可测函数
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2023年2月27日发(作者：对公综合服务平台)补充:特征函数
定义1设X是非空全集，,称
为集合A的特征函数.
显然的充分必要条件是A=B.
例如：取，，则特征函数如图
图1-13-1特征函数
定理1
（1）；
（2）；
XA
Ax
Ax
x
A
0
1
)(
）Xxxx
BA
()()(
0,1X
1
,1
2
A
0)(1)(xAxXA
AA
充分必要条件是；充分必要条件是
)(,)()(XxxxBA
BA
充分必要条件是
（3）.特别时
；
（4）；
（5）；
（6）；
（7）设是任一集列，则
；
（8）存在，
且当极限存在时，
.
证明仅证（3），（7）.；
（3）任意，.当时，
；
当时，
；
同理；
)()()()(xxxx
BABABA
BA
)()()(xxx
BABA
)()()(xxx
BABA
)](1)[()(
xxx
BABA
)(min)(,)(max)(xxxx
AAA
A
k
A
)(lim)()(lim)(
lim
lim
xxxx
kk
k
k
k
k
A
k
AA
k
A
)()(limlimXxxA
k
A
k
k
k
任意，存在的充分必要条件是
)()(lim)(
lim
Xxxx
kk
k
A
k
A
Xx
BABAx
)(1111)()()(xxxxxx
BABABA
BAx
)(1001)()()(xxxx
BABABA
)()()()(xxxxABx
BABABA
有
当时，有
.
（7）设是任一集列，则
；
（7）先证
任意，存在使，故
，从而.又由特征函数定义知，所以
；
当，存在自然数N，，故,
，而，所以也有，故
.
再证
任意时，存在自然数N，，故
,从而，而，所以
；
cBAx)(
)(0000)()()(xxxx
BABABA
k
A
)(lim)()(lim)(
lim
lim
xxxx
kk
k
k
k
k
A
k
AA
k
A
lim
()lim()
k
k
k
A
A
k
xx
k
k
AxXx
lim
,当
i
k
A
)2,1(i
i
k
Ax
1)(x
i
k
A
lim()1
k
A
k
x
lim
()1
k
k
A
x
lim
()lim()
k
k
k
A
A
k
xx
k
k
Axlim
时取Nk
k
Ax
0)(x
k
A
)(Nk
lim()0
k
A
k
x从而
lim
()0
k
k
A
x
lim
()lim()
k
k
k
A
A
k
xx
lim
()lim()
k
k
k
A
A
k
xx
xX
lim
()lim()
kk
k
AA
k
xx
,xX当
lim
k
k
xA
时取Nk
k
xA
()1
k
A
x
)(Nk
lim()1
k
A
k
x
lim
()1
k
k
A
x
lim
()lim()
kk
k
AA
k
xx
当时，.由下限集的定义知,存在无穷多个,使
于是,从而,所以,因此
.
第三章可测函数
为了建立新的积分即Lebesgue积分，我们需要介绍一类比连续函数更为广
泛的重要函数——可测函数，这类函数与连续函数有着密切的联系.
首先我们拓广函数的概念，以下我们提到的函数都是指定义在中某点集
上的实值函数，且允许它取值±∞.另外，我们规定：
(+∞)+（+∞）=+∞，（-∞）+（-∞）=-∞，
对于任意实数a，总有a+(+∞)=(+∞)+a=+∞，a+(-∞)=-∞，
对于b>0，c<0，b·(±∞)=±∞，c·(±∞)=∞，(±∞)·（±∞）=+∞，
（+∞）·（-∞）=（-∞）·（+∞）=-∞，0·（±∞）=（±∞）·0=0，
对，，对，，
但（+∞）-（+∞），（±∞）+（∞），（-∞）-（-∞）均无意义.
§1可测函数的定义及简单性质
可测函数的定义方法很多，本节我们将采用从简单到复杂的方法定义可测函数，
即先给出简单函数，再用简单函数的极限定义非负可测函数,然后通过分析非负
可测函数的特性给出一般可测函数的定义.
lim
k
k
xA
lim
()0
k
k
A
x
i
k
A
,
i
k
xA
()0
k
i
A
x
lim()0
k
A
k
x
lim
()lim()
kk
k
AA
k
xx
lim
()lim()
kk
k
AA
k
xx
xX
nR
b
o
b
oc
o
c
一、可测函数的定义及等价定义
1．简单函数
定义1设为一个可测集，为定义在上的实函数，如果
（1）=，其中为两两不交的可测集，
（2）在每个上=，即=，亦即，
其中表示的特征函数，则称为上的简单函数.
图3-1-1简单函数
显然=及=
EnR
)(xf
E
E
m
i
i
E
1
i
E
i
E
)(xf
i
c
)(xf
1
C
C
m
1
Ex
Ex
m
m
i
Ei
xcxf
i
1
)()(
)(x
i
E
i
E
)(xf
E
)(xD
0
1
上的无理点为
上的有理点为
]1,0[
]1,0[
x
x
)sgn(x
1
0
1
0
0
0
x
x
x
均为其定义域上的简单函数.
图3-1-2符号函数
可以证明，可测集上的两个简单函数的和、差及乘积仍为上的
简单函数；当时，也是上的简单函数.
另外，若是G上的函数，是可测集上的简单函数，
且，则仍为上的简单函数.
例1证明可测集上的两个简单函数的和仍为上的简单函数
证明设是上的简单函数，下证也是上的简单函
数.事实上，
设，
E
)(),(xgxf
E
0)(xg)(
)(
xg
xf
E
)(uf1R
)(xgunRE
)(Eg
G
)]([xgf
E
E
)(),(xgxf
E
,fxgx
E
fxgx
E
11
,
ij
nm
iAjB
ij
fxaxgxbx
11
,,
nm
ijikjl
ij
EABAAikBBjk
那么，其中
则是个互不相交的可测集，且
所以是上的简单函数.
定义2设为上的非负实函数,集合{}
称为在上的下方图形,记为,当时,简记为.
图3-1-3下方图形
例2如果是中可测子集的示性函数：
1111
nmnm
ijij
ijij
EABAB
1,2,,;1,2,injm
ij
AB
mn
111111
11
ijijij
ij
nmnmmn
iAjBiABjAB
ijijji
nm
ijAB
ij
fxgxaxbxaxbx
abx
fxgx
E
)(xfnRE
)(0,),(xfyExyx
1nR
)(xf
E
),(fEGnER
()Gf
E
xnRE
1,,
0,,E
xE
x
xE
当
当
则，这都是中的可测集.
例3设为可测集上的非负简单函数,即,其中
,为两两不交的可测集,则为可测集,且
.
证明不难证明,其中也互不相交.
而为中的可测集,且
,
所以.
)(0,),(xfyExyx
,0,1,0,1n
EE
GEEGR1nR
)(xfnRE
m
i
Ei
xcxf
i
1
)()(
1
m
i
i
EE
i
E
),(fEG
i
m
i
i
EmcfEmG
1
),(
1
(,)(,)
m
i
i
GEfGEf
),(fEG
i
),0[})(0,),{(),(
iiiii
cEcxfyExyxfEG1nR
iiiiiii
mEccmmEcEmfEmG),0[)),0[(),(
m
i
ii
m
i
i
mEcfEmGfEmG
11
),(),(