共面向量定理
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2023年3月2日发(作者：中队名)江苏省涟水中学2013-2014高二数学教学案
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§2共面向量定理
教学目的：1.掌握共面向量定理
2.会用定理证明一些共面，平行等问题
教学重难点：共面向量定理的应用
教学过程：
一、问题情境：
平面向量基本定理：
注：（1）
12
,ee叫平面内所有向量的一组基底
（2）
a
用
12
,ee表示称为向量的分解，当
12
ee时称为正交分解。
二、学生活动：
上述定理可推广到空间吗？是什么形式？
三、数学建构
1、共面向量：能平移到同一平面内的向量叫做共面向量（或平行于同一平面的向
量）
注：两个向量一定共面，三个向量不一定共面
2、三个向量共面的条件：
（1）若p与,ab共面，则由平面向量基本定理：存在唯一实数对,xy，
使pxayb
（2）若存在唯一一对实数,xy，使pxayb
在空间中一点M作,MAaMBb且作','MAxaMByb，
则MPxaybp
P在面MAB内，p与,ab共面
3、共面向量定理：
注：（1）p可用,ab线性表示
（2）作用：证明线面平行，证明点共面
（3）推论：点P在面MAB内充要条件是：存在,xy使MPxMAyMB
四、数学应用：
例1、课本如图。已知矩形ABCD和矩形ADEF所在平面互相垂直，点M,N分别在对
角线BD,AE上，且BM=
3
1
BD,AN=
3
1
AE.求证：CDEMN平面//.
注：（1）找向量关系，封闭图形
（2）尽量用面CDE中向量表示
江苏省涟水中学2013-2014高二数学教学案
2
O
P
A
B
练习：
76
P１３
例2、如图，AB所在直线为AB，O为直线AB外一点，则P在直线AB上充要
条件是：存在实数t，使(1)OPtOAtOB
证明：（1）若(1)OPtOAtOB，则()OPOAtOBOA
APtAB
,,ABP三点共线。
推广：设空间任意一点O和不共线三点A,B,C若点P满足向量关系
)1(
zyxOCzOByxOAOP其中，试问：P,A,B,C四点是否
共面？
练习：在四棱锥P-ABCD中，PA面,ABCDABCD为矩形，,MN在,PCPD上，
且:2:1PMMC，N为PD中点。求满足
MNxAByADzAP
的
,,xyz的值。
例3、设ABC，，及
111
ABC，，分别是异面直线
12
ll，上的三点，而
MNPQ，，，分别是线段
1111
AABABBCC，，，的中点．
求证：MNPQ，，，四点共面．
练习:P742、4
练习：已知非零向量e1，e2不共线，如果AB
→
＝e1＋e2，AC
→
＝2e1＋8e2，AD
→
＝3e1－3e2，
求证：A、B、C、D共面．
五、课堂小结：
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§2共面向量定理作业
班级姓名学号得分
1、下列结论中，正确的个数是个
①若,,abc共面，则存在实数,xy对，使axbyc
②若,,abc不共面，则不存在实数,xy对，使axbyc
③若,,abc共面，,bc不共线，则存在实数,xy对，使axbyc
④若axbyc，则,,abc共面
2、若对任一点O和不共线三点,,ABC，有
OPxOAyOBzOC
，则
1xyz是,,,PABC共面的条件
3、在下列条件中，使M与,,ABC一定共面的有
1、2OMOAOBOC2、
111
532
OMOAOBOC
3、0MAMBMC4、0OMOAOBOC
4、已知正方体''''ABCDABCD中，点F是侧面'CD的中心，若
1
AFADmABnAA，则m，n
5、已知,,ABC三点不共线，O是平面ABC外任一点，若
12
53
OPOAOBOC，确定一点P与,,ABC共面，则
6、已知P是ABC所在平面外一点，M是PC的中点，若
BMxAByACzAP，则x，y，z
7、已知,,ABM三点不共线，对于平面ABM外任一点O，确定在下列各条件下，
点P是否与,,ABM共面。
（1）3OBOMOPOA
（2）4OPOAOBOM
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4
F
E
D
C
B
A
P
8、已知,,ABC三点不共线，对平面ABC外的任一点O，分别根据下列条件判断
点M是否与,,ABC共面？
（1）
111
236
OMOAOBOC
（2）3OMOAOBOC
（3）2OMOAOBOC
9、已知a＝(2，－1,3)，b＝(－1,4，－2)，c＝(7,5，λ)，若a、b、c三个向量共面，
求实数λ。
10、PA垂直于矩形ABCD，,EF分别是,ABPD中点，试判断AF与平面PCE
的位置关系。