正切函数的图像

正切函数的图像

-















22



，x

正切函数的图像和性质：

一、正切函数的图像

利用正切线画出函数y=tanx，的图像

作法:(1)等分(2)作正切线(3)平移(4)连线

二、正切曲线

根据正切函数的诱导公式tan(x+



)=tanx，可以把y=tanx，(,)

22

x



的图像向左、向

右连续平移，得出y=tanx，(,)

22

xkk



的图像——正切曲线。

正切曲线是由通过点()0,

2

(



k且与y轴相互平行的直线隔开的无穷多支曲线组成。

注：画正切曲线的方法：“三点两线法”’

三点:

(0,0)11

44











、（，）、，

，两线:

22

xx



和

三、正切函数y=tanx的性质：

1．定义域：

正切函数的定义域Zkkkx),

2

,

2

(







。

x

y

2





2



2．值域：

正切函数的值域是R。

3．单调性：

正切函数在每一个开区间

Zkkk),

2

,

2

(







上都是增函数，其值从（-



，+



）

即

)

2

,

2

(







kk

(k∈Z)

4．奇偶性：

正切曲线关于原点对称,及定义域关于原点对称且f(-x)=-f(x)，所以函数y＝tanx,

Zkkkx),

2

,

2

(







为奇函数．

5、对称性：

y=tanx无对称轴，对称中心为)0,

2

(

k

，k∈Z。

6．周期性：

当

x

增加

k（kZ）时，总有

)(tan)tan()(xfxkxkxf

．

y=tanx周期

k（kZ），最小正周期为.

7、渐近线：Zkkx,

2





典型例题：

例1.求函数)

32

tan(



xy的性质。

例2求函数y=lg（tanx-3）+

3cos2x

的定义域．

解：欲使函数有意义，必须

tanx＞3,

2cosx+3≥0,

x≠kπ+

2



（k∈Z）

由此不等式组作图∴函数的定义域为（kπ+

3



,kπ+

2



）．

评析：解正切不等式一般有两种方法：图像法和三角函数线法．图像法即先画出函数图像，

找出符合条件的边界角，再写出符合条件的角的集合．三角函数线法则是先在单位圆中作出

角的边界值时的正切线，得到边界角的终边，在单位圆中画出符合条件的区域．要特别注意

函数的定义域．

例：解不等式

1)

6

tan()21tan1



xx）

练习：根据正切函数的图象，写出使下列不等式成立的x的集合

(1)tanx+1≧0(2)tanx3<0

例：不求值，比较大小：

（1）143tan138tan与（2）)

4

13

tan(π与)

5

17

tan(π

练习：比较大小：

（1）tan



11

9

和tan



11

3

（2）tan1519°和tan1493°

（3）tan)

11

9

6(

和tan)

11

3

5(

Z)

2

,(

)lg(tan





kkk

xy





）。的增区间是（例：函数

呢？若

的值域。例：求函数

]

3

,

4

[

1tantan2







x

xxy

例：求函数y=sinx,y=x,y=tanx的交点个数。

1个

例：作出函数y=｜tanx｜的图像，并根据图像求其单调区间．

分析：要作出函数y=｜tanx｜的图像，可先作出y=tanx的图像，然后将它在x轴上方的图

像保留，而将其在x轴下方的图像向上翻（即作出关于x轴对称图像），就可得到y=｜tanx｜

的图像

．

解：由于y=｜tanx｜=















),

2

[,tan

)

2

,[,tan











kkxx

kkxx

所以其图像如图所示，单调增区间为［kπ,kπ+

2



)

（k∈Z）;

单调减区间为

(

kπ-

2



,kπ］（k∈Z）．

说明：根据图像我们还可以发现：函数y=｜tanx｜的最小正周期为π．一般地，y=A｜tan

π

-π

o

x

y

qx()=x

hx()=tanx()

fx()=sinx()

（ωx+φ）｜的最小正周期与y=Atan（ωx+φ）的最小正周期相同，均为





．

练习：

1．讨论函数

)

62

1

tan(



xy的性质。

2．比较大小：

（1）tan111°和tan133°

（2）tan)

4

13

(和tan)

5

17

(

3．判断下列语句是否正确：

(1)y=tanx在定义域上是单调增函数；

（2）y=tanx在第一象限是单调增函数；

（3）

8

7

16





，而y=tanx是单调增函数，

8

7

tan

16

tan





4、函数

3

tan(),,

44

yxxkkZ



的对称中心是

5、函数

1

2

logtanyx的定义域为

6、函数)

6

,

4

(,tan



xxy的值域为

7、函数tanyx，,

2

xkkZ



的周期是

8、函数2tan2tan3,,

33

yxxx













的值域为

9、不求值，判断下列格式的符号

（1）143tan138tan（2）)

5

17

tan()

4

13

tan(

10、根据正切函数的图象，求适合下列条件的x的集合

(1)tan0x(2)tan0x（3）03tanx

11、作出函数

tan||yx

的图象，并根据图象确定其奇偶性，周期性。

12.已知

0cosx

，且

0tanx

，求

（1）角x的集合；

（2）判断

2

x

tan，

2

cos

x

，的符号.