标准正态分布函数

标准正态分布函数

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一种概率分布。

正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续

型随机变量的分布，第一参数μ是遵从正态分布的随机变量的均值，第二个参

数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。遵从正态分布

的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的概率

越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的密度

函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取值为

0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴上方

的钟形曲线。当μ＝0，σ2＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。μ

维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元正态

分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任何线

性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研究测

量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描述。例

如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指标；同

一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误差；弹

着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度分量，

等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，那么就

可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分布具有

很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率分布是

由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等

答案补充

图象所围的面积是概率

正态曲线及其性质

1.正态分布常记作N()，其正态分布函数：f(x)=,x∈(-∞,+∞)。

把N(0,1)称为标准正态分布，相应的函数表达式：f(x)=,x∈(-∞,+∞)。

2.正态图象的性质：

①曲线在x轴的上方，与x轴不相交。

②曲线关于直线x=μ对称。

③曲线在x=μ时位于最高点。

④当xμ时，曲线下降，并且当曲线向左、右两边

无限延伸时，以x轴为渐近线，向它无限靠近。

⑤当μ一定时，曲线的形状由确定，越大，曲线越“矮胖”，表示总体的

分布越分散；越小，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中。

3．一般正态分布与标准正态分布的转化

对于标准正态分布，用表示总体取值小于x0的概率，即=p(x

意义是由正态曲线

N(0,1)，x轴，直线x=x0所围成的面积。又根据N(0,1)曲线关于y轴的对称性

知，，并且标准正态总体在任一区间(a,b)内取值概率。

任一正态总体N()，其取值小于x的概率F(x)=。

机率密度函数（p.d.f.，probabilitydensityfunction）描述了随机变量的概

率分布，为累积分布函数的导函数。

[编辑]定义

对于一维实随机变量X，任何一个满足下列条件的函数f_X

(x)都可以被定义为其概率密度函数：

f_(x)ge0,-infty

int_{-infty}^{infty}f_(x),dx=1

随机变量X在区间上的概率可以由其概率密度函数的定积分表示：

P[a

而F(x)=P[X

布函数，显然概率密度函数是它的导函数。

[编辑]应用

由机率密度函数可以求出期望值、变异数等矩量。

期望值（一阶矩）：

E[X]=int_{-infty}^{infty}xf(x),dx

变异数（二阶矩）：

VAR[X]=int_{-infty}^{infty}(x-E[X])^2f(x),dx

[编辑]特征函数

对机率密度函数作傅利叶转换可得特征函数。

Phi_X(jomega)=int_{-infty}^{infty}f(x)e^{jomega

x},dx

特征函数与机率密度函数有一对一的关系。因此知道一个分布的特征函数就

等同於知道一个分布的机率密度函数。

da:Sandsynlighedstæthedsfunktionen:Probabilitydensityfunction

it:Funzionedidensitàdiprobabilitànl:Kansdichtheid

sv:Täthetsfunktion

一束粒子被一個障礙物﹝位於x=0﹞給分散，其波函數為下：

Ψ(x,t)=Ae-iEt/h[當x<0]

Ψ(x,t)=e-iEt/h(Beikx+Ce-ikx)[當x>0]

其中E=h2k2/(2m)及k>0，A、B及C為複雜係數(complexcoefficient)。

﹝其中的「h」為「h-bar」，就是h上面一橫﹞

(a)算出其機率密度p(x,t)當x<0。

(b)算出其機率流密度j(x,t)當x<0。

(c)算出其機率密度p(x,t)當x>0。

(d)算出其機率流密度j(x,t)當x>0。

(e)上面的波函數含三個不同的部份，A、B及C三個係數，說出每一個是右移

還是左移。它們三個分別代表入射、反射及發射，那個是那個？

註：p(x,t)及j(x,t)的答案必定是實數

正态分布

normaldistribution

一种概率分布。正态分布是具有两个参数μ和σ2的连续

型随机变量的分布，第一参数μ是服从正态分布的随机变量的均值，第二

个参数σ2是此随机变量的方差，所以正态分布记作N(μ，σ2)。服从正态

分布的随机变量的概率规律为取μ邻近的值的概率大，而取离μ越远的值的

概率越小；σ越小，分布越集中在μ附近，σ越大，分布越分散。正态分布的

密度函数的特点是：关于μ对称，在μ处达到最大值，在正（负）无穷远处取

值为0，在μ±σ处有拐点。它的形状是中间高两边低，图像是一条位于x轴

上方的钟形曲线。当μ＝0，σ2＝1时，称为标准正态分布，记为N（0，1）。

μ维随机向量具有类似的概率规律时，称此随机向量遵从多维正态分布。多元

正态分布有很好的性质，例如，多元正态分布的边缘分布仍为正态分布，它经任

何线性变换得到的随机向量仍为多维正态分布，特别它的线性组合为一元正态分

布。

正态分布最早由A.棣莫弗在求二项分布的渐近公式中得到。C.F.高斯在研

究测量误差时从另一个角度导出了它。P.S.拉普拉斯和高斯研究了它的性质。

生产与科学实验中很多随机变量的概率分布都可以近似地用正态分布来描

述。例如，在生产条件不变的情况下，产品的强力、抗压强度、口径、长度等指

标；同一种生物体的身长、体重等指标；同一种种子的重量；测量同一物体的误

差；弹着点沿某一方向的偏差；某个地区的年降水量；以及理想气体分子的速度

分量，等等。一般来说，如果一个量是由许多微小的独立随机因素影响的结果，

那么就可以认为这个量具有正态分布（见中心极限定理）。从理论上看，正态分

布具有很多良好的性质，许多概率分布可以用它来近似；还有一些常用的概率

分布是由它直接导出的，例如对数正态分布、t分布、F分布等。

正态分布应用最广泛的连续概率分布，其特征是“钟”形曲线。

from

(一)正态分布

1.正态分布

若的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）

(3-1)

则称服从正态分布，记号～。其中、是两个不确定常数，是正态分布

的参数，不同的、不同的对应不同的正态分布。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于

1。

2．正态分布的特征

服从正态分布的变量的频数分布由、完全决定。

(1)是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以为

对称轴，左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于。

(2)描述正态分布资料数据分布的离散程度，越大，数据分布越分散，越

小，数据分布越集中。也称为是正态分布的形状参数，越大，曲线越扁平，反

之，越小，曲线越瘦高。

(二)标准正态分布

1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的，，通常用（或

Z）表示服从标准正态分布的变量，记为～N（0，）。

2．标准化变换：，此变换有特性：若服从正态分布，则就服从标准正

态分布，故该变换被称为标准化变换。

3.标准正态分布表

标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到范围内的面积比例。

（三）正态曲线下面积分布

1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总

例数的百分比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同范围内正态曲

线下的面积可用公式3-2计算。

（3-2）

。

2.几个重要的面积比例

轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间内的面积为

68.27%，横轴区间内的面积为90.00%，横轴区间内的面积为95.00%，横轴区

间内的面积为99.00%。

（四）正态分布的应用

某些医学现象，如同质群体的身高、红细胞数、血红蛋白量，以及实验中的

随机误差，呈现为正态或近似正态分布；有些指标（变量）虽服从偏态分布，但

经数据转换后的新变量可服从正态或近似正态分布，可按正态分布规律处理。其

中经对数转换后服从正态分布的指标，被称为服从对数正态分布。

1.估计频数分布一个服从正态分布的变量只要知道其均数与标准差就可

根据公式（3-2）估计任意取值范围内频数比例。

2.制定参考值范围

（1）正态分布法适用于服从正态（或近似正态）分布指标以及可以通过转

换后服从正态分布的指标。

（2）百分位数法常用于偏态分布的指标。表3-1中两种方法的单双侧界值

都应熟练掌握。

表3-1常用参考值范围的制定

概率

（%）正态分布法百分位数法

双侧单侧双侧单侧

下限上限下限上限

90

95

99

3.质量控制：为了控制实验中的测量（或实验）误差，常以作为上、下警

戒值，以作为上、下控制值。这样做的依据是：正常情况下测量（或实验）误

差服从正态分布。

4.正态分布是许多统计方法的理论基础。检验、方差分析、相关和回归分

析等多种统计方法均要求分析的指标服从正态分布。许多统计方法虽然不要求分

析指标服从正态分布，但相应的统计量在大样本时近似正态分布，因而大样本时

这些统计推断方法也是以正态分布为理论基础的。

1.正态分布

若已知的密度函数（频率曲线）为正态函数（曲线）则称已知曲线服从正态分布，记

号～。其中μ、σ2是两个不确定常数，是正态分布的参数，不同的、不同的对应不同

的正态分布。

正态曲线呈钟型，两头低，中间高，左右对称，曲线与横轴间的面积总等于1。

2．正态分布的特征

服从正态分布的变量的频数分布由、完全决定。

(1)是正态分布的位置参数，描述正态分布的集中趋势位置。正态分布以为对称轴，

左右完全对称。正态分布的均数、中位数、众数相同，均等于。

(2)描述正态分布资料数据分布的离散程度，越大，数据分布越分散，越小，数据分

布越集中。也称为是正态分布的形状参数，越大，曲线越扁平，反之，越小，曲线越瘦

高。

标准正态分布standardnormaldistribution

1．标准正态分布是一种特殊的正态分布，标准正态分布的μ和σ2为0和1，通常用（或

Z）表示服从标准正态分布的变量，记为Z～N（0，1）。

2．标准化变换：此变换有特性：若原分布服从正态分布，则Z=(x-μ)/σ～N(0,1)就

服从标准正态分布,通过查标准正态分布表就可以直接计算出原正态分布的概率值。故该变

换被称为标准化变换。

3.标准正态分布表

标准正态分布表中列出了标准正态曲线下从-∞到X(当前值）范围内的面积比例。

正态曲线下面积分布

1．实际工作中，正态曲线下横轴上一定区间的面积反映该区间的例数占总例数的百分

比，或变量值落在该区间的概率（概率分布）。不同范围内正态曲线下的面积可用公式计算。

2.几个重要的面积比例

轴与正态曲线之间的面积恒等于1。正态曲线下，横轴区间（μ-σ，μ+σ）内的面积为

68.27%，横轴区间（μ-1.96σ，μ+1.96σ）内的面积为95.00%，横轴区间（μ-2.58σ，μ+2.58σ）

内的面积为99.00%。