级数展开

级数展开

-

2023年3月3日发(作者：安全质量宣传标语)

1

教案

函数的幂级数展开

复旦大学陈纪修金路

1．教学内容

函数的幂级数（Taylor级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整

个分析学中最有力的工具之一。通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较

它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如

何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算

能力。

2．指导思想

（1）函数的幂级数（Taylor级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学

中占有举足轻重的地位。通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，

而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数

的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展

开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。

（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函

数的幂级数展开公式（见下面的（*）式），但一般来说，直接利用（*）式来求

函数的幂级数展开往往很不方便，因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级

数展开方法，提高学生的实际计算能力，这也是我们在数学分析课程中推行素质

教育的一个不可忽视的环节。

3.教学安排

首先回顾在讲述幂级数理论时已学过的相关内容：设函数f(x)在x

0

的某个邻域

O(x

0

,r)中能展开幂级数，则它的幂级数展开就是f(x)在x

0

的Taylor级数：

（*）

).,(,)(

!

)(

)(

0

0

0

0

)(

rxOxxx

n

xf

xf

n

n

n





另外我们已得到了以下一些基本的幂级数展开式：

(1)f(x)=ex=

0

!

n

n

n

x

!!3!2

1

32

n

xxx

x

n



+…,x∈(-∞,+∞)。

(2)f(x)=sinx=









0

12

!)12(

)1(

n

n

n

x

n

)!12(

)1(

!5!3

1253







n

xxx

x

n

n

+…,x∈(-∞,+∞)。

2

(3)f(x)=cosx=





0

2

!)2(

)1(

n

n

n

x

n

)!2(

)1(

!4!2

1

242

n

xxxn

n+…,x∈(-∞,+∞)。

(4)f(x)=arctanx=











1

12

1

12

)1(

n

n

n

x

n

12

)1(

53

1253







n

xxx

x

n

n+…,x∈[-1,1]。

(5)f(x)=ln(1+x)=





1

1)1(

n

n

n

x

n

n

xxxx

x

n

n1

432

)1(

432

+…,x∈(-1,1]。

(6)fxx()()1，α≠0是任意实数。

当



是正整数m时，

f(x)=(1+x)m=1+mx+2

2

)1(

x

mm

+…+1mmx+xm，x∈(-∞,+∞)

即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。

当不为0和正整数时，



























0

)1(

n

nx

n

x

,























.0

,01

,1

],1,1[

],1,1(

),1,1(







当

当

当

x

x

x

其中

















n



=

!

)1()1(

n

n

,(n=1,2,…)和1

0





















。

设函数f(x)在x

0

的某个邻域O(x

0

,r)中任意阶可导，要求它在O(x

0

,r)中的幂级

数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。下面我们通过具体实

例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法：

1．通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。

例1求

2253

1

)(

xx

xf





在

0x

的幂级数展开。

解利用部分分式得到













































x

x

xf

21

1

7

2

3

1

1

21

1

)(，

再利用（6）式（1），得到

n

n

n

n

xxf



















0

1

1

2

3

1

7

1

)(，

).

2

1

,

2

1

(x

例2求xxf3sin)(在

6



x

的幂级数展开。

解)

6

(3cos

4

1

)

6

(

6

sin

4

3

3sin

4

1

sin

4

3

sin)(3

















xxxxxxf

3

)

6

(3cos

4

1

)

6

cos(

8

3

)

6

sin(

8

33

xxx，

利用（2）式与（3）式，即得到

).,(,)

6

)(132(

)!2(

)1(

8

3

)

6

(

)!12(

)1(

8

33

)(212

00

12



















xx

n

x

n

xfnn

n

n

n

n

n

例3求

)0(,ln)(xxxf

关于变量

1

1





x

x

的幂级数展开。

解令

,

1

1







x

x

t

则

)10(,

1

1







t

t

t

x

。利用（5）式，即得到

)1ln()1ln(

1

1

lnlntt

t

t

x





n

n

n

n

n

t

n

t

n

















11

11)1(

.0,)

1

1

(

12

1

2

12

1

2

1

1212

1

























x

x

x

n

t

n

n

nn

n

2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。

例4求

2

1

)(

x

xf

在

1x

的幂级数展开。

解由于









0

)1(

)1(1

11

)(

n

nx

xx

xg，利用逐项求导，即可得到

).2,0(,)1)(1()1()(')(

10

1







xxnxnxgxf

nn

nn

例5求f(x)=arcsinx在

0x

的幂级数展开。

解利用(6)式

)

2

1

(，可知当x(-1,1)时，

21

1

x

=2

1

2)1(x=























0

2

2

1

)(

n

nx

n

=1+2

2

1

x

+4

8

3

x

+…+nx

n

n

2

!)!2(

!)!12(

+…，

对等式两边从0到x积分，利用幂级数的逐项可积性与





x

t

t

0

21

d

=arcsinx，

即得到

arcsinx=x+









1

12

12!)!2(

!)!12(

n

n

n

x

n

n

，x∈[-1,1]。

其中关于幂级数在区间端点x=±1的收敛性，可用Raabe判别法得到。

特别，取x=1，我们得到关于π的一个级数表示：

2



=1+









0

12

1

!)!2(

!)!12(

n

nn

n

。

3．对形如)()(xgxf，

)(

)(

xg

xf

的函数，可分别用Cauchy乘积与“待定系数法”。

设f(x)的幂级数展开为

0n

n

n

xa，收敛半径为R

1

，g(x)的幂级数展开为

0n

n

n

xb,

4

收敛半径为R

2

，则f(x)g(x)的幂级数展开就是它们的Cauchy乘积：

f(x)g(x)=(

0n

n

n

xa)(

0n

n

n

xb)=

0n

n

n

xc,

其中c

n

=





n

k

knk

ba

0

,

0n

n

n

xc的收敛半径Rmin｛R

1

，R

2

｝。

当b

0

≠0时，我们可以通过待定系数法求

)(

)(

xg

xf

的幂级数展开：设

)(

)(

xg

xf

=

0n

n

n

xc,

则

(

0n

n

n

xb)(

0n

n

n

xc)=

0n

n

n

xa,

分离x的各次幂的系数，可依次得到

b

0

c

0

=a

0c

0

=

0

0

b

a

,

b

0

c

1

+b

1

c

0

=a

1c

1

=

0

011

b

cba

，

b

0

c

2

+b

1

c

1

+b

2

c

0

=a

2c

2

=

0

02112

b

cbcba

，

……

一直继续下去，可求得所有的c

n

。

例6求exsinx的幂级数展开(到x5)。

解exsinx=(

!4!3!2

1

432xxx

x+…)(



!5!3

53xx

x

)

=x+532

30

1

3

1

xxx

+…，

由于xe与

xsin

的收敛半径都是R，所以上述幂级数展开对一切x∈(-∞,+∞)

都成立。

例7求tanx的幂级数展开(到x5)。

解由于tanx是奇函数，我们可以令

tanx=

x

x

cos

sin

=c

1

x+c

3

x3+c

5

x5+…，

于是

(c

1

x+c

3

x3+c

5

x5+…)(



!4!2

1

42xx

)=



!5!3

53xx

x

，

比较等式两端x,x3与x5的系数，就可得到

c

1

=1,c

3

=

3

1

,c

5

=

15

2

,

因此

tanx=x+

3

1

x3+

15

2

x5+…。

4．“代入法”

5

对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在

u1

1

=

0n

nu=1+u+u2+…

中，以u=

!4!2

42xx

代入，可得到

xcos

1

=1+(

!4!2

42xx

)+(

!4!2

42xx

)2+…

=1+x2+

24

5

x4+…，

然后求sinx与

xcos

1

的Cauchy乘积，同样得到上述关于tanx的幂级数展开。

需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目

前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x=

0

x的小邻域中，幂级数展开是成立

的（事实上，tanx的幂级数展开的收敛范围是(-

2



,

2



)，它的证明需要用到复

变函数的知识）。

“代入法”经常用于复合函数，例如形如ef(x)，ln(1+f(x))等函数的求幂级数展

开问题。

例8求xexfsin)(在0x的幂级数展开(到x4)

解以













6)!12(

)1(

sin

3

12

0

x

xx

n

xun

n

n

代入





xxxx

n

x

exf

n

n

x432

0

sinsin

24

1

sin

6

1

sin

2

1

sin1

!

sin

)(

，

即可得到

),(,

8

1

2

1

1)(42sinxxxxexfx

。

注对于求函数xexfcos)(在0x的幂级数展开问题，我们不能采用以

42

24

1

2

1

1cosxxxu

代入





0

!

cos

)(

n

n

n

x

xf

的方法，请学生思考为什

么，并思考应该怎样正确使用“代入法”。

例9求ln

x

xsin

的幂级数展开(到x4)，其中函数

x

xsin

应理解为

f(x)=















.01

,0,

sin

x

x

x

x

，

解首先，利用sinx的幂级数展开，可以得到

x

xsin

=



!5!3

1

42xx

。

令u=



!5!3

42xx

代入ln(1+u)=u-



32

32uu

，即得

6

ln

x

xsin

=(

!5!3

42xx

)-

2

1

(

!5!3

42xx

)2+…

=

1806

42xx

。

利用例9，我们可以得到一些有趣的结果。在前面我们已得到等式

x

xsin

=







1

22

2

)1(

n

n

x

,

两边取对数，再分别将ln)1(

22

2





n

x

展开成幂级数，

ln

x

xsin

=







1

22

2

)1ln(

n

n

x

=-











1

44

4

22

2

)

2

1

(

n

n

x

n

x

。

将上式与本例中的结果相比较，它们的x2系数，x4系数都对应相等，于是就得

到等式



1

2

1

n

n

=

6

2

,



1

4

1

n

n

=

90

4

。

如果我们在计算时更精细些，也就是将ln

x

xsin

的幂级数展开计算到x6，x8，…，

还可以获得

1

6

1

n

n

，

1

8

1

n

n

，…的精确值。

注意点

1．如果)(xf在

0

x邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在x

0

的Taylor

级数（*）；但反之则不然。事实上，我们举出过在

0

xx任意阶可导的函

数)(xf，它在

0

x的Taylor级数并不收敛于)(xf。但一般来说，对于有解析

表达式的初等函数

)(xf

，只要它在

0

xx任意阶可导，则它在

0

x的Taylor

级数就是它在

0

x邻域的幂级数展开。

2．要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。

事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*）

来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方

法。

3．一般来说，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们往往只

能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数

的收敛半径。但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了，

例如例9中的问题。关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后

就很容易确定。