一阶微分方程解法

一阶微分方程解法

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2023年3月2日发(作者：dell网络直销)

一阶常系数线性齐次微分方程组的求解

【模型准备】一只虫子在平面直角坐标系内爬行.开始时位于点P

0

(1,0)处.如果

知道虫子在点P(x,y)处沿x轴正向的速率为4x5y,沿y轴正向的速率为2x3y.

如何确定虫子爬行的轨迹的参数方程?

图31虫子爬行的轨迹

【模型假设】设t时刻虫子所处位置的坐标为(x(t),y(t)).

【模型构成】由已知条件和上述假设可知

d

45,

d

d

23,

d

x

xy

t

y

xy

t



















而且(x(0),y(0))=(1,0).

现要由此得出虫子爬行的轨迹的参数方程.

【模型求解】令A=

45

23











,则|EA|=

45

23









=(+1)(2).可见A的特征

值为

1

=1,2

=2.

(EA)x=0的一个基础解系为:1

=(1,1)T;

(2EA)x=0的一个基础解系为:2

=(5,2)T.

令P=(

1

,2

),则P

1AP=

10

02









.

记X=

x

y







,Y=

u

v







,并且作线性变换X=PY,则Y=P

1X,

d

dt

Y

=P

1

d

dt

X

=P

1AX=P

1APY=

10

02









Y,

即

dd

dd

ut

vt







=

10

02









u

v







,

故u=c

1

e

t,v=c

2

e2t,即Y=1

2

2

t

t

ce

ce







.因而

1

2

c

c







=Y|

t=0

=P

1X|

t=0

=

2/35/3

1/31/3











1

0







=

2/3

1/3









.

于是

x

y

O

1

何去何从?

Y=

2

2

3

1

3

t

t

e

e

















,X=PY=

15

12





2

2

3

1

3

t

t

e

e

















=

2

2

25

33

22

33

tt

tt

ee

ee





















.

这就是说,虫子爬行的轨迹的参数方程为

2

2

25

,

33

22

.

33

tt

tt

xee

yee























如果在Matlab命令窗口输入以下命令

>>ezplot('-2/3*exp(-t)+5/3*exp(2*t)','-2/3*exp(-t)+2/3*exp(2*t)',[0,1

])

>>gridon;

>>axis([0,12,0,5])

Matlab执行后得

图32Matlab绘制的虫子爬行轨迹

【模型分析】从图32可以看出虫子爬行的轨迹接近一条直线.

Matlab实验题

一只虫子在平面直角坐标系内爬行.开始时位于点P

0

(0,1)处.如果知道虫

子在点P(x,y)处沿x轴正向的速率为x+y,沿y轴正向的速率为2xy.求虫子

爬行的轨迹的参数方程,并绘制虫子爬行的轨迹.