极值点的定义
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2023年2月27日发(作者：裂解汽油)1。3。2极值点
知识梳理
1。设函数f(x)在x
0
附近有定义，_____________，则称f(x
0
)是f（x）的一个极大值；如果
对于x
0
附近的所有的点，都有_____________,就说f（x
0
)是f（x）的一个_____________.
2.函数f（x）在x
0
点处的导数为0,是f(x）在x
0
处取得极值的_____________条件.
3。当函数f(x)在x
0
处可导，判断f(x
0
）为极值的方法是_____________;_____________。
4.若x
0
为f(x)的极小值点,则_____________，导数为零的点_____________为极值点.
知识导学
1。函数的极值研究是导数应用的关键知识点,可加深对函数单调性与其导数关系的理解.y=f
（x）的导数存在时，f′（x
0
）=0是y=f(x)在x=x
0
处有极值的必要条件,如果再加之x
0
两侧
附近的导数的符号相反,才能确定在x=x
0
处取得极值；y=f（x)在x=x
0
处没有导数时,x=x
0
也可
能是y=f（x）的极值点,确定y=f(x)的疑点（可能是极值点)应分为f′(x）=0,f′（x）不存
在两类.
2。判断可导函数极值的方法
设函数y=f(x)在点x
0
及其附近可导，且f′(x
0
)=0.
(1)如果f′（x）的符号在点x
0
的左右由正变负，则f（x
0
)为函数f（x)的极大值.
（2)如果f′（x）的符号在点x
0
的左右由负变正,则f（x
0
)为函数f（x）的极小值。
疑难突破
导数为零的点一定是极值点吗？函数的单调性与函数的极值有怎样的关系?
剖析：确定函数的极值应从几何直观入手，导数为0的点不一定是极值点（如y=x3,当x=0
时，y′=3x2=0），但可导函数的极值点必须是导数为0的点.
如果函数f(x）在(a,b)内为单调函数，那么f(x）在（a，b）内没有极值,即单调函数在
单调开区间内没有极值点。
典题精讲
【例1】求函数y=x4-2x2-1的极值。
思路分析：先求导数f′(x）,再求方程f′（x）=0的根，最后检查f′(x）在方程根左右的
值的符号，如果左正右负,那么f(x）在这个根处取得极大值;如果左负右正，那么f（x）在
这个根处取得极小值.
解：y′=4x3—4x，令y′=0,得x
1
=-1,x
2
=0，x
3
=1。
将x，y在相应区间上y′的符号关系列表如下：
x(-∞，
—1)
—1（—
1，0）
0(0,1）1(1,+∞）
y′-0+0—0+
y↘极小值
—2
↗极大值
-1
↘极小值
—2
↗
所以当x=—1时,函数有极小值-2,当x=0时，函数有极大值-1，当x=—1时，函数有极
小值-2。
绿色通道：使y′=0的点未必是极值点，但可导函数的极值点处导数必为0，极大(极小)值与
最值是不同的概念,极大值不一定比极小值大.
变式训练：求函数y=的极值。
思路分析：首先判断出函数的定义域，然后步骤同例1的解析.
解：函数定义域为(-∞，1）∪(1，+∞）,∵y′=，
令y′=0，得x
1
=—1,x
2
=2。令x变化时,y′，y的变化情况如下表：
x
(—
∞，-
1)
-1
（—
1,1)
1（1,2）2（2,+∞）
y′+0-+0+
y↗↘↗3↗
故当x=—1时，y
极大值
=。
【例2】求下列函数的极值。
(1）f(x）=x3-12x；
(2)f(x)=x2e-x；
（3)f（x)=-2.
思路分析:按照求极值的基本方法,首先从方程f′（x）=0求出在函数f（x）定义域内所有可
能的极值点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值。
解：(1)函数定义域为R.f′(x)=3x2—12=3(x+2)（x-2).
令f′（x）=0,得x=±2。
当x＞2或x＜—2时,f′（x)＞0，
∴函数在(—∞，2）和（2,+∞)上是增函数;
当-2＜x＜2时,f′（x）＜0，
∴函数在(-2,2）上是减函数.
∴当x=-2时，函数有极大值f（—2）=16，
当x=2时,函数有极小值f(2）=-16。
(2）函数定义域为R。f′(x）=2xe-x-x2e-x=x(2—x）e-x,
令f′(x）=0,得x=0或x=2。
当x＜0或x＞2时,f′(x）＜0，
∴函数f(x)在(—∞,0）和(2，+∞)上是减函数;
当0＜x＜2时,f′（x）＞0，
∴函数f(x)在(0,2)上是增函数。
∴当x=0时,函数取得极小值f（0）=0,
当x=2时,函数取得极大值f（2)=4e-2。
(3）函数的定义域为R。f′(x)=,
令f′(x)=0,得x=±1.
当x＜-1或x＞1时，f′（x)＜0,
∴函数f（x）在（-∞，—1)和(1，+∞)上是减函数;
2
3
)1(2
2
x
x
3
2
)1(2
)1()2(
x
xx
8
3
8
3
1
2
2x
x
2222
2
)1(
)1)(1(2
)1(
22)1(2
•
x
xx
x
xxx
当—1＜x＜1时,f′（x)＞0，
∴函数f（x)在（-1，1）上是增函数.
当x=-1时,函数取得极小值f（-1）=-3，
当x=1时,函数取得极小值f(1）=-1.
绿色通道：解答本题时，应注意f′（x
0
)=0,只是f(x)在x
0
处有极值的必要条件，如果再加
上x
0
附近导数的符号相反,才能断定函数在x
0
处取得极值,反映在解题上,错误判断极值点或漏
掉极值点是学生经常出现的失误。
变式训练：求函数f(x)=在R上的极值(a＞0)。
思路分析:按照求极值的基本方法，考虑函数的定义域，先从方程f′(x)=0求出可能的极值
点,然后按照函数极值的定义判断在这些点处是否取得极值.
解：∵f′（x)=，令f′（x）=0，得x=0。
此外该函数定义域为R，而在x=±a处不可导,
因此列表时应将x=±a点考虑进去。
x变化时，y′、y的变化情况如下表:
x
(—
∞,-
a）
—a
（-
a,0）
0(0,a)a(a,+∞）
y′-+0-+
y↘0↗↘0↗
由表知f（x)在x=±a处取得极小值0，在x=0处取得极大值.
【例3】求函数y=2x+的极值，并结合单调性、极值作出该函数的图象。
思路分析:利用函数求极值的步骤:(1）先求函数的定义域;（2）求导数f′（x）;（3）求方
程f′（x)=0的根；(4)检查f′（x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在
这个根处取得极大值；如果左负右正,那么f(x）在这个根处取得极小值。
解:函数的定义域为x∈R且x≠0。
y′=，令y′=0，得x=±2。
当x变化时，y′、y的变化情况如下表：
x
（—
∞,—
2)
—2
(—2，
0）
0
（0，
2)
2（2,+∞）
y′+0--0+
y↗—8↘↘8↗
因此当x=-2时，y
极大值
=-8.
3
222)(ax
3
223
4
ax
x
3
4a
3
4a
x
8
2
8
2
x
图1-3—1
当x=2时，由表易知y=2x+的草图应为图1-3—1，y
极小值
=8。
绿色通道：（1）列表时应将定义域内的间断点（如x=0）考虑进去。
(2）极大值不一定比极小值大，这是因为极值是相对某一区域讨论的。
(3）借助函数的性质（如奇偶性、单调性、极值、周期等）研究函数图象是重要手段.
问题探究
问题1:极值点附近函数切线的斜率的正负变化与函数的极值有什么关系？
导思：可以通过导数的几何意义,直观地得出答案。
探究：曲线在极值点处切线的斜率为0,曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负;曲线
在极小值点左侧切线的斜率为负,右侧为正。
问题2：若函数f（x)在x
0
处取得极值,则f（x)在x
0
处一定可导吗?
导思:导数为0的点可能为极值点,有些极值点不一定是可导的。
探究：不一定，例如f(x）=|x｜在x=0处取得极小值，但f（x)=|x｜在x=0处不可导.
x
8