抛物线结论
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2023年2月27日发(作者：表文体)1
抛物线的焦点与弦有关的几个结论如性质
在抛物线与直线的关系中，过抛物线焦点的直线与抛物线的关系尤为重
要，这是因为在这一关系中具有一些很有用的性质，这些性质常常是高考命题的
切入点．
不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点，准线l的方程：.
过焦点F的直线交抛物线于A(x
1
，y
1
)、B(x
2
，y
2
)两点，又作AA
1
⊥l,BB
1
⊥l，垂足分别为A
1
、B
1
.
AB⊥x轴时，,,此时弦AB叫抛物线的通径，
它的长|AB|＝2p．
AB与x轴不垂直也不平行时，设弦AB所在直线的斜率为k(k≠0)，则方程
为(如图)．
由方程组消去y，得
,或消去x,得.
结论如1：(定值)，,
结论如2：y
1
y
2
＝-p2(定值)，.
结论如3：弦长.
结论如4：若此焦点弦AB被焦点F分成m，n两部分，则为定值．
事实上，若AB⊥x轴，则
m＝n＝p，.
2
若AB与x轴不垂直，则.
.
结论如5：抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦中通径最小．
证法1：设弦AB所在的直线方程为.
由方程组消去x，得y2-2pmy-p2=0.
∴y
1
+y
2
=2pm,y
1
y
2
=-p2.
当且仅当m＝0，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．
证法2：设过焦点F的弦AB所在直线的倾斜角为，则
|AF|=|AA
1
|=p+|AF|cos,|BF|=|BB
1
|=p-|BF|cos,
∴.
,
当且仅当=90°时，即弦AB为抛物线的通径时，它的长度最小且为2p．
结论如6：以焦点弦AB为直径的圆与抛物线的准线l相切(如图)．
事实上，取弦AB的中点C，作CC
1
⊥l，垂足为C
1
.则
.
这表明圆心C到准线l的距离等于半径，故以焦点弦AB为直径的圆与抛物
线的准线相切．
结论如7：以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与y轴相切．
3
事实上，.
设AF的中点为D，则，∴D到y轴的距离
.
这表明圆心D到y轴的距离等于半径，故以抛物线焦半径|AF|为直径的圆与
y轴相切．
结论如8：A
1
F⊥B
1
F（如图）
事实上，设，则
，。
。
由结论如2有y
1
y
2
=-p2,∴,即A
1
F⊥B
1
F。
结论如9：若M为A
1
B
1
的中点，则MF⊥AB。
事实上，当AB⊥x轴时，显然有MF⊥AB。
当AB与x轴不垂直时，。
由结论如2，有，，，即MF⊥AB。
结论如10：在梯形AA
1
B
1
B中，两对角线AB
1
与BA
1
相交于点抛物线顶点
O。
事实上，当AB⊥x轴时，此时易得，结论如显
然成立。
当AB与x轴不垂直时，设、，
4
则，
，
∴，∴AB
1
经过原点O。
同理A
1
B经过原点O。
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