人口预测模型
-
2023年2月28日发(作者：USGAAP)(完整word版)数学建模-人口预测实验报告
0
数学与计算科学学院
实验报告
实验项目名称人口预报
所属课程名称数学模型
实验类型综合型
实验日期
班级信计1001班
学号2
姓名徐超
成绩
(完整word版)数学建模-人口预测实验报告
1
一、实验概述：
【实验目的】
【实验原理】
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2
【实验环境】
二、实验内容：
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3
【实验方案】
有效的控制我国人口的增长，不仅是深入贯彻落实科学发展观，到2020
年实现全面建成小康社会的需要，而且对于全人类的美好理想来说,也是我们
义不容辞的责任。认识人口数量的变化规律，建立人口模型，作出较准确的
预报，是有效控制人口增长产前提。请利用表1给出的近两个世纪的美国人
口统计数据，建立人口预测模型,并对模型作模型的参数估计、检验和预报。
表1美国人口（单位：百万）
年17901860
人口3.95。37。29。612。917。123。231。4
年18701940
人口38。650。262.976.092。0106。
5
123。
2
131.7
年0
人口150.7179。
3
204.0226.5251.4281.4
【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析)
1模型假设
（1）假设各年的人口数均为当年年末人口数。
（2）假设人口数量足够大,为时间的连续可微函数。
(3）假设人口不流动,即不考虑迁入或迁出对全国总人口的影响。
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（4）假设生存空间等自然资源无限,不考虑自然资源对人口变化的影响.
（5）不考虑大规模疾病等意外灾难因素对人口变化的影响。
(6）不考虑同一时间间隔（例如每一年)内人口数量的变化。
（7）假设成都市人口的老龄化趋势与全国基本保持一直。
（8）假设我国的政治体制对人口状态变化的影响保持不变,如计划生育
政策的稳定不变。
2符号说明
()Xt：模型(1）中表示第t年的实际人口数；
ˆ
()Xt:模型（1)中表示第
t年的预测人口数;：模型（2)中表示内禀增长率；
0
t:模型（2）中表示初
始年份；
m
w：模型（2）中表示环境条件所能容许的最大人口数；()Wt：模
型(2)中表示第t年的人口数;
m
:模型（3）中表示嵌入维数；：模型（3）
中表示时间延迟；
i
Y：模型(3）中表示重构相空间；M
:模型（3）中表示m
维相空间的嵌入点数；
:模型(3)中表示最大Lyapunov指数；
m
T：模型（3）
中表示最长预测时间；()()iXk：模型(4）中表示第k年的实际人口数；()ˆ
()iXk:
模型(4)中表示第k年的预测人口数；
：模型（5）中表示人口老龄化指数;
i
D:
模型(5)中表示第i个年龄段的人数;
i
B：模型(5）中表示第i个年龄段的人数
占总人数的比例.
3模型建立
(1)针对问题（1），我们建立了三个模型：
模型（1）：灰色系统(1,1)GM模型()
()
dXt
aXtu
dt
模型（2）：Logistic人口模型
00
(1)
()
m
dww
w
dtw
wtw
模型（3）：最大Lyapunov指数预测模型
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5
^
^
MM
(0)minY-Y=Y-Y
Mk
j
j
d1
M1k1
Y-YY-Y
Mk
e
(2）针对问题（2）,我们建立了等维灰数递补动态预测模型：
模型(4）：
(0)(1)(1)
^^^
()(1)()XkXkXk
（3）针对问题（3），我们定义了老龄化指数
模型(5）：3
123
100%
D
DDD
4模型求解
（1)问题（1)：我国人口数量的变化趋势
A、模型（1）
在模型（1）中包含两个参数：a和u,首先需要估计出这两个参数。我们
把方程（1)改写为
()
[()]
dXt
aXtu
dt
然后把
t
换为(1)t并与原式作算术平均，得
''
11
{[()(1)]}[()(1)]
22
aXtXtuXtXt
求得时间函数()Xt的估计值：ˆ
()[(0)]at
uu
XtXe
aa
我们把上述方程作为我们的人口预测方程。
根据我们上网查到的1981年～2005年的全国人口统计数据，得到如下
的原始数据序列：
X(0)＝（1
112723
7119859
433
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129237）
得人口预测方程：0.022552ˆ
()176060.7575988.75tXte
将各个年份分别代入上面的方程即得各个年份的人口数据预测值，然后将其
分别与实际值比较，并计算出其误差.
实际值与预测值的比较图[1］
该模型对于中短期的人口预测，所得结果较为准确,大部分预测数据与实
际数据的误差率都在2%以内，较好地估计出了最近几十年的人口数量。
根据我们的模型所预测出的结果，到本世纪中叶我国的人口数量将超过
15亿，但是根据国内的本课题专家研究，随着我国经济社会发展和计划生育
工作加强，可以预测我国的总人口将于2010年、2020年分别达到13.6亿人
和14。5亿人,2033年前后达到峰值15亿人左右，即我国人口的上限不会超
过15亿人。这一结论与我们的模型所得到的数据有所出入。
于是我们将模型进行改进,选择在长期预测方面比较精准的模型
(2)Logistic人口模型来求解.
B、模型（2）
这个问题是典型的伯努利方程初值问题，其解为：
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()
-(-)
0
1(-1)
0
w
m
wt
tt
w
m
e
w
分析上式可知：
(1）当
t
时，()
m
wtw,即无论人口初值如何随着时间推移而变化，
人口总数总是趋向于一个确定的值m
w；
（2)2
2
2
(1)
m
dww
dtw
，所以当人口达到极限值的一半
2
m
w
时，属于加速增
长，超过一半属于减速增长，但是增长率仍为正的，并且其增长率随时间的
增加而减少。
根据1981年~2005年的全国人口统计数据，利用计算机Matlab编程得，
0.0422，150000Wm
从而得到全国总人口数的Logistic模型方程为：
0.0422(1981)
150000
()
150000
1(1)
100072
t
wt
e
利用该模型对1981年～2005年的人口数据进行检验并对2006年～
2050年的人口数据进行预测。
实际值与预测值的比较图［2]
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将该模型所得结果与国内本课题专家研究组得到的数据进行比较,发现
二者拟合的很好，从而保证了该模型在长期人口预测方面的可靠性.
C、模型（3)
(1）重构相空间
单变量时间序列是许多物理因子相互作用的综合反映，它蕴涵参与运动
的全部变量的痕迹.为此，需要把此时间序列扩展到三维甚至更高维的相空间
中去，才能将时间序列中的信息充分显露出来,这就是时间序列的重构相空
间。
设人口的混沌时间序列为
12
{,,...,}
n
xxx，嵌入维数
m
，时间延迟，则重
构相空间
1(1)
(,,),(1,2,)m
iiiim
YxxxRiM
其中M=n-(m-1)表示
m
维相空间的嵌入点数。嵌入维数m和时间延迟
可由C—C方法计算得到.
(2）最大Lyapunov指数算法
1〉时间序列｛()
i
xt，i=1,2，…,N｝进行FFT变换,计算平均周期P；
2〉用C-C方法同时计算出嵌入维数m和时间延迟τ;
3〉根据时间延迟和嵌入维数m重构相空间
j
{Y,j=1,2,M}；
4〉找相空间中每个点
j
Y的最近邻点^
Y
j
，并限制短暂分离，即
^
^
j
(0)minY-Y
j
j
j
d,^
j-j>p，^
i=1,2,,min(M-j,M-j)
5〉对相空间中每个
j
Y,计算出该邻点对应的i个离散时间步的距离()
j
di；
6〉对每个i，求出所有j的ln()
j
di平均y(i)，即：
1
1
y(i)=ln()
qt
q
j
j
di
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其中q是非零
()
j
di
的数目，并用最小二乘法作回归直线，该直线的斜
率就是最大Lyapunov指数。
（3）最大Lyapunov指数预测模型
Lyapunov指数作为量化对初始轨道的指数发散和估计系统的混沌量，
是系统的一个很好的预报参数，在很多领域有着相当广泛的应用前景。设
M
Y
为预测的中心点，相空间中
M
Y的最近的邻点为
k
Y，其距离为(0)
M
d，最大
Lyapunov指数为
1
，即
^
^
MM
(0)minY-Y=Y-Y
Mk
j
j
d1
M1k1
Y-YY-Yt
Mk
e
其中点
1
Y
M
只有最后一个分量
1
()
N
xt
未知,故
1
()
N
xt
是可以预测的。上式
就是基于最大Lyapunov指数的预测模型.实际表明:此预测方法具有较高的
预测精度.
已知把1949年到2006年的人口数据看作时间序列0
(),1,2,...,
i
QtiN
，
重构相空间，把人口的时间序列扩展到
m
的相空间中去，充分显示出人口时
间序列的信息，按照最大lyapunov指数算法,MATLAB编程实现，求的最大
Lyapunov指数0.029380，表明人口数量为混沌时间序列。
实际值与预测值的比较图［3］
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在用最大Lyapunov指数预测2001到2030年的人口，并用前五年的
真实数据进行检验最大Lyapunov指数
1
的倒数为混沌系统确定性预测的时
间上界，即最长预测时间
1
11
34
0.02938m
T
说明该模型对我国未来34年的人口预测所得结果比较精确,较好地达到
了我们的预期目标。基于最大Lyapunov指数方法不但能够充分利用时间序
列资料信息，而且可以克服以往人为选择模型的缺陷，计算相对误差较小，
提高了预测精度，预测效果较好。
【实验结论】（结果）
用得出的拟合参数确立的数学模型与实际数据作比较,结果如图1和图2
所示：
024681012
0
20
40
60
80
100
120
年份t
人
口
x
(
t
)
图1美国人口指数增长模型的拟合图形（1790-1900）
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11
0
100
200
300
400
500
600
年份t
人
口
x
(
t
)
美国人口的指数增长模型的拟合图形（1790-2000）
【实验小结】（收获体会）
三、指导教师评语及成绩：
评语
评语等级
优良中
及
格
不及
格
1。实验报告按时完成,字迹清楚，文字叙述流畅,逻辑性
强
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2.实验方案设计合理
3.实验过程（实验步骤详细,记录完整，数据合理，分析
透彻）
4实验结论正确.
成绩：
指导教师签名：
批阅日期:
附录1：源程序
程序1：
％指数增长模型的1790-1990年数据建立的预测函数
clear;clc；
t=1:12;
%人口增长率参数
r=0。2743;
%初始人口值
x0=4.1884；
％预测模型
y1=x0.*exp(r.*t);
y2=［3。9,5.3,7。2,9.6,12。9,17。1，23。2，31。4,38.6，50.2,62。9，
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76。0］；
title('指数增长模型拟合图形’)；
xlabel（'年份t');
ylabel('人口x（t）');
plot(t，y2，’ro',t，y1,’b')
程序2:
%指数增长模型，全部数据建立的预测函数
clear；clc;
t=1：22；
%人口增长率参数
r=0。2022;
%初始人口值
x0=6.0450;
％预测模型
y1=x0。＊exp(r。*t）;
y2=［3。9,5。3,7.2，9。6,12.9，17。1,23.2,31.4,38.6,
50。2，62。9,76。0,92。0,106。5,123。2，131。7，150.7，179。3,204。
0,226。5，251。4，281。4］;
title（'指数增长模型拟合图形’);
xlabel(’年份t')；
ylabel（'人口x(t）')；
plot(t,y2，’ro',t,y1，'b'）
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附录2：实验报告填写说明
1．实验项目名称：要求与实验教学大纲一致。
2．实验目的：目的要明确，要抓住重点，符合实验教学大纲要求。
3．实验原理:简要说明本实验项目所涉及的理论知识。
4．实验环境：实验用的软、硬件环境。
5．实验方案（思路、步骤和方法等）：这是实验报告极其重要的内容。概括整个实验过程。
对于验证性实验，要写明依据何种原理、操作方法进行实验，要写明需要经过哪几个步骤来实现其操作。
对于设计性和综合性实验,在上述内容基础上还应该画出流程图、设计思路和设计方法，再配以相应的文字
说明。对于创新性实验，还应注明其创新点、特色.
6．实验过程（实验中涉及的记录、数据、分析)：写明具体实验方案的具体实施步骤，包括实验过程中的记
录、数据和相应的分析.
7．实验结论(结果）:根据实验过程中得到的结果，做出结论。
8．实验小结：本次实验心得体会、思考和建议。
9．指导教师评语及成绩:指导教师依据学生的实际报告内容，给出本次实验报告的评价。