
B.
1
2
C．－
2
2
D.
2
2
例6、在△ABC中，sinA＋cosA＝2，
3
cosA＝－2cos(π－B)，求△ABC的三
个内角．
题型三三角函数的定义域、值域问题
例7(1)求函数y＝lgsin2x＋9－x2的定义域；
(2)求函数
xysin
4
1
的值域；
（3）若2cos2sin220mm对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围。
变式练习:(1))求函数y＝lg(2sinx－2)－1－2cosx的定义域．
(2)已知函数f(x)＝2asin
2x－
π
3
＋b的定义域为
0，
π
2
，函数的最大值为1，最小值为－5，求
a和b的值．
（3）求函数
2sin
1sin3
)(
x
x
xf
的最大值和最小值。
（4）求函数y＝cos2x＋sinx
|x|≤
π
4
的最大值与最小值．
题型三三角函数的单调性与周期性
例8写出下列函数的单调区间及周期：
(1)函数]),0[)(2
6
sin(2
xxy为增函数的区间
(2)(理)设函数f(x)＝2sin(
π
2
x＋
π
5
)．若对任意x∈R，都有f(x
1
)≤f(x)≤f(x
2
)成立，则|x
1
－x
2
|
的最小值为()A．4B．2C．1D.
1
2
(3)已知偶函数)x(fy满足)1x(f)1x(f，且当]0,1[x时，
9
4
3)x(fx，
则)5log(
3
1
f的值等于()A.1B.
50
29
C.
45
101
D.1
变式训练：（1）已知函数y=log
0.5
(2sinx-1),
①写出它的值域.②写出函数的单调区间.
③判断它是否为周期函数?如果它是一个周期函数,写出它的最小正周期.
（2）求函数y＝sin
π
3
＋4x
＋cos
4x－
π
6
的周期、单调区间及最大、最小值．
(3)设函数)x(fy是定义在R上的偶函数，它的图象关于直线2x对称，已知
]2,2[x时，函数1x)x(f2，则]2,6[x时，)x(f.
题型三三角函数的对称性与奇偶性
例9．（1）判断下面函数的奇偶性：f（x）=lg（sinx+x2sin1）。
（2）(文)(2011·滨州月考)如果函数y＝3cos(2x＋φ)的图象关于点(
4π
3
，0)中心对称，那么|φ|
的最小值为()A.
π
6
B.
π
4
C.
π
3
D.
π
2
变式练习：（1）（2001上海春）关于x的函数f（x）=sin（x+）有以下命题：
①对任意的，f（x）都是非奇非偶函数；
②不存在，使f（x）既是奇函数，又是偶函数；
③存在，使f（x）是奇函数；
④对任意的，f（x）都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是_____.因为当=_____时，该命题的结论不成立
（2）同时具有性质“（1）最小正周期是
；（2）图像关于直线
3
x对称；（3）在]
3
,
6
[
上是增函数”的一个函数是（）
A)
62
sin(
x
yB)
3
2cos(
xyC)
6
2sin(
xyD)
6
2cos(
xy
题型四:正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)
已知函数y＝2sin
2x＋
π
3
，
(1)求它的振幅、周期、初相；(2)用“五点法”作出它在，0上的图象；
(3)说明y＝2sin
2x＋
π
3
的图象可由y＝sinx的图象经过怎样的变换而得到．
例11如图所示，某地夏天从8～14时用电量变化曲线
近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b，φ∈(0，π)．
(1)求这一天的最大用电量及最小用电量；
(2)写出这段曲线的函数解析式．
变式练习:(2011·江苏)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A>0，ω>0)
的部分图象如图所示，则f(0)的值是______．
专项基础训练
1.函数y=5sin(2x+θ)的图象关于y轴对称，则θ=()
(A)2kπ+
6
(k∈Z)(B)2kπ+π(k∈Z)(C)kπ+
2
(k∈Z)(D)kπ+π(k∈Z)
2.函数y=－｜sin（x+
4
π
）｜的单调区间为。
3.关于函数f(x)=4sin(2x+
π
3
)(x∈R)，有下列命题：
（1）y=f(x)的表达式可改写为y=4cos(2x-
π
6
);
（2）y=f(x)是以2π为最小正周期的周期函数；
（3）y=f(x)的图象关于点(-
π
6
,0)对称;
（4）y=f(x)的图象关于直线x=-
π
6
对称;
其中正确的命题序号是___________．
4.设点P是函数f(x)＝sinωx(ω≠0)的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距
离的最小值是
π
4
，则f(x)的最小正周期是________．
5.(2012·天津)将函数f(x)＝sinωx(其中ω>0)的图象向右平移
π
4
个单位长度，所得图象经过
点
3π
4
，0
，则ω的最小值是()A.
1
3
B．1C.
5
3
D．2
6.(2012·上海)若S
n
＝sin
π
7
＋sin
2π
7
＋…＋sin
nπ
7
(n∈N*)，则在S
1
，S
2
，…，S
100
中，正数
的个数是()A．16B．72C．86D．100
7．已知函数f(x)＝2sinωx(ω>0)在区间
－
π
3
，
π
4
上的最小值是－2，则ω的最小值等于
()A.
2
3
B.
3
2
C．2D．3
8．函数y＝
sinx＋1
sinx
(0 9.已知f(x)＝sin ωx＋ π 3 (ω>0)，f π 6 ＝f π 3 ，且f(x)在区间 π 6 ， π 3 上有最小值，无最大值， 则ω＝______________. 10．把函数y＝sin 5x－ π 2 的图象向右平移 π 4 个单位，再把所得函数图象上各点的横坐标 缩短为原来的 1 2 ，所得的函数解析式为() A．y＝sin 10x－ 3π 4 B．y＝sin 10x－ 7π 2 C．y＝sin 10x－ 3π 2 D．y＝sin 10x－ 7π 4 11．(13分)已知a>0，函数f(x)＝－2a·sin 2x＋ π 6 ＋2a＋b，当x∈ 0， π 2 时，－5≤f(x)≤1.(1) 求常数a，b的值；(2)设g(x)＝f x＋ π 2 且lgg(x)>0，求g(x)的单调区间．