平方数列求和公式
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2023年3月2日发(作者：autocad2014)数学运算中需掌握的16个公式
1.整体消去法
在较复杂的计算中，可以将近似的数化为相同，从而作为一个整体消去。
2.弃9验算法
利用被9除所得余数的性质，对四则运算的结果进行检验的一种方法，叫“弃9验
算法”。
用此方法验算，首先要找出一个数的“弃9数”，即把一个数的各个数位上的数字相
加，如果和大于9或等于9都要减去9，直至剩下的一个小于9的数，我们把这个数
称为原数的“弃9数”。
对于加减乘运算，可利用原数的弃九数替代进行运算，结果弃九数与原数运算后的
弃九数相等。
注：a.弃九法不适合除法。b.当一个数的几个数码相同，但0的个数不同，或数字
顺序颠倒，或小数点的位置不同时，它的弃9数却是相等的。这样就导致弃9数虽相
同，而数的实际大小却不相同的情况，这一点要特别注意。
3.裂项公式
1/n(n-k)=1/k(1/(n-k)-1/n)。
4.平方数列求和公式
1^2+2^2+3^2…+n^2=1/6n(n+1)(2n+1)。
5.立方数列求和公式
1^3+2^3+3^3…+n^3=[1/2n(n+1)]^2。
6.传球问题核心公式
n个人传m次球，记x=(n-1)^m/n，则与x最接近的整数为传给“非自己的某人”
的方法数，与x第二接近的整数便是传给自己的方法数。
7.行程问题
(1)分别从两地同时出发的多次相遇问题中，第n次相遇时，每人走过的路程等于
他们第一次相遇时各自所走路程的(2n-1)倍。
(2)a.b距离为s，从a到b速度为v_1,从b回到a速度为v_2，则全程平均速度
v=(〖2v〗_1v_2)/(v_1+v_2)。
(3)沿途数车问题：
(同方向)相邻两车的发车时间间隔×车速=(同方向)相邻两车的间隔。
(4)环形运动问题：
异向而行，则相邻两次相遇间所走的路程和为周长。同向而行，则相邻两次相遇间
所走的路程差为周长。
(5)自动扶梯问题
能看到的级数=(人速+扶梯速)×顺行运动所需时间。
能看到的级数=(人速-扶梯速)×逆行运动所需时间。
(6)错车问题
对方车长为路程和，是相遇问题。路程和=速度和×时间。
(7)队伍行走问题
v_1为传令兵速度，v_2为队伍速度，l为队伍长度，则：
从队尾到队首的时间为：l/(v_1-v_2)。
从队首到队尾的时间为：l/(v_1+v_2)。
8.比赛场次问题
n为参赛选手数，淘汰赛仅需决出冠亚军比赛场次=n-1，淘汰赛需决出前四名比
赛场次=n，单循环赛比赛场次=?_n^2，双循环赛比赛场次=a_n^2。
9.植树问题
两端植树：距离/间隔+1=棵数。
一端植树(环形植树)：距离/间隔=棵数。
俩端均不植树：距离/间隔-1=棵数。
双边植树：(距离/间隔-1)*2=棵数。
10.牛吃草问题
(牛头数-每天长草量)×天数=最初总草量。
11.日期问题
一年加1，闰年加2，小月(30天)加2，大月(31天)加3，28年一周期。4年1
闰，100年不闰，400年再闰。
12.页码问题
如：一本书的页码一共用了270个数字，求这本书的页数。
页数=(270+12×9)/3=126页
公式：10-99页：页数=(数字+1×9)/2。
100-999页：页数=(数字+12×9)/3。
1000-9999页：页数=(数字+123×9)/4。
13.方阵问题
最为层每边人数为n，方阵总人数=n^2。最外层总人数=(n-1)×4。相邻两层总
人数差=8(行数和列数>3)。去掉一行一列则少(2n-1)人。空心方阵总人数=(最外层
每边人数-层数)×层数×4。
14.几何问题
n边形内角和=(n-2)×180°
球体体积=4/3πr^3
圆柱体积=πr^2h
圆柱体积=1/3πr^2h
15.非闭合路径货物集中问题
在非闭合的路径上(包括线形、树形等，不包括环形)有多个节点，每个节点之间通
过“路”来连通，每个节点上有一定的货物。
当需要用优化的方法把货物集中到一个节点上的时候，通过以下方式判断货物流通
的方向：
1、判断每条“路”的两侧的货物总重量，在这条“路”上一定是从轻的一侧流向重的
一侧。
2、适用于“非闭合”的路径问题，与各条路径的长短没有关系;实际操作中，我们应
该从中间开始分析，这样可以更快得到答案。
16.时钟问题
小知识：时针与分针一昼夜重合22次，垂直44次，成180°，也是22次。
求时针与分针成一定角度时的实际时间t，
t=t_0+1/11t_0，其中t_0为时针不动时，分针走到符合题意位置所需的时间。
下面挑选2014年江苏公务员考试通用教材中的几个例题进行说明：
【例题1】黑板上写有一串数字：1、2、3、……、2011、2012，任意擦去几个
数，并写上被擦去的几个数的和被11除所得的余数，这样操作下去，一直到黑板上只
剩下一个数，则这个数是：
A.0B.1C.2D.4
解析：每次操作后黑板上所有数字的和减少11的倍数。此题可以理解为只经过一
次操作，将所有的数字一次擦掉,写上这些数字的和除以11的余数。
1+2+3+……+2012=2012×2013÷2，因为2013能被11整除,所以最后黑板上剩
下的数为0。
【例题2】甲、乙、丙三个班人数相同，在班之间举行象棋比赛。将各班同学都按
1，2，3，…，编号。当两个班比赛时，具有相同编号的同学在同一台对垒。在甲、乙
两班比赛时，有15台是男、女生对垒;在乙、丙两班比赛时，有9台是男、女生对垒。
则甲、丙两班比赛时，男、女生对垒的台数最多为?
A.15B.9C.6D.24
解析：同一编号下甲、丙是男女对垒的情况有2种，第一种是甲乙性别相同，乙丙
性别不同(男女对垒)，可知最多有9台;第二种是甲乙性别不同，乙丙性别相同，可知
最多有15台。综上，甲、丙两班比赛时男、女对垒的台数最多为9+15=24台。
【例题3】在一条公路上每隔100公里有一个仓库，共有5个仓库，一号仓库存
有10吨货物，二号仓库存有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是
空的。现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5
元运输费，则最少需要运费()。
a.4500元b.5000元c.5500元d.6000元
解析：本题中四条“路”都具备“左边总重量轻于右边总重量”的条件，所以这些“路”
上的流通方式都是从左到右。故集中到五号仓库是最优选择。
【例题4】某种商品按照25%的利润率来定价，后来成本下降了10%，于是打折
销售，销售量比预计提高了2倍。结算时发现总利润比预计还多了80%，则打几折销
售?
A.七五折B.八四折C.八五折D.九一折
解析：设成本价为1，预计销量为1，则原价为1.25，预计的利润为0.25，后来
的成本为0.9，实际销售量为3。设打折后售价为x。则有3×(x一
0.9)=0.25×(1+80%)，解得x=1.05，1.05÷1.25=0.84，即打了八四折。