线面平行的判定定理
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2023年2月27日发(作者：定性预测)1
线面、面面平行的判定与性质(教师版)
知识回顾
1.线面平行的判定
(1)直线与平面平行的定义：直线与平面无公共点.
(2)直线与平面平行的判定定理：
平而外一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平而平行.
用符号表示为：a 2.线面平行的性质 直线与平而平行的性质定理： 一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平而与此平面的交线与该直线平行 a〃a 符号语言描述：acp(=a〃b. pPa=b. 3.面面平行的判定 (1)平面a与平而£平行的定义：两平而无公共点. (2)直线与平面平行的判定定理： 下面的命题在“”处缺少一个条件，补上这个条件，使其构成真命题八为直线，a，£为平 而)，则此条件应为m,n相交. mUa、 m//p)=a〃£ 4.面面平行的性质 平面与平面平行的性质定理： 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行. 2 a〃B" 符号表示为：aCVy=a>="〃〃. Wy=b, 题型讲解 题型一利用三角形中位线证明线面平行 例1、如图，ABCD是平行四边形，S是平面ABCD外一点，M为SC的中点. 求证：SA〃平面MDB. 答案:证明：连结AC交BD于N,因为ABCD是平行四边形，所以N是AC的中点,又因为 M是SC的中点，所以MNllSA.因为MNU平面MDB,所以SAII平面MDB. 例2、如图，已知点“、/V是正方体力的4尺GZA的两棱4力与4自的中点，。是正 方形/比。的中心， 求证：如〃平面PBC 答案证明：如图，连结 则尸为"的中点，连结的， 分别是4月与45的中点， 3 又•.''用U平面咫C,加方心平面世C,故昭〃面世C. 例3、如图所示，P是OABCD所在平面外一点，E、F分别在PA、BD上，且PE：EA= BF:FD. 求证：EF〃平面P8C 证明连接AF延长交BC于G,连接PG. 在cABCD中，易证△BFGs/^DFA..GFBFPE•*FAFDEAf，EF〃PG. 而EFQ平面PBC, PGu平而PBC,，EF〃平面PBC 练习在正方体ABCO-Ai&GA中，七为的中点，则35与过点A，E,。的平面的位置关系是 _____________. 答案：平行 题型二利用平行四边形证明线面平行 例1、如图所示，在正方体A8CD—A冏中，E,尸分别是棱8C、G。1的中点.求证： EF〃平面5。。山］. 证明：取DR1的中点O,连接OF,OB. AOF||BE. .••四边形OFEB是平行四边形, ，EF〃BO. •••EFQ平面BDDiBi, 4 BOu平面BDDB， ，EF〃平面BDDiB1. 例2、如图所示，己知正方体A8CD-4&G。］中，而对角线A&、8G上分别有两点 E、F,且SE=GF.求证：EF〃平面A8CQ. 证明方法一过E、F分别作AB、BC的垂线，EM、FN分别交AB、BC于M、N,连 接MN. ••,BBJ平面ABCD, ，EM〃BB],FN〃BB” ，EM〃FN, VABi=BCuBjE=CiF, ，AE=BF,又NBiAB=NCiBC=45。, ••・/?/△AMEgR^BNF, ，EM=FN. ，四边形MNFE是平行四边形， ，EF〃MN. 5 又MNU平面ABCD,EFQ平面ABCD,，EF〃平而ABCD. 方法二 过E作EG〃AB交BBi于G,连接GF, •••FG〃BQ〃BC. 又•••EGnFG=G,ABABC=B, •1平而EFG〃平而ABCD. 又EFU平面EFG,，EF〃平而ABCD. 题型三利用面面平行证明线面平行例.如图，在四棱锥夕-A3CD中，ABCQ是平行四边 形.M.N分别是A3,PC的中点. 求证：MN"平面PAD. 答案：证明：如图，取8的中点石，连接NE,ME ,N分别是A8,PC的中点一 /.NE//PD,ME//AD, •BiEBiG B[E=C]F,B]A=GB,e C1FB1G ••QB- BB 6 可证明NE//平面PAD,ME//平面PAD. 又NECME=E, ，平面MNE〃平面， 又MNu平面MNEMN〃平面分八. 题型四面面平行的证明 例1、如图所示，在正方体A8CD—A山C】Oi中，O为底面ABCO的中心，尸是DA的 中点，设。是CG上的点，M：当点。在什么位置时，平而。出。〃平面PAO? 解：当Q为CG的中点时，平而D】BQ〃平而PAO. •••Q为CG的中点，P为DDi的中点，AQB/7PA. VP.O为DDi、DB的中点，AD1B/7P0.又POnPA=P,D]BnQB=B,DiB〃 平面PAO,QB〃平而PAO,，平而DiBQ〃平面PAO. 题型五平行性质 7 例1、如图所示，长方体ABCD-A】BiGD］中，E、F分别是棱AA】和BB】的中点， 过 EF的平面EFGH分别交BC和AD于G、H,则HG与AB的位置关系是（） A.平行B.相交 C.异而D.平行和异面 答案：A 例2、ABCD是平行四边形，点P是平而ABCD外一点，M是PC的中点，在DM上取 一点G,过G和AP作平而交平而BDM于GH. 求证：AP/7GH. 证明如图所示，连接AC交BD于0,连接MO,〈ABCD是平行四边形， •••O是AC中点，又M是PC的中点, ，AP〃OM. 根据直线和平而平行的判定定理,则有PA〃平面BMD. :平而PAHGA平面BMD=GH,根据直线和平而平行的性质定理, /.APIIGH. 练习、如图，在三棱柱45C-A山Ci中，M是4G的中点，平面〃平面8GMACT!平而 8GN=N. 求证：N为AC的中点. 4 M c B 8 证明：平面AB]M〃平而BGN,平面ACGAiD平而ABiM=AM,平而BCiNCl平面 ACCiAi=CiN,，GN〃AM,又AC〃AC， ・•.四边形ANCiM为平行四边形，AANCiM=^AiC]=^AC> ・•.N为AC的中点. 跟踪训练 1.如右图所示的三棱柱ABC-AiBiG中，过AiBi的平面与平面ABC交于直线DE,则 DE与AB的位置关系是（） A.异而木 B.平行.//》 仁相交 D.以上均有可能A―B 答案：B ［解析］VAjB^AB,ABU平面ABC,A】B/平而ABC, ，AB〃平而ABC. 又A】B】u平面AIBIED,平面AIBIEDC平面ABC=DE,ADE/7A］BI. 又AB〃A】B|,ADE#AB. 2.已知直线/,/〃，平面a,3下列命题正确的是（） A.l〃B，/Ua=a〃£ B.1〃B，〃?〃£,/Ua,〃?UG=G〃£ C.I"m,/Ua, D./〃£,〃？〃£,/Ua,/n〃？=M=a〃£ 答案：D 3、直线a〃平而a,a内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线 （） A.至少有一条B.至多有一条 C.有且只有一条D.没有 答案：B 4、给出下列结论，正确的有（） ①平行于同一条直线的两个平而平行： ②平行于同一平面的两个平而平行： ③过平面外两点，不能作一个平而与己知平而平行； 9 ④若“，〃为异而直线，则过”与从平行的平而只有一个. A.1个B.2个C.3个D.4个 答案：B 5.正方体EFGH—ERGH中,下列四对截面中，彼此平行的一对截面是（） A.平面EiFGi与平面EGHi B.平而与平而FMG C.平而与平面"/El D.平面七1〃G］与平面上HiG 答案：A 6.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFG〃为截而，则四边形EFGH的形 状为. 答案：平行四边形 ［解析］:平面ABFE//平而CDHG,又平而EFGHC平面ABFE=EF, 平而EFG”n平面CDHG=HG, //HG. 10 同理E7/〃EG, ・•.四边形EFGH的形状是平行四边形. 7.如图所示，在三棱柱ABC-A山Ci中，AC=3C,点。是A8的中点，求证：B3〃平 面CAD. 证明：如图所示，连接AG交AC于点。，连接。。，则。是AG的中点. 丁点。是AB的中点,：.OD//BC. 又〈OOu平面C41D,8G。平面CAQ,•••3。〃平 而。41。. 8.如图所示，在正方体A8CO-A由]G5中，S是当功 的中点，E、尸、G分别是8C、 OC和SC的中点.求证：平面E/P〃平面3。。归i. 证明如图所示，连接SB,SD. VF.G分别是DC、SC的中点， ，FG〃SD. 又二SDU平面BDDiBi,FGQ平而 BDDiBi, ，直线FG〃平面BDDiBi. 同理可证EG〃平而BDD[B], 又TEGU平面EFG, FGU平面EFG, EGCIFG=G, ，平而EFG〃平而BDDiB]. 9.（本小题满分12分）在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是正方形，M、N分别为AB、 SC的中点，SAJ_底面ABOi 求证：MN//平面SAD; 11 答案.证明(I):E为SD中点，连接AE,NE,因为M、N分别为AB、SC的中点,所以 AM〃EN,AM=EN,即四边形AMNE是平行四边形，所以MN//AE,可得MN〃平面SAD; 10.一个多面体的直观图及三视图如图所示: (其中M、N分别是AE、8c的中点). (1)求证：/N〃平而。。炉： (2)求多而体A-COEE的体积. 答案由三视图可知，该多而体是底而为直角三角形 的直三棱柱AOEBCF. EAB=BC=BF=2,DE=CF=241,：.ZCBF=-. 2 (1)证明：取BF的中点G,连结MG、NG, 由M、N分别为AF、BC的中点可得，NG〃。凡MG〃EF,■，平而MNG〃平而COEF, 又A/Nu平面MNG,〃平而COEE 9：AD=, 在直三棱柱ADE・BCF中，平面ADEL平面CDEF, 平面AOEC平面平面CDEF. ，多而体A・CDE/是以A〃为高，以矩形。EE为底而的棱锥，在NOE中，AH=VI. S矩形CDEF=DE-EF=4痣，，棱锥A^CDEF的体积为 12 V=SH^CDEFAH=—x4Vlx=— 333 解法2： y=y-V 'A-CDEFvAED-BFCvA-BFC ~S^AEDxAB——x5ABFC xAB 21c.8 =—x—x2x2x2=一 323 H如图，在直四棱柱ABCD-AiBiC^中，底面A8CD为等腰梯形,2CD,在 棱A3上是否存在一点F,使平面GC"〃平而AQU4?若存在，求点尸的 位置；若不存在，请说明理由. 答案存在这样的点F，使平面GCF〃平面AO54,此时点尸为A8的中 点，证明如下: ,:AB〃CD,AB=2CD,：.AF^CD9 .•・四边形AFCD是平行四边形， ：.AD//CF, 又AOu平面ADDA, CFU平面AODi/h,，。尸〃平面月。£)141.又CG〃OOi,CCQ平面A。。山, O£)iu平而A。。,，•••CCi〃平而A。。山,又CG、C/u平面CiCF,CC】 nCF=C,，平而Cl。7〃平而AOOiAi. 12.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P-A8C。中，点、E在PD上,且PE：ED= 2：1,在棱PC上是否存在一,点E使BF〃平而AEC?证明你的结论. 答案存在. 证明如下：取棱尸。的中点F,线段尸E的中点M,连接3D 设BDCAC=O. 连接BE,MF,BM,OE. AB//CD.且AB= 13 VP£：ED=2：l,尸为PC的中点，M是PE的中点，E是MD的中 点， :.MF〃EC,BM//OE. •••MRt平面平面AEC,BMC平而AEC,OEu平面 AEC, 〃平面AEC,8M〃平而AEC 9：MFCBM=M,二平面AWE〃平面AEC又8Eu平面8MF,〃平面AEC 13.(北京)如图，在四面体PA8C中，PC1AB,PALBC,点。，E,F,G分别是棱AP, AC,BC,PB的中点. ⑴求证:OE〃平面8CP； ⑵求证：四边形OEFG为矩形； ⑶是否存在点Q，到四而体PA8C六条棱的中点的距离相等？说明理由. 答案(1)证明：因为。，E分别为AP,AC的中点，所以。石〃PC义因为DEt平面 BCP,PCu平面BCP,所以DE〃平面BCP.(2)证明：因为。，E,F,G分别为AP, AC,BC,PB的中点所以。石〃PC〃/G,DG//AB//EF,所以四边形OEEG为平行四边 形.又因为尸C_L43,所以OE_LOG,所以四边形OEFG为矩形. (3)存在点。满足条件，理由如下：连接OF,EG,设。为EG的中点. 1 由(2)知，DFCEG=Q9JLQD=QE=QF=QG=2^G. 分别取PC,A8的中点M,N,连接ME,EN,NG,MG,MN. 1 与(2)同理可证四边形A/ENG为矩形，其对象线交点为EG的中点0,且0M=QN=? EG,所以EG的中点。是满足条件的点. 14