正切图像

正切图像

-

2023年2月27日发(作者：开元奇迹)

1

正切函数的图象和性质教学案例的实践与认识

温州中学孔娣

一、教学设计过程

1．教学设计思路

由于学生在本节课之前刚学习了正余弦函数的图像和性质，我想以此为基础让学生自

主探究正切函数的图像和性质，尽量以学生为主体，发挥学生的主动性。因此采取了如下

的教学设计思路：

教学方法：探究式教学——“变教学为诱思，以诱达思促发展”。在教学中，要让学生

在学习过程中实现自主学习、合作学习和探究学习，教师充当引导者的角色，引导、帮助

学生检视和反思自我，明了要学习什么和获得什么；帮助学生寻找、搜集和利用学习资源；

帮助学生设计恰当的学习活动；帮助学生发现他们所学东西的意义；帮助学生营造和维持

学习过程中积极的心理氛围；帮助学生对学习过程和结果进行评价。

教学手段：多媒体辅助教学———采用PowerPoint幻灯片，几何画板和实物投影仪辅

助教学，这样可以减少板书时间，利用幻灯片中一些有意思的小动画营造轻松活泼的课堂

氛围，利用几何画板作图增强学生对图形形成的直观理解，利用实物投影仪展示学生作品。

教学思路：问题开路



温故知新



师生讨论



动手做图



一起评价



发现问

题



获得性质



性质运用



课外拓展。

2．教学设计内容

I．课题：正切函数的图象和性质（1）

II．教学目标：①．了解利用正切线画出正切函数图象的方法；

②．了解正切曲线的特征，能利用正切曲线解决简单的问题；

③．掌握正切函数的性质。

III．教学重、难点：①．正切函数图象的作法；

②．正切函数的性质。

IV．教学过程：

（一）情境设置（问题开路）：

前面我们研究了正余弦函数的图像和性质，这节课开始研究正切函数的图像和性质。问怎样

作正切函数的图像？



（启发问题）做函数图像的常用方法？



描点连线。



如何找

点？



找点的横纵坐标



写出特殊点的横纵坐标，发现直接描点不精确。



有什么方

法精确找点？

（二）温故知新（问题导学）：

问题：(1)正弦曲线是怎样画的？（学生回答，利用多媒体演示回顾）

（2）如何作一个角的正切线？（学生回忆，教师演示，注意特殊角情形）

问：现在你能否作出正切函数的图像？（发给学生每人一张准备好的有直角坐标系和单位圆

的纸，让学生快速动手作图）

（三）评价成果，正确作图：

教师巡视，待大部分学生完成作图后，教师有目的的收上学生的各种作品，利用实物投影仪

展示学生作品，对其进行评价，就学生暴露的问题进行讨论，寻找原因。

就学生作图出现的问题一起讨论正确作图步骤：

(1)学生作图错误：在

2



x处有图像。

教师问：为什么错？

2

学生：在

2



x处函数没意义。

教师问：那函数在什么范围内有意义？即正切函数tanyx的定义域是什么？

学生：













zkkxx,

2

|



（2）．发现学生作了一段图像。

教师：为什么函数图像只作了一段?

学生：根据周期性可得其他图像。

教师：正切函数是不是周期函数？那么它的最小正周期是什么？

学生(讨论)：tantan,,

2

xxxRxkkz













根据诱导公式且

，

∴



是tan,,

2

yxxRxkkz













且的一个周期。

教师：



是不是正切函数的最小正周期？证明从略，下面作出正切函数图象来判断。

（3）．如何作tanyx，x

,

22











的图象？

作法：①在直角坐标系

y轴左侧画单位圆；

②把单位圆右半圆8等分

且分别作正切线；

③找横坐标（将x轴上

2



到

2



这一段分成8

等分）；

④找纵坐标（平移正切

线）；

⑤连线

教师问：能否选择作tanyx，x0,的图象？

学生甲：不可以，因为在在

2



x处会出现断点。

学生乙：可以；

教师问：为什么没选择作0,范围内图像？

3

学生乙：

2



x处函数无意义，图像不连续，作图不方便。

(4)．教师：如何作tanyx，x

Rxk,kZ

2



且的图象？

学生：根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展。

（教师用投影仪投出图像并讲解）

根据正切函数的周期性，把上述图象向左、右扩展，得到正切函数Rxxytan，且

zkkx



2

的图象，称“正切曲线”。

说明：（1）由图象观察出，正切函数的最小正周期不能比



小，正切函数的最小正周期是



；

（2）与正余弦图像作比较发现正切曲线的特征：正切曲线是由被相互平行的直线



2

xkkZ



（渐近线）所隔开的无穷多支曲线组成的。

（3）画正余弦函数在长度为一个周期的闭区间上的简图方法——五点作图法；画正切函数

在长度为一个周期的闭区间上的简图方法——两线（渐近线）一点（零值点）法，方便

实用作图。

（四）．正切函数的性质

教师：根据正余弦函数的性质，你想知道正切函数的什么性质？

（引导学生观察正切曲线，共同获得）

（1）定义域：













zkkxx,

2

|



；

（2）值域：R

观察：当

x

小于zkk

2



且

2



kx时，tanx；



2

3



2





2





2

3

O

y

x

4

当x大于

2

kkz



且

2

xk



时，xtan。

（3）周期性：（最小正周期）T；

（4）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数，正切曲线关于原点对称；

（5）单调性——

学生：正切函数在每个周期内单调递增。

教师：那么在),0(内单调递增？反例：

4

3

4



，但是1

4

3

tan1

4

tan



。应该

怎样正确描述正切函数的单调性？

学生：（思考讨论）在每个开区间zkkk





















2

,

2

内，函数单调递增。

教师：正切函数在整个定义域内是增函数吗？为什么？

学生：不是，正切函数在整个定义域上不具有单调性，它的定义域不连续，不能说它在整

个定义域内是增函数，只能说它在每个单调区间内是增函数。

师生：（教师幻灯片展示，学生一起填写）正余弦函数与正切函数性质作对比表格。

（五）性质应用：

例1．求函数tan

4

yx











的定义域和值域。

答案：定义域为,

4

xxkkZ













；值域为R．

变式一：求函数

1

tan

4

y

x













的定义域和值域。

答案：

xk

kk

42

xx(kZ)

4242

xk

4































定义域为,

42

k

xxkZ









；值域为(,0)(0,)．

变式二：求函数tan1

4

yx











的定义域和值域。

解：法一：先画出tanyx，

x,

22











的图象，由此图像观察出在此区间满足tanx1

5

的x的范围为x<

42



，结合周期性，可知,,

2

xRxkkz



且上满足tanx1的

x的集合为x|kxk,kZ

42

















，把

4

x



（）看作角整体，则有

x|kx+k,kZ

442

















，所以函数的定义域为

x|kxk,kZ

4













；值域为),0[。

法二：亦可利用单位圆求解。

例2：不通过求值，比较下列各组中两个正切函数值的大小：

1317

1tan138tan1432tan()tan()

45

（）与（）与

备用练习：课本P72练习2，3

（六）．小结：1．作正切曲线的方法及图象特征；

2．正切函数的性质；

（七）．课外拓展（课后作业）：

以正切函数的图像和性质为基础，结合已掌握的相关知识，请你探究余切函数的

图像和性质。

3．教学设计意图

本节课主要通过学生自主探究正切函数图像，然后由图像得性质来实现教学目标，下

面对每一部分的设计意图作以阐释。

“情境设置”由问题开路，通过问题情景的创设，激发学生的求知欲。“（启发问题）做

函数图像的常用方法？”为“怎样作正切函数的图像？”这一主要问题找到出路，然后逐

步引导，先找特殊点再找点的横纵坐标，横坐标为用弧度表示的角，纵坐标为对应角的正

切值。但直接描点不精确怎么办？于是引出下文。

“温故知新”用问题导学，通过回顾正弦曲线的画法诱发学生得出利用等分单位圆平

移正切线得到对应点的横纵坐标，然后精确描点。要利用正切线，必须知道怎样画正切线，

于是回顾正切线画法。

“学生做图，教师评价”，鼓励学生完成富有挑战性的任务，体验成功的经验，激发学

习的兴趣和自信心。让学生自己尝试画图，利用已有知识将自己的想法通过作图实践。对

画正确的学生给与表扬赞赏，对于画图有错误的学生给与鼓励。在学生做图中暴露一些问

题，而这些做图错误可以成为分析新知识的良好契机，寻找出错原因，找出正确作图方法。

“获得性质”，让学生观察所得图像，结合正余弦函数性质，得到正切函数性质。此处

着重分析正切函数的单调性问题。

“性质运用”，让学生学以致用。

“备用练习”，增大课堂容量的伸缩性，便于教师掌控时间。

“课堂小结”是将本节课的主要内容、主要思想进行总结、提炼、升华，从而对知识

有一个整体的把握；

“课外拓展（课后作业）”，适当拓展学生的知识领域，在知识运用中深化认识。

二、教学反思过程

1．教学前反思

由于我要开课的学生来自一所普通中学的较差的班级，因此，我在备课时主要考虑如

6

何调动学生的积极性，发挥学生的主动性。组内同事听我介绍了教学设计思路和教学设计

意图后也发表了一些看法，现总结如下：

(1)从这节课的教学设计来说，体现了笔者较新的教学理念，备这节课时下了一定功夫，

有自己的想法和对这节课的个人理解；

（2）多媒体辅助教学要运用得当，其演示过程不能完全代替学生的思考过程；

(3)担心学生基础较差，学生回答不出时老师会代劳，课堂上的启发教学不能得以很好

的施展。

2．教学中反思

本节课在教学实施过程中，总体来说，与课前的教学设计并无太大偏差，但也有一些

“临机应变”：

（1）在上课铃声响起时，由于我不熟悉三中的作息时间安排，错把眼保健操铃声当作上

课铃声，喊完起立后本以为开始上课学生却开始做眼保健操，当时我很尴尬，等学生做

完操后，我说“现在是真的要上课了”，一句话使学生笑了起来，从而拉近了我与学生的

距离，使课堂氛围轻松一下。

(2)学生作图出现了许多我始料不及的问题。例如有人作的是正弦函数的图像，展示

后大家哄笑，于是我说“看来这位同学很喜欢正弦函数啊，对正切函数一时还难以接

受。”比较幽默地给予了评价。有人作图不是用平滑曲线连接的，展示后学生在下面说

“差不多，就是难看了一点，意思是对的。”我说“评价得挺到位啊。”与学生能自然

地交流，课堂氛围很融洽。

(3)介绍完利用“两线一点”画正切函数的简图后，为了方便学生理解，让大家画

)

4

tan(



xy的简图，理解如何找渐近线和零值点。

（4）由于时间限制，例1中变式一没讲直接到变式二，例2没讲作为课后练习。