特征函数

特征函数

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2023年2月26日发(作者：龙精神)

第四章大数定律与中心极限定理

特征函数

内容提要

1.特征函数的定义设X是一个随机变量,称)()(itXeEt

为X的特征函数,

其表达式如下

(),

()().

(),

在离散场合，

在连续场合，

itx

i

i

itX

itx

x

ePXx

tEet

epxdx

























由于1sincos22txtxeitx,所以随机变量X的特征函数

)(t总是存在的.

2.特征函数的性质

(1)1)0()(t;

(2)),()(tt其中)(t

表示

)(t的共轭;

(3)若Y=aX+b,其中a,b是常数.则);()(atet

X

ibt

Y



(4)若X与Y是相互独立的随机变量,则);()()(ttt

YXYX





(5)若()lEX存在,则)(t

X

可l次求导,且对lk1,有);()0()(kkkXEi

(6)一致连续性特征函数)(t在),(上一致连续

(7)非负定性特征函数

)(t是非负定的,即对任意正整数n,及n个实数

n

ttt,,,

21

和n个复数

n

zzz,,

21

,有

;0)(

11





jkj

n

k

n

j

k

zztt

(8)逆转公式设F(x)和

)(t分别为X的分布函数和特征函数,则对F(x)的任

意两个点

21

xx,有









2

)0()(

2

)0()(

1122

xFxFxFxF

;)(

2

1

lim21dtt

it

eeT

T

itxitx

T











特别对F(x)的任意两个连续点

21

xx,有

;)(

2

1

lim)()(21

12

dtt

it

ee

xFxFT

T

itxitx

T













(9)唯一性定理随机变量的分布函数有其特征函数唯一决定；

(10)若连续随机变量X的密度函数为p(x),特征函数为

).(t如果





dtt)(

,

则

dttexpitx)(

2

1

)(









3.常用的分布函数特征表

分布特征函数

退化分布P(X=a)=1itaet)(

二项分布

pqpeqtnit1,)()(

几何分布

pqt

it

it

qe

pe



1,)(

1



正态分布

2

22exp)(ttit

标准正态分布2

2)(tet

均匀分布U(a,b)

itab

eeitaitbt

)(



均匀分布U(-a,b)

at

attsin)(

指数分布1)1()(



itt

伽玛分布Ga(,)

()(1)itt





2

分布2)21()(nitt

泊松分布)1(exp)(itet

习题与解答

1.设离散随机变量X的分布列如下,试求X的特征函数.

X0123

P

解titiit

x

eeet321.02.03.04.0)(

2.设离散变量X服从几何分布.,2,1,)1()(1kppkXPk

试求X的特征函数,并以此求E(X)和Var(x).

解记q=1-p,则

it

it

K

itit

k

kitkitx

qe

pe

qepepqeeEt













1

)()()(

11

1,

2

'

1

)(

it

it

qe

ipe

t



,

4

2

''

)1(

)1(2)1(

)(

it

ititititit

qe

qeqepeqepe

t





,

p

q

p

i

XE

1

)1(

)0(

1

)(

2

'





,

24

2

''

2

1

)1(

)1(2)1(

)0(

1

)(

p

q

q

qpqqp

i

XE









,

2

2

2

22)

1

(

1

)]([)()(

p

q

p

p

q

XEXEXVar





3．设离散随机变量X服从巴斯卡分布

,)1(

1

1

)(rkrpp

r

k

kXP























,1,,krrL

试求X的特征函数.

解设

r

XXX,,,

21

是相互独立同分布的随机变量,且都服从参数为p的几

何分布Ge(p),则由上一题知

j

X的特征函数为

,

1

)(

X

it

it

qe

pe

t

j



其中q=1-p.又因为

r

XXXX

21

,所以X的特征函数为









r

j

r

it

it

xXqe

pe

tt

j

1

)

1

()()(.

4．求下列分布函数的特征函数,并由特征函数求其数学期望和方差.

(1)dte

a

xF

x

ta





2

)(

1

(a>0);(2)dt

at

a

xF

x







22

2

1

)(



(a>0).

解(1)因为此分布的密度函数为

,

2

)(

1

xae

a

xp.x

所以此分布的特征函数为

0

1

0

()

22

itxaxitxax

aa

teedxeedx









0

0

(cossin)(cossin)

22

axax

aa

txitxedxtxitxedx









=.cos

22

2

0

ta

a

dxtxeaax







又因为

,

)(

2

)(

222

2

'

1ta

ta

t



,0)0('

1



,

)(

)3(2

)(

322

222

''

1ta

ata

t





,

2

)0(

2

''

1a



所以

0,(0)

1

)('

1



i

XE

Var(X)=

.

a

2

(0)

1

)(

2

''

1

2

2

i

XE

(2)因为此分布的密度函数为

,

1

)(

22

2ax

a

xp







.x

所以此分布的特征函数为

,

cos2

)(

0

2222

2









dx

ax

txa

dx

ax

ea

x

itx





又因为当t>0时,有(见菲赫金哥尔茨《微积分学教程》第二卷第三分册或查

积分表).

2

cos

0

22





ate

a

dx

ax

tx

所以当t>0时,有

.

2

2

)(

2

atatee

a

a

t







而当t<0时,有,)()(

22

taett所以

.

2

2

)(

2

ta

atee

a

a

t









又因为)(

2

t在t=0处不可导,故此分布(柯西积分)的数学期望不存在.

注：





dx

ax

ea

x

itx

22

2

)(



也可利用复变函数中的留数理论来计算,方法如

下：t>0时,





























aiz

az

e

i

a

dx

ax

ea

x

itzitx

,Res2)(

2222

2







ta

taitz

aiz

e

ai

e

ai

aiz

e

i

a













2

2lim2



5.设),,(~2NX试用特征函数的方法求X的3阶及4阶中心矩.

解因为正态分布),(2N的特征函数为,)(2/22ttiet所以

,)0('i,

)0(

)(

'







i

XE

,)0(22'',

)0(

)(22

2

''

2





i

XE

,3)0(23'''ii,3

)0(

)(33

3

'''

3





i

XE

,36)0(4224''''.36

)0(

)(4224

4

''''

4





i

XE

由此得X的3阶及4阶中心矩为

,0)(3)(3)())((2233XEXEXEXEXE

.3)(4)(6)(4)())((44343344XEXEXEXEXEXE

6.试用特征函数的方法证明二项分布的可加性：若X~b(n,p),Y~b(m,p),

且X与Y独立,则X+Y~b(n+m,p).

证记q=1-p,因为nit

X

qpet)()(

,mit

Y

qpet)()(

,

所以由X与Y的独立性得

()()()()itnm

XYXY

tttpeq



,

这正是二项分布b(n+m,p)的特征函数,由唯一性定理知X+Y~b(n+m,P).

7.试用特征函数的方法证明泊松分布的可加性：若X~P(1),Y~P(2),且X

与Y独立,则X+Y~P(

1+2).

证：因为,)(,)()1()1(

21

itite

Y

e

X

etet所以由X与Y独立性得

,)()()()1)

2

(



it

eettt

YXYX



这正是泊松分布P(

1+2).的特征函数,由唯一性定理知X+Y~P(1+2)..

8.试用特征函数的方法证明伽玛分布的可加性：若),,(~

1

aGaX

),(~

2

aGaY

,且X与Y独立,则

),(~

21

aaGaYX

.

证因为1)1()(a

X

it

t



,2)1()(a

Y

it

t



,所以由X与Y的独立性得

)(

21)1()()()(aa

YXYX

it

ttt







,

这正是伽玛分布

),(

21

aaGa

的特征函数,由唯一性定理知

),(~

21

aaGaYX

.

9.试用特征函数的方法证明2

分布的可加性：若)(~2nX

,)(~2mY

,且

X与Y独立,则).(~2mnYX

证因为2)21()(n

X

itt,2)21()(m

Y

itt,所以由X与Y的独立性得

2

)(

)21()()()(

mn

YXYX

itttt







,

这正是2

分布2

(n+m)的特征函数,由唯一性定理知).(~2mnYX

10.设

i

X独立同分布,且niExpX

i

,,2,1),(~

.试用特征函数的方法证明:







n

i

in

nGaXY

1

),(~.

证因为1)1()(





it

t

i

X

,所以由诸

i

X的相互独立性得

n

Y的特征函数为

n

Y

it

t

n

)1()(



,

这正是伽玛分布

),(nGa

的特征函数,由唯一性定理知),(~nGaY

n

.

11.设连续随机变量X服从柯西分布,其密度函数如下：





x

x

xp,

)(

1

)(

22





,

其中参数

,0

,常记为

),(~ChX

,

(1)试证X的特征函数为ttiexp,且利用此结果证明柯西分布的可加

性；

(2)当

1,0时,记Y=X,试证)()()(ttt

YXYX





,但是X与不独立；

(3)若

n

XXX,,,

21

相互独立,且服从同一柯西分布,试证：

)(

1

21n

XXX

n



与X

i同分布.

证(1)因为XY

的密度函数为





x

y

xp,

1

)(

22





,由本

节第4题(2)知Y的特征函数为()exp||

Y

tt.由此得YX

的特征函数

ttittitt

YYX









exp)(exp)()(.

下证柯西分布的可加性:设)2,1(iX

i

服从参数为

ii

,的柯西分布,其密度

函数为:2,1,,

)(

1

)(

22





ix

x

xp

i

i





.若

1

X

与

2

X

相互独立,则

ttittt

XXXX

)(exp)()()(

2121

2

121





,

这正是参数为

2121

,

柯西分布的特征函数.所以由唯一性定理知,

21

XX

服从参数为

2121

,

的柯西分布.

(2)当

1,0时有tt

X

exp)(,tt

Y

exp)(,所以

)2()()(

2

ttt

XXYX



tttexpexp2exp)()(tt

YX

.

由于Y=X,当然X与Y不独立.

此题说明,由

)()()(ttt

YXYX





不能推得X与Y独立.

(3)设

i

X都服从参数为,

的柯西分布,则特征函数为ttitexp)(.

由相互独立性得,



n

i

i

X

n

1

1

的特征函数为ttintnexp)/(,即



n

i

i

X

n

1

1

与

X1具有相同的特征函数,由唯一性定理知它们具有相同的分布.

12.设连续随机变量X的密度函数为p(x),试证：p(x)关于原点对称的充要条

件是它的特征函数是实的偶函数.

证：记X的特征函数为

)(t

X



.先证充分性,若

)(t

X



是实的偶函数,则

)()(tt

XX



或

)()(tt

XX



,这表明X与-X有相同的特征函数,从而X与-X

有相同的密度函数,而-X的密度函数为p(-x),所以得p(x)=p(-x),即p(x)关于原点是

对称的.

再证必要性.若p(x)=p(-x),则X与-X有相同的密度函数,所以X与-X有相同的

特征函数.由于-X的特征函数为

)(t

X

,所以

)()(tt

XX



=

________

)(t

X

,故

)(t

X

是实

的偶函数.

13.设

n

XXX,,,

21

独立同分布,且都服从N(2,

)分布,试求





n

i

i

X

n

X

1

___1

的

分布.

解：因为X

j的特征函数为2/22)(tti

j

et

,所以由诸X

i互相独立得

___

X的特

征函数为)2/(22))/(()(nttin

i

X

entt这是正态分布N(n/,2

)的特征函数,所

以由唯一性定理知





n

i

i

X

n

X

1

___1

~N(n/,2

)