轨迹方程
-
2023年3月2日发(作者：关于教师节的古诗)第1页共4页
C
B
y
x
O
A
高考数学中求轨迹方程的方法总结2014年8月23日星期六
一、直接法：当所求动点的要满足的条件简单明确时，直接按“建系设点、列出条件、代入坐标、
整理化简、限制说明”五个基本步骤求轨迹方程,称之直接法.
例1．已知点)0,2(A、).0,3(B动点),(yxP满足2xPBPA，则点
P
的轨迹为（）
A．圆B．椭圆C．双曲线D．抛物线
解：),3(),,2(yxPByxPA，2)3)(2(yxxPBPA
226yxx.由条件，2226xyxx，整理得62xy，此即点
P
的轨迹方程，所
以
P
的轨迹为抛物线，选D.
二、定义法：定义法是指先分析、说明动点的轨迹满足某种特殊曲线（如圆、椭圆、双曲线、抛物
线等）的定义或特征，再求出该曲线的相关参量，从而得到轨迹方程.
例2．已知
ABC
中，
A
、
B
、
C
的对边分别为a、
b
、c，若bca,,
依次构成等差数列，且
bca
，2AB，求顶点
C
的轨迹方程.
解：如右图，以直线
AB
为x轴，线段
AB
的中点为原点建立直角坐标
系.由题意，bca,,构成等差数列，bac2
，
即4||2||||ABCBCA，又CACB，C
的轨迹为椭圆的左半部分.在此椭圆中，
1,2
ca，3
b，故
C
的轨迹方程为)2,0(1
34
22
xx
yx
.
三、代入法：当题目中有多个动点时，将其他动点的坐标用所求动点
P
的坐标
yx,
来表示，再代入
到其他动点要满足的条件或轨迹方程中，整理即得到动点
P
的轨迹方程，称之代入法，也称相关点
法、转移法.
例3．如图，从双曲线1:22yxC上一点Q引直线
2:yxl的垂线，垂足为
N
，求线段QN的中点
P
的轨迹方程.
解：设),(),(
11
yx，QyxP，则)2,2(
11
yyxxN.N
在直线
l
上，.222
11
yyxx
①又
lPN
得,1
1
1
xx
yy
即0
11
xyyx.②联解①②得
2
23
2
23
1
1
xy
y
yx
x
.又点Q在双曲
线
C
上，1)
2
23
()
2
23
(22
xyyx
，
化简整理得：01222222yxyx，此即动点
P
的轨迹方程.
四、几何法：几何法是指利用平面几何或解析几何知识分析图形性质，发现动点的运动规律和要满
足的条件，从而得到动点的轨迹方程.
例4．已知点)2,3(A、)4,1(B，过
A
、
B
作两条互相垂直的直线
1
l和
2
l，求
1
l和
2
l的交点
M
的
轨迹方程.
解：由平面几何知识可知，当
ABM
为直角三角形时，点
M
的轨迹是以
AB
为直径的圆.此圆的圆
y
Q
O
x
N
P
第2页共4页
x
A
1
A
2O
y
N
M
P
心即为
AB
的中点)1,1(，半径为
2
52
2
1
AB，方程为13)1()1(22yx.故
M
的轨迹
方程为13)1()1(22yx.
五、参数法：参数法是指先引入一个中间变量（参数），使所求动点的横、纵坐标
yx,
间建立起联
系，然后再从所求式子中消去参数，得到
yx,
间的直接关系式，即得到所求轨迹方程.
例5．过抛物线pxy22（0p）的顶点
O
作两条互相垂直的弦
OA
、
OB
，求弦
AB
的中点
M
的轨迹方程.
解：设),(yxM，直线
OA
的斜率为)0(kk，则直线
OB
的斜率为
k
1
.直线OA的方程为kxy，
由
pxy
kxy
22
解得
k
p
y
k
p
x
2
2
2
，即
)
2
,
2
(
2k
p
k
p
A，同理可得)2,2(2pkpkB.得
pk
k
p
y
pk
k
p
x2
2
，
消去
k
，得)2(2pxpy，此即点
M
的轨迹方程.
六、交轨法：求两曲线的交点轨迹时，可由方程直接消去参数，或者先引入参数来建立这些动曲
线的联系，然后消去参数来得到轨迹方程，称之交轨法.
例6．如右图，垂直于x轴的直线交双曲线1
2
2
2
2
b
y
a
x
于
M
、
N
两点，
21
,AA为双曲线的左、右顶点，求直线MA
1
与NA
2
的交点
P
的轨迹方程，
并指出轨迹的形状.
解：设),(yxP及),(),,(
1111
yxNyxM，又)0,(),0,(
21
aAaA，可得直线MA
1
的方程为
)(
1
1ax
ax
y
y
①；直线NA
2
的方程为)(
1
1ax
ax
y
y
②.①×②得)(22
22
1
2
1
2ax
ax
y
y
③.又,1
2
2
1
2
2
1
b
y
a
x
)(2
1
2
2
2
2
1
xa
a
b
y，代入③得)(22
2
2
2ax
a
b
y，化简得
1
2
2
2
2
b
y
a
x
，此即点
P
的轨迹方程.当
ba
时，点
P
的轨迹是以原点为圆心、a为半径的圆；
当
ba
时，点
P
的轨迹是椭圆.
七、待定系数法
例7．求与双曲线1
169
22
yx
有共同渐进线，且过点)32,3(的双曲线的标准方程。
解：双曲线方程可设为
169
22yx
，将点)32,3(的坐标代入得：
4
1
故所求双曲线的方程为1
4
4
9
22
yx
第3页共4页
八、向量法：
例8．设F（1，0），M点在x轴上，P点在y轴上，且
PFPMMPMN⊥,2
。
（I）当点P在y轴上运动时，求N点的轨迹C的方程；
（II）设AxyBxyDxy()()()
112233
，，，，，是曲线C上的三点，且、AFDFBF、成等差
数列，当AD的垂直平分线与x轴交于点E（3，0）时，求B点的坐标。
【解析】（1）∵
MPMN2
，故P为MN中点，又∵
PFPM⊥
，P在y轴上，F为（1，0），
故M在x轴的负方向上，设N（x，y）则M（－x，0），P（0，
2
y
），（x>0），
∴
)
2
1()
2
(
y
PF
y
xPM
，，，
，又∵
0
PFPMPFPM·故⊥
，
即
0
4
2
y
x
∴的方程是轨迹Cxxy)0(42
（II）抛物线C的准线方程是x=－1，由抛物线定义知
BFxAF，1||
1
1
2
x，||DFx
3
1，
∵||||||
DFBFAF、、成等差数列，
∴
231231
2)1(211xxxxxx∴，又
3
2
32
2
21
2
1
444xyxyxy，，，
故)(4))((
313131
2
3
2
1
xxyyyyyy，∴
3131
31
4
yyxx
yy
k
AD
∴AD的中垂线为
)3(
4
31
x
yy
y
而AD中点
在其中垂线上，，)
22
(3131
yyxx
∴
)3
2
(
42
313131
xxyyyy
。即，∴，1)3(
2
1
1
22
xx
由24
22
2
2
±∴，yxy，∴B点坐标为（1，2）或（1，－2）。
九、用点差法求轨迹方程(跟弦中点有关)
例9.已知椭圆1
2
2
2
y
x
，（1）求过点
2
1
2
1
，P且被
P
平分的弦所在直线的方程；
（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；
（3）过12，A引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
解：设弦两端点分别为
11
yxM，，
22
yxN，，线段
MN
的中点yxR，，则
④，
③，
②，
①，
yyy
xxx
yx
yx
2
2
22
22
21
21
2
2
2
2
2
1
2
1
①－②得02
21212121
yyyyxxxx．
由题意知
21
xx，则上式两端同除以
21
xx，有
02
21
21
2121
xx
yy
yyxx，
将③④代入得02
21
21
xx
yy
yx．⑤
（1）将
2
1
x，
2
1
y代入⑤，得
2
1
21
21
xx
yy
，故所求直线方程为：0342yx．⑥
将⑥代入椭圆方程2222yx得0
4
1
662yy，0
4
1
6436符合题意，
0342yx为所求．
（2）将2
21
21
xx
yy
代入⑤得所求轨迹方程为：04yx．（椭圆内部分）
（3）将
2
1
21
21
x
y
xx
yy
代入⑤得所求轨迹方程为：022222yxyx．（椭圆内部分）
第4页共4页
十、韦达定理法:有些轨迹问题,其变量或不确定的因素较多,直接探求显得困难,但是,根据题设构
造出一个一元二次方程,利用韦达定理来探究,则往往能消除一些参变量,迅速求得轨迹方程．
例10.过抛物线y=x2的顶点O,任作两条互相垂直的弦OA,OB,若分别以OA,OB为直径作圆,求两
圆的另一交点C的轨迹方程．
解：设A,B两点的坐标分别为(
2
1
,
1
tt),(
2
2
,
2
tt),则由OA⊥OB得t1t2=－1
因为以OA为直径的圆方程为
0
2
1
1
22
1
1
2
1
ytxtyx
x
y
tx
ty
①
同理以OB为直径的圆方程为0
2
2
2
22
ytxtyx②
而点C(x,y)满足①②,由①②知t1,t2是关于t的二次方程yt2+xt-x2-y2=0的两根,根据t1t2=
－1及韦达定理得
y
yx
tt
22
21
1
,即有x2+y2-y=0(y≠0)这就是C点的轨迹方程.
十一、极坐标法:某些动点按照一定的规律运动时,如果与角度和长度有关,则可通过建立极坐系
较为方便地求得轨迹方程.
例11．已知椭圆1
16
2
24
2
y
x
与直线L:
1
812
y
x
,P为直线L
上的任一点,OP交椭圆于点R,
Q是OP上一点,且满足|OP||OQ|=|OR|2求动点Q的轨迹方程并
指出轨迹的曲线.
解以原点为极点,ox轴正方向为极轴建立极坐标系
则椭圆的极坐标方程为1
16
2
sin
2
24
2
cos
2
,直线L的极坐
标方程
1
8
sin
12
cos
,则
2
sin3
2
cos2
48
22
||
R
OR,
sin3cos2
24
||
P
OP
设点Q(ρ,θ),由|OQ||OP|=|OR|2得
2
sin3
2
cos2
48
sin3cos2
24
整理得sin6cos4
2
sin
2
3
2
cos
2
2
即2x2+3y2=4x+6y(x,y不同为0)
故Q点的轨迹方程为
1
3
5
2
)1(
2
5
2
)1(
yx
(x,y不同为0),其轨迹是去掉原点的一个椭圆.
十二、切点弦方程的求法
例12．过抛物线y2=4x外一点P（-1，-2）作抛物线两切线，切点分别为M、N，求直线MN的方程。
解：设M（x1y1）N（x2y2）则过M、N的切线方程为y1y=2(x+x1)y2y=2(x+x2)
由于过M、N的切线都经过P（-1、-2）则-2y1=2(x1-1)-2y2=2(x2-1)
∴直线MN的方程为-2y=2(x-1)即x+y-1=0
结论一：（圆的切点弦方程）过圆x
2+y2=r2(r>0)，外一点P（a，b）作圆的两切线，切点为
M、N，则直线MN的方程为：ax+by=r2(若圆心C不在原点，以PC为直径圆与原圆相减)
结论二：（椭圆的切点弦方程）过椭圆1
2
2
2
2
b
y
a
x
（a>b>0）外一点P（x
0
，y
0
）作椭圆的两
切线，切点为M、N则直线MN的方程为：1
2
0
2
0
b
yy
a
xx
结论三：（抛物线的切点弦方程）过抛物线y
2=2px(p>0)外一点P（x
0
,y
0
）作两切线，切点为
M、N，则直线MN的方程为yy
0
=p(x+x
0
)
结论四：（双曲线的切点弦方程）过双曲线1
2
2
2
2
b
y
a
x
外一点P（x
0
，y
0
）作双曲线两切线，切
点分别为M、N则直线MN的方程为：1
2
0
2
0
b
yy
a
xx
OL
P
R
Q