向量的运算

向量的运算

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2023年3月3日发(作者：地形学)

高中数学向量的运算法则经典总结

（1）实数与向量的运算法则：设、为实数，则有：

1）结合律：

aa)()(

。

2）分配律：

aa)(

，

baba)(

。

（2）向量的数量积运算法则：

1）abba。

2）

)()()(babababa。

3）

cbcacba)(

。

（3）平面向量的基本定理。

21

,ee

是同一平面内的两个不共线向量，则对于这一平面内的任何一向量a，有且仅有一

对实数

21

,，满足

2211

eea

。

（4）

a

与

b

的数量积的计算公式及几何意义：cos||||baba，数量积

ba等于

a

的

长度

||a

与

b

在

a

的方向上的投影cos||b

的乘积。

（5）平面向量的运算法则。

1）设a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，则a+b＝

1212

(,)xxyy

。

2）设a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，则a-b＝

1212

(,)xxyy

。

3）设点A

11

(,)xy

，B

22

(,)xy

，则

2121

(,)ABOBOAxxyy



。

4）设a＝(,),xyR，则a＝(,)xy。

5）设a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，则ab＝

1212

()xxyy

。

（6）两向量的夹角公式：

1212

2222

1122

cos

xxyy

xyxy









（a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

）。

（7）平面两点间的距离公式：

,AB

d

＝

||ABABAB



22

2121

()()xxyy

（A

11

(,)xy，B

22

(,)xy）。

（8）向量的平行与垂直：设a＝

11

(,)xy

，b＝

22

(,)xy

，且b



0，则有：

1）a||bb＝a

1221

0xyxy

。

2）a



b（a0）a·b＝0

1212

0xxyy

。

（9）线段的定比分公式：

设

111

(,)Pxy

，

222

(,)Pxy

，

(,)Pxy

是线段

12

PP

的分点，是实数，且

12

PPPP



，则

12

12

1

1

xx

x

yy

y



































12

1

OPOP

OP

















12

(1)OPtOPtOP



（

1

1

t







）。

（10）三角形的重心公式：

△ABC三个顶点的坐标分别为

11

(,)Axy

、

22

(,)Bxy

、

33

(,)Cxy

，则△ABC的重心的坐

标为123123(,)

33

xxxyyy

G



。

（11）平移公式：

''

''

xxhxxh

yykyyk

















''OPOPPP





。

（12）关于向量平移的结论。

1）点(,)Pxy按向量a＝(,)hk平移后得到点'(,)Pxhyk

。

2）函数()yfx的图像C按向量a＝(,)hk平移后得到图像'C:()yfxhk。

3）图像'C按向量a＝(,)hk平移后得到图像C:()yfx，则'C为()yfxhk。

4）曲线C:(,)0fxy按向量a＝(,)hk平移后得到图像'C:(,)0fxhyk。