直角三角函数
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2023年2月27日发(作者：平复帖)直角三角形边角关系知识点考点总结
考点一、直角三角形的性质（3~5分）
1、直角三角形的两个锐角互余
可表示如下：∠C=90°∠A+∠B=90°
2、在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。
∠A=30°
可表示如下：BC=
2
1
AB
∠C=90°
3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
∠ACB=90°
可表示如下：CD=
2
1
AB=BD=AD
D为AB的中点
4、勾股定理
直角三角形两直角边a，b的平方和等于斜边c的平方，即222cba
5、摄影定理
在直角三角形中，斜边上的高线是两直角边在斜边上的摄影的比例
中项，每条直角边是它们在斜边上的摄影和斜边的比例中项
∠ACB=90°
BDADCD•2
ABADAC•2
CD⊥AB
ABBDBC•2
6、常用关系式
由三角形面积公式可得：
AB
•
CD=AC
•
BC
考点二、直角三角形的判定（3~5分）
1、有一个角是直角的三角形是直角三角形。
2、如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。
3、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a，b，c有关系222cba，那么这个三角形是直角三角形。
考点三、锐角三角函数的概念（3~8分）
1、如图，在△ABC中，∠C=90°
①锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记为sinA，即
c
a
sin
斜边
的对边A
A
②锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记为cosA，即
c
b
cos
斜边
的邻边A
A
③锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记为tanA，即
b
a
tan
的邻边
的对边
A
A
A
④锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记为cotA，即
a
b
cot
的对边
的邻边
A
A
A
2、锐角三角函数的概念
锐角A的正弦、余弦、正切、余切都叫做∠A的锐角三角函数
3、一些特殊角的三角函数值
三角函数0°30°45°60°90°
sinα0
2
1
2
2
2
3
1
cosα1
2
3
2
2
2
1
0
tanα
0
3
3
13不存在
cotα不存在31
3
3
0
4、各锐角三角函数之间的关系
（1）互余关系
sinA=cos(90°—A)，cosA=sin(90°—A)
tanA=cot(90°—A)，cotA=tan(90°—A)
（2）平方关系
1cossin22AA
（3）倒数关系
tanA•tan(90°—A)=1
（4）弦切关系
tanA=
A
A
cos
sin
5、锐角三角函数的增减性
当角度在0°~90°之间变化时，
（1）正弦值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（2）余弦值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
（3）正切值随着角度的增大（或减小）而增大（或减小）
（4）余切值随着角度的增大（或减小）而减小（或增大）
考点四、解直角三角形（3~5）
1、解直角三角形的概念
在直角三角形中，除直角外，一共有五个元素，即三条边和两个锐角，由直角三角形中
除直角外的已知元素求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形。
2、解直角三角形的理论依据
在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c
（1）三边之间的关系：222cba（勾股定理）
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
b
a
B
a
b
B
c
a
B
c
b
B
a
b
A
b
a
A
c
b
A
c
a
Acot,tan,cos,sin;cot,tan,cos,sin
1.锐角三角函数的概念
如图，在ABC中，∠C为直角，则锐角A的各三角函数的定义如下：
(1)角A的正弦：锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
即sinA＝错误!未找到引用源。
(2)角A的余弦：锐角A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，
即cosA＝错误!未找到引用源。
(3)角A的正切：锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，
即tanA＝错误!未找到引用源。
(4)角A的余切：锐角A的邻边与对边的比叫做∠A的余切，记作cotA，
即cotA＝错误!未找到引用源。
2.直角三角形中的边角关系
(1)三边之间的关系：a2＋b2＝c2
(2)锐角之间的关系：A＋B＝90°
(3)边角之间的关系：
sinA＝cosB＝错误!未找到引用源。，cosA＝sinB＝错误!未找到引用
源。
tanA＝cotB＝错误!未找到引用源。，cotA＝tanB＝错误!未找到引用
源。
3.三角函数的关系
(1)同角的三角函数的关系
1)平方关系：sinA2＋cosA2＝1
2)倒数关系：tanA·cotA＝1
3)商的关系：tanA＝错误!未找到引用源。，cotA＝错误!未找到引用源。
(2)互为余角的函数之间的关系
sin(90°－A)＝cosA，cos(90°－A)＝sinA
tan(90°－A)＝cotA，cot(90°－A)＝tanA
4．一些特殊角的三角函数值
0°30°45°60°90°
sinα01
cosα10
tanα01-----
cotα-----10
5．锐角α的三角函数值
的符号及变化规律.
(1)锐角α的三角函数值都是正值
(2)若0＜α＜90°则sinα，tanα随α的增大而增大，cosα，cotα随α的增大而
减小.
6．解直角三角形
(1)直角三角形中的元素：除直角外，共有5个元素，即3条边和2个锐角.
(2)解直角三角形：由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知的元素的过
程叫做解直角三角形.
7．解直角三角形的应用，
解直角三角形的应用，主要是测量两点间的距离，测量物体的高度等，常用到下面几
个概念：
(1)仰角、俯角
视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，在水平线下方的叫做俯
角
(2)坡度=坡面的铅直高度h与水平宽度l的比叫做坡度，常用字母i表示，
即错误!未找到引用源。
(3)坡角:坡面与水平面的夹角叫做坡角，用字母α表示，则tanα＝错误!未找到引用
源。
(4)方位角:从某点的指北方向线，按顺时针方向转到目标方向线所成的角.