中考数学题
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2023年2月28日发(作者：生日会游戏)》》》》》》——2022整理考试辅导资料——《《《《《《
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中考数学经典大题
1.在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=8.点Q是线段AC上的一个动点，过点Q作AC的垂
线交线段AB〔如图1〕或线段AB的延长线〔如图2〕于点P.
〔1〕当点P在线段AB上时，求证：△APQ△ACB；
〔2〕当△PQB是等腰三角形时，求AP的长.
2.如图，对称轴为的抛物线
与轴相交于A、B两点，
其中点A的坐标为〔-3，0〕.
〔1〕求点B的坐标；
〔2〕，C为抛物线与轴的交点.
①假设点P是抛物线上第三象限内的点，是否存在点P，使得S△POC
=4S△BOC
，假设存在，求
点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
②设点Q是线段AC上的动点，作QD轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值.
③假设M是轴上方抛物线上的点，过点M作MN轴于点N，假设△MNO与△OBC相似，
求M点的坐标.
3.如图，在△ABP中，C是BP边上一点，∠PAC=∠PBA，⊙O是△ABC
的外接圆，AD是⊙O的直径，且交BP于点E.
〔1〕求证：PA是⊙O的切线；
〔2〕过点C作CFAD，垂足为点F，延长CF交AB于点G，假设
AG·AB=12，求AC的长；
〔3〕在满足〔2〕的条件下，假设AF：FD=1：2，GF=1，求⊙O的
半径.
4.如图，函数与坐标轴分别交于A、D、B三点，顶
点为C.
〔1〕求△BAD的面积；
〔2〕点P是抛物线上一动点，是否存在点P，使S△ABP
=S△ABC
？假设存
在，求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕在轴上是否存在一点Q，使得△DOQ与△ABC相似，如果存在，求出点P的坐标，如
果不存在，请说明理由.
5.如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD是以AB为直径的⊙M的
内接四边形，点A、B在轴上，△MBC是边长为2的等边三角形。
过点M作直线与轴垂直，交⊙M于点E，垂足为点M，且点D平
分.
〔1〕求过A、B、E三点的抛物线的解析式；
〔2〕求证：四边形AMCD是菱形；
〔3〕请问在抛物线上是否存在一点P，使得△ABP的面积等于定值5？假设存在，请求出所
有的点P的坐标；假设不存在，请说明理由.
6.如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交
AC于点D，取CB的中点E，DE的延长线与AB的延长线交于点P.
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〔1〕求证：PD是⊙O的切线；
〔2〕假设OB=BP，AD=6，求BC的长；
〔3〕如图2，连接OD，AE相交于点F，假设，求的值.
7.抛物线经过点A〔3，2〕，B〔0，1〕和点C〔-1，〕.
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕如图，假设抛物线的顶点为P，点A关于对称轴的对称点为M，过M的直线交抛物线
于另一点N〔N在对称轴右边〕，交对称轴于F，假设S△PFN
=4S△PFM
，求点F的坐标；
〔3〕在〔2〕的条件下，在轴上是否存在点G，使△BMA与△MBG相似？假设存在，求点
G的坐标；假设不存在，请说明理由.
8.如图，PB切⊙O于B点，直线PO交⊙O
于点E、F，过点B作PO的垂线BA，垂
足为点D，交⊙O于点A，延长AO交⊙
O于点C，连结BC，AF.
〔1〕直线PA是否为⊙O的切线，并证明你的结论；
〔2〕假设BC=16，⊙O的半径的长为17，求的值；
〔3〕假设OD：DP=1：3，且OA=3，那么图中阴影局部的面积为？
9.将抛物线C
1
：平移后的抛物线C
2
与轴交于A、B两点〔点A在点B的左边〕与轴负
半轴交于C点，A〔-1，0〕，.
〔1〕求抛物线C
2
的解析式；
〔2〕假设点P是抛物线C
2
上的一点，连接PB，PC.求S△BPC
=S△CAB
时点P的坐标；
〔3〕D为抛物线C
2
的顶点，Q是线段BD上一动点，连接CQ，点B，D到直线CQ的距离记
为d
1
，d
2
，试求出d
1
+d
2
的最大值，并求出此时Q点坐标.
10.如图1，AB为⊙O的直径，TA
为⊙O的切线，BT交⊙O于点
D，TO交⊙O于点C、E.
〔1〕假设BD=TD，求证：AB=AT；
〔2〕在〔1〕的条件下，求
的值；
〔3〕如图2，假设，且
⊙O的半径r=，那么图中阴影局部的面
积为？
11.如图，过A〔1，0〕，B〔3，0〕作轴的
垂线，分别交直线于C、D两点.
抛物线经过O、C、D三
点.
〔1〕求抛物线的表达式；
〔2〕点M为直线OD上的一个动点，过M作轴的垂线交抛物线于点N，问是否存在这样
的点M，使得以A、C、M、N为顶点的四边形为平行四边形？假设存在，求此时点M的横
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坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设点P为抛物线上的一点，连接PD，PC.求S△PCD
=S△CDB
时点P的坐标.
〔4〕假设△AOC沿CD方向平移〔点C在线段CD上，且不与点D重合〕，在平移的过程中
△AOC与△OBD重叠局部的面积记为S，试求S的最大值.
12.如图，点C在以AB为直径的⊙O上，AD与过点C的切线垂直，
垂足为点D，AD交⊙O于点E.
〔1〕求证：AC平分∠DAB；
〔2〕连接BE交AC于点F，假设=，求的值.
13.如图，在矩形ABCD中，E是AB边的中点，沿EC对折矩形ABCD，
使B点落在点P处，折痕为EC，连结AP并延长交CD于F点.
〔1〕求证：四边形AECF为平行四边形；
〔2〕假设△AEP是等边三角形，连结BP，求证：△APB△EPC；
〔3〕假设矩形ABCD的边AB=6，BC=4，求△CPF的面积.
14.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与
轴交于A、B两点〔点A在点B的左侧〕，经过点A的直线l：
与轴负半轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD=4AC.
〔1〕直接写出点A的坐标，并求出直线l的函数表达式〔其中k、b
用含的式子表示〕；
〔2〕点E是直线l上方的抛物线上的动点，假设△ACE的面积的最大值为，求的值；
〔3〕设P是抛物线的对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边
形能否成为矩形？假设能，求出点P的坐标；假设不能，请说明理由.
15.如图，AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，
线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC
相交于点E，连接BC.
〔1〕求证：PA·BC=AB·CD.
〔2〕假设PA=10，=，求PE的长.
16.：点P是平行四边形ABCD对角线AC所在直线上
的一个动点〔点P不与点A、C重合〕，分别过点A、C向直线
BP作垂线，垂足分别为点E、F，点O为AC的中点.
〔1〕当点P与点O重合时如图1，求证：OE=OF；
〔2〕直线BP绕点B逆时针方向旋转,当∠OFE=30°时.
①假设转到如图2的位置，线段CF、AE、OE之间有一个不变的相等关系式，请写出这个关
系式.〔不用证明〕
②假设转到图3的位置，猜测线段CF、AE、OE之间有怎样的数量关系？请予以证明.
17.如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=2，
OC=4.
〔1〕求经过A、B、C三点的抛物线的解析式；
〔2〕在平面直角坐标系中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱
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形？假设存在，请求出点P的坐标；假设不存在，请说明理由；
〔3〕假设点M为该抛物线上一动点，在〔2〕的条件下，请求出当|PM-AM|为最大值时，
点M的坐标，并直接写出|PM-AM|的最大值.
18.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，DEBD交
AB于E，⊙O是△BDE的外接圆，交BC于点F.
〔1〕求证：AC是⊙O的切线；
〔2〕连接EF，假设BC=9,CA=12，求的值.
19.如图，在正方形ABCD中，AB=5,P是BC边上任意一点，E是
BC延长线上一点，连接AP，作PFAP，使PF=PA，连接CF、
AF，AF交CD边于点G，连接PG.
〔1〕求证：∠GCF=∠FCE；
〔2〕判断线段PG，PB与DG之间的数量关系，并证明你的结论；
〔3〕假设BP=2，在直线AB上是否存在一点M，使四边形DMPF是平行四边形，假设存在，
求出BM的长度，假设不存在，请说明理由.
20.抛物线与轴交于点C，与轴的两个交点
分别为A〔-4,0〕，B〔1，0〕.
〔1〕求抛物线的解析式；
〔2〕点P在抛物线上，连接PC，PB，假设△PBC是以BC为
直角边的直角三角形，求点P的坐标；
〔3〕点E在轴上，点F在抛物线上，是否存在以A，C，E，F为顶点的四边形是平行四边
形？假设存在，请直接写出点E的坐标；假设不存在，请说明理由.
21.如图1，直角△ABC中，∠ABC=90°，AB是⊙O的直径，⊙O交AC于点D，取CB的中点E，
DE的延长线与AB的延长线交于点P.
〔1〕求证：PD是⊙O的切线；
〔2〕如图2，连接OD，AE相交于点F，假设=2，求的值.
22.四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，
且∠EAF=60°.
〔1〕如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系；
〔2〕如图2，当点E是线段CB上任意一点时〔点E不与B、C重合〕，求证：BE=CF；
〔3〕如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离.
23.如图，抛物线的开口向下，与轴交于点A〔-3，0〕和点B〔1，0〕.与轴
交于点C，顶点为D.
〔1〕求顶点D的坐标〔用含的代数式表示〕；
〔2〕假设△ACD的面积为3.
①求抛物线的解析式；
②将抛物线向右平移，使得平移后的抛物线与原抛物线交于点P，且∠PAB=∠DAC，求平移
后抛物线的解析式.