有理函数的积分
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2023年3月3日发(作者：第一类污染物)高等数学中有理分式定积分解
法总结
2
由十个例题掌握有理分式定积解法
【摘要】当被积函数为两多项式的商()
()
Px
Qx
的有理函
数时，解法各种各样、不易掌握，在此由易到难
将其解法进行整理、总结
【关键词】有理分式真分式假分式多项式除
法拆项法凑微分法定积分
两个多项式的商
Px
Qx
称为有理函数，又称为
有理分式，我们总假定分子多项式
Px与分母多
项式
Qx之间无公因式，当分子多项式
Px的次数
小与分母多项式
Qx，称有理式为真分式，否则
称为假分式.
1.对于假分式的积分：利用多项式除法，总可将其化为一个多项
式与一个真分式之和的形式.
42
2
222
2
2
2
2
2
2
2
2
3
32
1.1
1
31
1
3
1
1
31
1
1
3
1
arctan
xx
dx
x
xxx
dx
x
x
xdxdx
x
xdxdx
x
xdxdxdx
x
xxxC
例
解原式
3
4
5
6
总结：当被积函数形如时
k
m
cx
dx
axb
，将其用换元
法转换为()m
k
axb
dx
cx
，再按照后者解法求解
2.3类型三
2
x
l
P
dx
axbxc
3
2
2
3
2
2
2
3
2
2
32
2
3122
22
x
=dt
11
x-1dt
1+tan
=dt
set
tan3tan3tan1
=dt
set
=sincos3sincos3sincosdt
x
dx
xx
x
t
t
t
t
ttt
t
tttttt
例2.3.1
原式
设=tant,x=tant+1,dx=set
上式set
2
2
22
2
22
3
=-1coscostdcos+sin2dtdtcos2dt
4
1
cos
2
11
1111
1122
=222arctan1
224422
tttt
t
x
xx
x
InxxxC
xxxx
=-In+cost+2t+2sintcost
tant=x-1,cost=,sint=
上式
7
2
2
2
2
2
2
22
2
1
dx
23
1
222
2
=dx
23
111
=d23-2d
223
12
11
=In23-2arttan+C
2
2
+bx+c+c
+1
l
x
xx
x
xx
xxx
xx
x
x
xx
axbx
x
例2.3.2
总结：当被积函数分母含有ax时，可以用凑微分法进行积分；对于形如时，
可将其变形为T或者
22222
2
1-Tx,sincos+tanset
.x
是然后利用三角函数恒等变形x+x=1和1x=x
将T降次，便于计算
3.以前面的几种简单类型为基础，现在来讨论较为复杂的有理
真分式的积分
2
2
2
2
2
2
2
2+3
dx
310
2+3
dx
310
1
=d310
310
=In310
2+3
dx
310
2+32+3
=
310+5252
52
11
5252
=
x
xx
x
xx
xx
xx
xx
x
xx
xxAB
xxxxxx
ABxBA
xxxx
例3.1
解法1
+C
解法2
=+
=
原式
2
11
dx
52
310
xx
xx
=In+C
8
总结：假分式分母可以因式分解，将被积函数化
为部分分式之和的形式，然后用基本积分公式进
行运算.
例3.2
2
2
dx
211
x
xxx
2
2
2
2
2
2
2
=dx
211
11
21
1
22
=21
211
11111
21d1
21212
13
24
111
211
22
3
x
xxx
x
x
xxx
xxx
xxx
x
xxxx
原式
d-dx
=ddx
=In-In+arctan+C
总结：遇到被积函数是复杂的有理函数，用拆分
法将其分解为自己熟悉的函数，灵活变换.
例3.3
2
3
dx
11
x
xx
9
2
2
2
2
2
2
3
=d
11
21
d
211
1
221
1
2
dd
211
1111
d21dd
2211
1
11
11
x
x
xx
x
x
xxx
x
xx
xxx
xxxx
xxx
x
x
InC
xx
总结：此题能够得出一个重要结论，分母因式分
解要求为各个因式之间无公约数，以此为标准进
行因式分解，拆项
除此之外，常见的还有，可化为有理函数的
积分.例如利用三角函数的万能公式，将被积函
数中含有三角函数的分式函数，例：
1+sin
sin1cos
x
dx
xx
.
例如被积函数中含有n
n
axb
axb
cxd
或时用换元法将根
号去掉，例：1
d
1
x
x
xx
，
3
d
11
x
x
.虽然形式各种
各样,但只要熟练掌握以上各种类型的积分，那
么在被积函数为有理分式函数时应对起来应当
是信手拈来，甚是轻松