因式分解法解一元二次方程

因式分解法解一元二次方程

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2023年2月27日发(作者：管道井)

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2.5用因式分解法求解一元二次方程

学习目标：

1．会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程．

2．能根据具体的一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法，体会解决问题方法的多样性．

学习重点：用因式分解法解一元二次方程．

学习难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想．

一、感知填空

1．将下列各式分解因式：

(1)x2－2x(2)x2－4x＋4(3)x2－16(4)x(x－2)－(x－2)

【总结1】分解因式的方法有：（1）；（2）；（3）十字相乘法

【总结2】公式：平方差公式：

完全平方公式：，

2.分解因式：

（1）（2）（3）

3.把下列各式分解因式：

（1）5x2－4x（2）x－2－x(2－x)(3)(x+1)2－25(4)4x2－12xy+9y2、

二、因式分解法解一元二次方程

1.因式分解法解一元二次方程是：若a·b＝0，则a＝____或b＝_____．

如：若(x＋2)(x－3)＝0，那么x＋2＝0或者________．这就是说，

求一元二次方程(x＋2)(x－3)＝0的解，就相当于求一次方程x＋2＝0或x－3＝0的解．

2.知识准备

①如果a·b＝0．那么a＝或b＝.

②如果（x－2）•（x＋3）＝0，那么＝0或＝0.

③如果x（x－5）＝0，那么＝0或＝0.

三、因式分解法解一元二次方程的类型

类型一：利用提取公因式法解一元二次方程

[例1]解下列方程：

(1)5x2＝4x；(2)x2－2x＝0；

（3）填写解方程3x(x+5)=5(x+5)的过程(4)7x(3－x)＝4(x－3)

解：3x(x+5)__________=0

(x+5)(__________)=0

x+5=__________或__________=0

∴x1=__________,x2=__________

22ba

222baba

216x228xx2327x

2

随堂练习1解下列方程

（1）（2）

（3）

（5）

（7）x（x-3）+x-3=0（8）

（9）（10）

(11)（12）x-2=x(x-2)

类型二：利用平方差公式解一元二次方程：平方差公式：

[例2]

1.解下列方程：

（1）x2－4＝0（2）(x＋1)2－25＝0

（3）9(x－2)2＝4(x＋1)2.(4)2(1)160x

（5）

（6）

2想一想，你能用几种方法解方程

（1）x

2

-4=0,（2）(x+1)

2

-25=0。

0)4)(2(xxxx452

)12(3)12(4xxx2(4)4120xx

2)2(xxx(6)3(1)2-2xxx

9)3(222xx

225(1)3()xxx)32(4)32(2xx

2)3(62xx

22ba

22)32()2(xx22)12()5(xx

3

随堂练习2解下列方程

（1））4(2x-1)2＝9(x+4)2；（2）（2x+3）2=（1-3x）2

（3）（2x+1）2-25=0（4）4(x-3)2-25(x-2)2=0

类型三：利用完全平方公式解一元二次方程：

完全平方公式：，

[例3]

1.解下列方程

（1）x2-6x+9=0（2）5x2-10x=-5

（3）（2x-1）2+2（2x-1）=—1（4）x2+16x+64=0

随堂练习3解下列方程

（1）4x2-4x+1=0

（2）25（y+3）2－30（y+3）=—9

类型四：利用用十字相乘法解一元二次方程：

计算))((bxax：反过来

[例4]

1.解下列方程

（1）

0822xx

（2）x2-4x-12=0

随堂练习4解下列方程

222baba

4

217120xx22320xx

238120xx24760xx

5

类型五：利用适当的方法解一元二次方程：

（1）2160x（2）xx22

（3）2(3)10x

（4）x2-7x=18

（5）0862xx（6）05232xx

（7）0)1(2)1(2xxx（8）9)3(222xx

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[跟踪练习]

1．选用适当的方法

．．．．．

解下列方程：

(1)4x(2x＋1)＝3(2x＋1)；(2)3x(x－1)＝2－2x；

(3)(2x＋3)2＝4(2x＋3)；(4)(2x－1)(x＋3)＝0；

(5)x2－4＝0；(6)(x＋1)2－25＝0；

(7)2(x－3)2＝x2－9；(8)x(x－2)＝x－2

2、能力提升

①已知(a2＋b2)2－(a2＋b2)－6＝0，求a2＋b2的值．

②阅读下面的例题：解方程220xx的过程如下：

（1）当

0x

时，原方程化为220xx，解得：

1

2x，

2

1x（不合题意，舍去）．

（2）当

0x

时，原方程可化为220xx，解得：

1

2x，

2

1x（不合题意，舍

去）．所以，原方程的解是：

1

2x，

2

2x．请参照例题

解方程：2110xx