对勾函数图像

对勾函数图像

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2023年3月3日发(作者：毛泽东诗集)

对勾函数是一种类似于反比例函数的一般函数，又被称为“双勾函数”、"勾函数"等。也被

形象称为“耐克函数”或“耐克曲线”

所谓的对勾函数（双曲线函数），是形如f(x)=ax+b/x（a>0)的函数。由图像得名。

图像

对勾函数：图像，性质，单调性第三行为f（x）=-（ax+b/y）大于等于2√ab对勾函

数是数学中一种常见而又特殊的函数，见图示，在作图时最好画出渐近线，y=ax。

奇偶性与单调性

当x>0时，f(x)=ax+b/x有最小值（这里为了研究方便，规定a>0，b>0），也就是当

x=sqrt(b/a）的时候（sqrt表示求二次方根）奇函数。

令k=sqrt(b/a），那么：

增区间：{x|x≤-k}和{x|x≥k}；

减区间：{x|-k≤x<0}和{x|0

是两个勾。

渐近线

对勾函数的图像是分别以y轴和y=ax为渐近线的两支双曲线。

均值不等式(基本不等式）

对勾函数性质的研究离不开均值不等式。说到均值不等式，其实也是根据二次函数得来

的。我们都知道，（a-b)^2≥0，展开就是a^2-2ab+b^2≥0，有a^2+b^2≥2ab，两边同

时加上2ab，整理得到（a+b)^2≥4ab，同时开根号，就得到了平均值定理的公式：a+b≥2

sqrt(ab）。

把ax+b/x套用这个公式，得到ax+b/x≥2sqrt(axb/x)=2sqrt(ab），这里有个规定：当

且仅当ax=b/x时取到最小值，解出x=sqrt(b/a），对应的f(x)=2sqrt(ab）。

我们再来看看均值不等式，它也可以写成这样：（a+b)/2≥sqrt(ab），前式大家都知道，

是求平均数的公式。那么后面的式子呢？也是平均数的公式，但不同的是，前面的称为算术

平均数，而后面的则称为几何平均数，总结一下就是算术平均数绝对不会小于几何平均数。

这些知识点也是非常重要的。

导数求解

其实用导数也可以研究对勾函数的性质。不过首先要会负指数幂的换算，这也很简单，

但要熟练掌握。举几个例子：1/x=x^-1，4/x^2=4x^-2。明白了吧，x为分母的时候可以

转化成负指数幂。

那么就有f(x)=ax+b/x=ax+bx^-1，求导方法一样，求得的导函数为a+(-b)x^-2，令f

'(x)=0，计算得到b=ax2，结果仍然是x=sqrt(b/a），如果需要的话算出f(x）就行了。平

时做题的时候用导数还是均值定理，就看你喜欢用那个了。不过注意均值定理最后的讨论，

有时ax≠b/x，就不能用均值定理了。

上述研究都是建立在x>0的基础上的，不过对勾函数是奇函数，所以研究出正半轴图

像的性质后，自然能补出对称的图像。如果出现平移了的问题（图像不再规则），就先用平

移公式或我总结出的平移规律还原以后再研究，这个能力非常重要，一定要多练，争取做到

特别熟练的地步。

事实上，利用将对勾函数进行选择可以得到标准的双曲线方程。也就是说，对勾函数是

双曲线，这个利用二阶矩阵的变幻也是可以得到的。

另外对于二次曲线，他只可能是以下几种情况：圆，椭圆，双曲线，抛物线，或者是两

条直线。

由对勾函数的图像看出来，非双曲线莫属了。

最值

函数f(x)=ax+b/x,(a>0,b>0)叫做双钩函数。该函数是奇函数，图象关于原点对

称。位于第一、三象限。当x>0时，由基本不等式(均值不等式)可得：y≥2√ab

当且仅当ax=b/x,即x=√(b/a)时取等号。故其顶点坐标为(√(b/a)，2√ab)，图象

在(0，√(b/a))上是单调递减的，在(√(b/a)，+∝)上是单调递增同理：当x<0时，

由基本不等式可得：y≤-2√ab当且仅当ax=b/x,即x=-√(b/a)时取等号。故其顶

点坐标为(-√(b/a)，-2√ab)，图象在(-∝，-√(b/a))上是单调递增,在(-√(b/a)，0)

上是单调递减的.当a<0,b0,b>0的情况