直线与平面的夹角

直线与平面的夹角

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《直线与平面的夹角》教学设计

（人教B版选修2-1）

一、教学内容分析:

本节教材选自人教B版数学选修2-1第三章第二节第3小节，本节内容在知

识的学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学

利用空间向量证明空间位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，

通过直观感知、操作确认归纳出直线与平面的夹角的概念。本节课的学习主要围

绕什么是直线与平面的夹角？直线与平面的夹角有哪些性质？如何求解直线与

平面的夹角？三个中心问题进行，学习内容层层推进。让学生能体会到空间向量

的优越性，把空间的定性问题转化为定量运算。培养学生空间角求解的模式，为

后续二面角的学习奠定坚实的基础。

二、学生学习情况分析：

学生已经学习了异面直线所成角，对空间角的概念，有了初步认识，同时前

面已经学习了法向量的求解方法，对法向量的应用还处在朦胧阶段。学生对新知

识学习兴趣较高，另一方面学生对立体几何中所学习的定理记忆不是很准确，立

体几何所必备的空间感知和想象能力、逻辑推理能力及语言表达能力相对不足，

学习方面有一定困难。

三、设计思想

本节课的设计遵循从具体到抽象的原则，适当运用多媒体辅助教学手段，借

助实物模型，通过直观感知，操作确认，合情推理，归纳出最小角定理，引出直

线与平面夹角的定义，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，揭示

直线与平面夹角的性质，探索求解方法，通过例题讲评，领会题目的求解步骤，

体会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，发展学

生的空间观念和空间想象力，提高学生的数学逻辑思维能力。

四、教学目标

通过直观感知——观察——操作确认的认识方法理解直线与平面夹角的定

义，掌握直线与平面夹角的求法。培养学生观察、探究、发现的能力和空间想象

能力、逻辑思维能力和数据运算能力。让学生在观察、探究、发现中学习，在自

主合作、交流中学习，体验学习的乐趣，增强自信心，树立积极的学习态度，提

高学习的自我效能感。

五、教学重点与难点

重点：直线与平面的夹角的求解方法.

难点：直线与平面夹角的引入和直线与平面的夹角的求解方法.

六、教学过程设计

（一）新课引入

动画演示生活实例，观看提出问题：

问题1：如何刻画一条直线相对于平面的倾斜程度？

(类比于直线的倾斜程度用倾斜角来刻画，学生能够联想到用角来刻画)

问题2：用怎样的角来刻画直线相对于平面的倾斜程度呢？

教师揭示课题并板书课题

引导：类比两条异面直线所成的角的定义，是把两条异面直线所成的角转化为两

条相交直线所成的角来定义，那么，直线与平面所成的角是否也可以转化为两条

相交直线所成的角来定义呢？

[设计意图：通过动画演示，引起学生的兴趣，类比旧知识异面直线所成角引出直线和

平面夹角的定义。]

问题3：如何转化为两条直线所成的角？

[学情预设：平面内的直线有无数条，如何选择可能会引发学生的争论，此处的预设与

生成应当是很自然的，但老师要预见到可能出现的情况。]

（二）课堂探究1：

探究活动：让学生动手，用手中的模型作以下尝试：

已知OA是平面



的斜线段，

O

是斜足，如何作出斜线OA在平面



上的正射影?

请你与同位拿起手中的笔作出下图模型，指出角

1



、

2



、



，用量角器量一量。

看哪个角最大？并探究三个角之间的关系。

由于探究结论的得出稍有难度，所以在此设计几个梯度问题：

梯度问题1：设直线OB是斜线OA在平面



内的正射影，

M

O是



内通过点

O

的

任意一条直线，那么线段AB与直线OM的位置关系是什么？

梯度问题2：在直线OM上取单位向量m，则BA与m的关系是什么？

梯度问题3：由于OBOABA，所以由梯度问题2可以得出什么结果？

梯度问题4：由梯度问题3可以得出

12

cos,cos,cos

有什么关系？

探究结论：①平面的斜线和它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面

内任一直线所成的角中最小的角.

②

12

coscoscos

[设计意图：（1）动手制作模型能给学生以直观感性的认识，培养学生观察、表述，归纳，

猜想的能力。

（2）激发学生的思维力与想象力，能促进学生主动地探究知识,不断创新,有利于想象力、

创造力的发挥。

（3）梯度问题的设计与递进能有效引领学生思维，使学生有目标有节奏的得到探究结论。

（4）在前面的复习的基础上，在学生通过问题引导，自主探究，合作交流，让学生感受到

成功的快乐，学习的乐趣，也水到渠成地给出本节课第一个重点内容：斜线与平面所成的

角的定义

（5）在教学活动中，教师对学生的成果激励性评语给学生以充分的肯定，为学生今后的学

习打下良好的心理基础，更进一步激发学习的兴趣。]

（三）概念辨析：

引出斜线与平面夹角的定义：平面的斜线与它在这个平面的射影所成的角叫做这

条斜线与这个平面的夹角

规定：

如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角

如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0°的角。

直线和平面所成角的范围是：

[0,]

2



[设计意图：让学生明晰概念的关键词，结合图像认知直线与平面的夹角，明确直线与

平面夹角的范围与意义。]

（四）应用学习：

例1、在正方体ABCD-A1B1C1D1中.

（1）求出直线A1B和平面ABCD的夹角；

（2）求出直线BD1和平面BCC1B1的夹角.

[设计意图：通过例题切身感受到如何找到直线和平面的夹角，如何求解直线和平面的

夹角，从而总结出利用定义求解直线和平面夹角的步骤。]

（五）课堂探究2：

【引入】当点B在平面



内的射影O的位置不好确定时，那如何求线面角呢？

【探究2】如图所示，直线BO、BA分别为平面



的垂线、斜线，O、A分别为垂足、斜足.

【问题1】在Rt△AOB中，斜线BA与平面



的夹角是θ，斜线BA和垂线BO所成的角是

θ1，则θ与θ1有什么关系？sin？（用θ1表示）

【问题2】取斜线BA的方向向量为BA，平面



的法向量为

n

，那

么cosθ1=？（用BA和

n

表示）

【问题3】一般的，设斜线l的方向向量为

v

，平面



的法向量为

n

，斜线l与平面



的夹

角是，则sin？

[设计意图：先是抛出问题，引发学生思考，激发学生对新方法的探究欲望，从而推动探究

活动的顺利进行，三个探究问题的设计，层层递进，步步深入，能高效引领学生得到探究

结论。]

例2、如图正方体ABCD－A

1

B

1

C

1

D

1

中，M是棱BB

1

的中点．

D1

A1

B1

C1

AB

CD

(1)求直线A

1

M与平面AMC

1

所成角的正弦值．

(2)求直线AC

1

与平面A

1

MC

1

所成角的正弦值．

[设计意图：通过例题讲评让学生切身感受到如何使用法向量求解直线和平面的夹角，

学生板演，学生点评纠错，让学生总结出利用法向量求解直线和平面夹角的步骤。]

（六）当堂训练：

1、若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等

于()

A．30°B．60°C．150°D．以上均错

2、在棱长为1的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，E为CC

1

的中点，

则直线A

1

B与平面BDE所成的角为()

A.

π

6

B.

π

3

C.

π

2

D.

5

6

π

3、四面体S－ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，

(1)求BC与平面SAB所成的角；

(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．

[设计意图：三个小题目的设计能充分发挥学生的所学知识，多方

位，多角度，体会方法和知识的应用。]

（七）整体建构：

[设计意图：（1）引导学生对所学知识、思想方法进行总结，力图达到使学生对所学知识结

构进行整体建构．

（2）引导学生对学习过程进行反思，为在今后的学习中进行有效调控打下良好基础。]

（八）课后作业：

A组

1、如图，正方体AC1中，BC1与对角面BD1所成的角是()

A．∠C1BB1B．∠C1BD

C．∠C1BD1D．∠C1BO

2、若斜线段AB是它在平面α内的射影长的2倍，则AB与α所成的角为()

A．60°B．45°C．30°D．120°

3、如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD

＝

1

2

，求SC与平面SBD所成的角的正切值．

B组

如图，在三棱锥PABC中，90APB，60PAB，ABBCCA，平面PAB

平面ABC。求直线PC与平面ABC所成角的大小；

[设计意图：布置作业有弹性，避免一刀切．使学有余力的学生的创造性得到进一步的发挥．]

七、教后反思

本节“直线和平面的夹角”是学生学习了空间向量后，对空间向量工具性一次再认识。

A

B

C

P

通过这节课的教学实践，使我体会到应致力于为学生提供更多的思考机会，培养学生的探究

能力，充分发展学生的个性，让学生在参与中感受成功的快乐。

采用先直观感知，后推理论证的教学思路，在整个教学过程中先从图形入手，让学生

直接感知，然后推理论证，比如最小角定理和线面角的定义先让学生从图形上认识清楚在让

学生总结得出其内容，学生数形结合较好理解。

对教学内容的调整，安排，恰到好处。教学内容的合理安排是教学效率实施的保障。

在教学中我根据教学目标的要求，认真把握教材，提出重难点的规划，从而明确课堂教学任

务，在教学内容的安排上，对线面角的定义引入，快速推进，重点突出法向量在求解直线和

平面的夹角中的应用，通过“探究-印证-应用”三个环节，既让学生明白为何能用法向量求

解线面角，又让学生明白了如何使用法向量求解线面角。

本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，加强各种语

言的互译，对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。

学情分析

学生已经学习了异面直线所成角，对空间角的概念，有了初步认识，同时前

面已经学习了法向量的求解方法，对法向量的应用还处在朦胧阶段。学生对新知

识学习兴趣较高，另一方面学生对立体几何中所学习的定理记忆不是很准确，立

体几何所必备的空间感知和想象能力、逻辑推理能力及语言表达能力相对不足，

学习方面有一定困难。针对学生中存在的问题，教师在教学中应多联系生活实际，

多利用直观教具、多媒体课件，使抽象概念具体化，数学知识生活化，从而培养

学生对立体几何知识的感性认识，尤其是利用多媒体课件，为学生提供动态的立

体几何情境，让学生在“做”数学中学习和接受知识、锻炼能力。本课时概念讲

解中，借助于模型，让学生在动态中观察斜线与平面内直线的夹角的大小情况，

从而发现其中最小夹角的存在性，为概念讲解创设情境，这样的数学实验既发挥

学生的主体作用，又符合学生的认知特点。另外例题讲解、练习巩固中都提炼通

性通法，从而提高学生解题能力，也发展了学生的空间想象能力。

效果分析

1、若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等

于()

A．30°B．60°C．150°D．以上均错

数据分析：通过率86%

错因分析：出错的同学大多选择A选项，其主要原因是没看清题意，方向向量与平面法向

量的夹角，与直线和平面的夹角的关系没有搞清楚。

应对策略：数形结合。

2、在棱长为1的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，E为CC

1

的中点，

则直线A

1

B与平面BDE所成的角为()

A.

π

6

B.

π

3

C.

π

2

D.

5

6

π

数据分析：通过率96%

错因分析：法向量求解错误。

应对策略：提升数据处理能力。

3、四面体S－ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA＝45°，∠SBC＝60°，

(1)求BC与平面SAB所成的角；

(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．

数据分析：通过率90%

错因分析：平面SAB的法向量实际就是向量SC,个别同学盲目求解；平面ABC的法向量求

解错误致使第二问的结果出错。

应对策略：提升数据处理能力。

教材分析

本节教材选自人教B版数学选修2-1第三章第二节第3小节，本节内容在知识的

学习中起着承上启下的作用，具有重要的意义与地位。本节课是在前面已学利用

空间向量证明空间位置关系的基础作为学习的出发点，结合有关的实物模型，通

过直观感知、操作确认归纳出直线与平面的夹角的概念。本节课的学习主要围绕

什么是直线与平面的夹角？直线与平面的夹角有哪些性质？如何求解直线与平

面的夹角？三个中心问题进行，学习内容层层推进。让学生能体会到空间向量的

优越性，把空间的定性问题转化为定量运算。培养学生空间角求解的模式，为后

续二面角的学习奠定坚实的基础。

直线和平面的夹角评测练习

1、若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等

于()

A．30°B．60°C．150°D．以上均错

2、在棱长为1的正方体ABCD—A

1

B

1

C

1

D

1

中，E为CC

1

的中点，

则直线A

1

B与平面BDE所成的角为()

A.

π

6

B.

π

3

C.

π

2

D.

5

6

π

3、四面体S－ABC中，SA、SB、SC两两垂直，∠SBA＝45°，

∠SBC＝60°，

(1)求BC与平面SAB所成的角；

(2)SC与平面ABC所成角的正弦值．

课后反思

本节“直线和平面的夹角”是学生学习了空间向量后，对空间向量工具性一次再认识。

通过这节课的教学实践，使我体会到应致力于为学生提供更多的思考机会，培养学生的探究

能力，充分发展学生的个性，让学生在参与中感受成功的快乐。

采用先直观感知，后推理论证的教学思路，在整个教学过程中先从图形入手，让学生

直接感知，然后推理论证，比如最小角定理和线面角的定义先让学生从图形上认识清楚在让

学生总结得出其内容，学生数形结合较好理解。

对教学内容的调整，安排，恰到好处。教学内容的合理安排是教学效率实施的保障。

在教学中我根据教学目标的要求，认真把握教材，提出重难点的规划，从而明确课堂教学任

务，在教学内容的安排上，对线面角的定义引入，快速推进，重点突出法向量在求解直线和

平面的夹角中的应用，通过“探究-印证-应用”三个环节，既让学生明白为何能用法向量求

解线面角，又让学生明白了如何使用法向量求解线面角。

本节课的设计注重训练学生准确表达数学符号语言、文字语言及图形语言，加强各种语

言的互译，对例题的讲解与分析也注意指导学生三种语言的表达。

课标分析

异面直线夹角、直线和平面的夹角及后面将学习的二面角是立体几何的重要

概念，它们均需化归为相交直线所成角来求，学生在学习了异面直线夹角的基础

上学习直线和平面的夹角，有利于学生进行对比联系，同时掌握直线和平面的夹

角也为后继学习作好铺垫。课程标准要求：能用向量方法解决线线、线面、面面

的夹角的计算问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用。

针对课程标准的要求，本节课应该侧重于向量在直线和平面的夹角中的作用，

包括直线和平面的夹角的定义引入，最小角定理证明，法向量法求解直线和平面

的夹角等