傅里叶展开
-
2023年2月27日发(作者：思念家乡的句子)第2章信号分析
本章提要
信号分类
周期信号分析--傅里叶级数
非周期信号分析--傅里叶变换
脉冲函数及其性质
信号：反映研究对象状态和运动特征的物理量
信号分析：从信号中提取有用信息的方法
和手段
§2－1信号的分类
两大类：确定性信号，非确定性信号
确定性信号：给定条件下取值是确定
的。
进一步分为：周期信号，
非周期信号。
质量M
弹簧
刚度K
t
x(t)
o
x
0
质量－弹簧系
统的力学模型
x(t)
0
cos)(t
m
k
Atx
非确定性信号（随机信号）：给定条件下
取值是不确定的
按取值情况分类：模拟信号，离散信号
数字信号：属于离散信号，幅值离散，
并用二进制表示。
信号描述方法
时域描述
如简谐信号
)cos(
000
tx
简谐信号及其三个要素
幅值频率相角
频域描述
以信号的频率结构来描述信号的方
法:将信号看成许多谐波（简谐信号）之
和，每一个谐波称作该信号的一个频率
成分，考察信号含有那些频率的谐波，
以及各谐波的幅值和相角。
§2－2周期信号与离散频谱
一、周期信号傅里叶级数的三角函数
形式
周期信号时域表达式
)21(
)()2()()(
，，
n
nTtxTtxTtxtx
T：周期。注意n的取值：周期信号“无始无
终”
#傅里叶级数的三角函数展开式
)sincos()(
0
1
00
tnbtnaatx
n
nn
（n=1,2,3，…）
傅立叶系数：
2
2
0
)(
1T
T
dttx
T
a
2
2
0
cos)(
2T
T
n
tdtntx
T
a
2
2
0
sin)(
2T
T
n
tdtntx
T
b
式中Ｔ--周期；
0--基频,
0
=2/T。
三角函数展开式的另一种形式：
)cos()(
1
00
n
nn
tnAatx
N次谐波
N次谐波的相角
N次谐波的频率N次谐波的幅值
信号的均值，直流分量
,3,2,1
arctg
22
n
a
b
baA
n
n
n
nnn
周期信号可以看作均值与一系列谐波之和
--谐波分析法
频谱图
﹡﹡﹡﹡﹡﹡
n
A
n
0
2
0
2
周期信号的频谱三个特点：离散性、谐
波性、收敛性
例1：求周期性非对称周期方波的傅立叶
级数并画出频谱图
解：
t
x(t)
-A
A
T
……
非对称周期方波
周期方波
解：
信号的基频
T
2
0
傅里叶系数
奇函数：
0
0
n
aa
为偶数
为奇数
n
n
n
A
n
n
A
ttnA
T
ttntx
T
b
T
T
Tn
0
4
cos1
2
dsin
4
dsin)(
2
2
0
0
2
2
0
t的偶函数
n次谐波的幅值和相角
n
A
bbaA
nnnn
4
22
，
2
n
),5,3,1(n
最后得傅立叶级数
),5,3,1()
2
cos(
4
)(
0
ntn
n
A
tx
n
频谱图
…
…ωω
φ
n
A
n
A4
3
4A
5
4A
2
ω
0
3ω
0
5ω
0
幅频谱图相频谱图
二、周期信号傅里叶级数的复指数形
式
欧拉公式
tjtetjsincos
或
tjtj
tjtj
ee
j
t
eet
2
sin
2
1
cos
1j
傅立叶级数的复指数形式
),3,2,1,0()(0
nectx
n
tjn
n
复数傅里叶系数的表达式
2
2
00
)(
1T
T
dttx
T
ac
dtetx
T
jba
c
T
T
tjn
nn
n
2
2
0)(
1
2
其中a
n
，b
n
的计算公式与三角函数形式相
同，只是n包括全部整数。
一般c
n
是个复数。
因为a
n
是n的偶函数，b
n
是n的奇函数，
因此
#nn
aa
nn
bb
即：实部相等，虚部相反，c
n与c-n共轭。
c
n
的复指数形式
n
j
nn
ecc
共轭性还可以表示为
nn
cc
－
，nn
即：c
n
与c-n
模相等，相角相反。
傅立叶级数复指数也描述信号频率结
构。它与三角函数形式的关系
对于n>0
22
)(22
n
nn
n
A
ba
c
（等于三角
函数模的一半）
n
n
na
b
arctg
（与三角函数形式中的
相角相等）
2
n
n
A
c
n
n
n
n
na
b
a
b
arctgarctg
用c
n
画频谱：双边频谱
第一种：幅频谱图:|c
n
|-，相频谱
图:
n
-
0
0
2
1
0
n
A1
A
2
A
n
2
n
c
2
1
1
A
c
2
c
0
0
2
0
2
0
0
2
0
0
22
1
1
2
n
1
单边频谱双边频谱
第二种：实谱频谱图:Rec
n
-，虚频谱图：
Imc
n
-；也就是a
n
-和-b
n
-.
#
§2－3非周期信号与连续频谱
分两类：
a.准周期信号
定义：由没有公共周期（频率）的周期
信号组成
频谱特性：离散性，非谐波性
判断方法：周期分量的频率比（或周期
比）不是有理数
b.瞬变非周期信号
t
x(t)
tt
x(t)x(t)
几种瞬变非周期信号
数学描述：傅里叶变换
一、傅里叶变换
演变思路：视作周期为无穷大的周期信号
式（2.22）借助（2.16）演变成：
dedtetxtxtjtj
)(
2
1
)(
x(t)的傅里叶变换X(ω)
定义x(t)的傅里叶变换X(ω)
dtetxXtj
)()(
X(ω)的傅里叶反变换x(t):
deXtxtj
)(
2
1
)(
傅里叶变换的频谱意义：一个非周期信
号可以分解为角频率连续变化的无数
谐波
deXtj)(
2
1
的叠加。称X()其为函数x(t)的频谱密度函
数。
对应关系：
tjn
n
tjecedX0)(
2
1
X()描述了x(t)的频率结构
X()的指数形式为
)()()(jeXX
以频率f(Hz)为自变量，因为f=w/(2p)，
得
dtetxfXtfj2)()(
dfefXtxtfj2)()(
X(f)的指数形式
)()()(fjefXfX
频谱图
幅值频谱图和相位频谱图：
)(X
)(
幅值频谱图相位频谱图
实频谱图ReX(ω)和虚频谱图Im(ω)
如果X()是实函数，可用一张X()图表示。
负值理解为幅值为X()的绝对值，相角为
或
。
二、傅里叶变换的主要性质
（一）叠加性
)()()()(
22112211
fXafXatxatxaFT
（二）对称性
)()(fxtXFT
（注意翻转）
（三）时移性质
0
2
0
)()(tfjFTefXttx
（幅值不变，相位随f改变±2ft
0
）
（四）频移性质
)()(
0
2
0ffXetxFTftj
（注意两边正负号相反）
（五）时间尺度改变特性
)(
1
)(
a
f
X
a
atx
（六）微分性质
)()2(
)(
fXfj
dt
txd
nFT
n
n
（七）卷积性质
（1）卷积定义
dtyxtytx)()()()(
（2）卷积定理
)()()()(
)()()()(
fYfXtytx
fYfXtytx
FT
FT
三、脉冲函数及其频谱
（一）脉冲函数：
x(t)
-/2tt
0
1/
x(t)
t/2
)(t
)(
0
ttA
定义函数（要通过函数值和面积两方面定
义）
函数值：
00
0
)(
t
t
t
脉冲强度（面积）
1)(
dtt
（二）脉冲函数的样质
1．脉冲函数的采性（相乘）样质：
t
t
0
)(
0
tt
t
x(t)
)(t
x(t)
)()0(tx
)()(
00
tttx
函数值：
00
0
)()(
0t
t
tttx
强度：
)()()()()(
0000
txdttttxdttttx
结论：1.结果是一个脉冲，脉冲强度是x(t)
在脉冲发生时刻的函数值
2.脉冲函数与任意函数乘积的积分
等于该函数在脉冲发生时刻的的值。
2．脉冲函数的卷积性质：
(a)利用结论2
)(
)()(
)()()()(
tx
dttx
dtxttx
(b)利用结论2
)(
)()(
)()()()(
0
00
00
ttx
dttttx
dttxtttx
结论：平移
t
t
0
)(
0
tt
x(t)
)(
0
ttx
（三）脉冲函数的频谱
1)()()(2
dtetftftjFT
均匀幅值谱
由此导出的其他3个结果
0
2
0
)(ftjFTett
（利用时移性
质）
ffFT1
（利用对称性
质）
)(
0
2
0ffeFTtfj
（对上式，
再用频移性质）
（四）正弦函数和余弦函数的频谱
）
00
22(
2
1
)(
2
1
2
1
2cos
ffffee
ft
FT
ftjftj
）
00
22(
2
)(
22
2sin
ff
j
ff
j
ee
j
ft
FT
ftjftj
f
)(f
f
)(f
余弦函数的频谱正弦函数的频谱
f
0
f
0
-f
0
-f
0
-1/2
1/21/21/2