三角函数差角公式
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2023年2月26日发(作者：站台面).
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三角函数公式推导和应用大全
三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任何角的集合与一
个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的。其定义域
为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数
列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。
三角函数看似很多、很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各
个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在
中文名
三角函数公式
外文名
Formulasoftrigonometricfunctions
应用学科
数学、物理、地理、天文等
适用领域范围
几何，代数变换，数学、物理、地理、天文等
适用领域范围
高考复习
目录
1定义式
2函数关系
3诱导公式
4基本公式
▪和差角公式
▪和差化积
▪积化和差
▪倍角公式
▪半角公式
▪万能公式
▪辅助角公式
5三角形定理
▪正弦定理
▪余弦定理
三角函数公式定义式
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锐角三角函数任意角三角函数
图形
直角三角形
.
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任意角三角函数
正弦（sin）
余弦（cos）
正切（tan
或tg）
余切（cot
或ctg）
正割（sec）
余割（csc）
表格参考资料来源：现代汉语词典．
三角函数公式函数关系
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倒数关系：
；
；
商数关系：
；
．
平方关系：
；
；
．
三角函数公式诱导公式
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公式一：设
为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等：
.
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公式二：设
为任意角，
与
的三角函数值之间的关系：
公式三：任意角
与
的三角函数值之间的关系：
公式四：
与
的三角函数值之间的关系：
公式五：
与
的三角函数值之间的关系：
.
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公式六：
及
与
的三角函数值之间的关系：
记背诀窍：奇变偶不变，符号看象限．即形如（2k+1）90°±α，则函数名称变为余名函数，
正弦变余弦，余弦变正弦，正切变余切，余切变正切。形如2k×90°±α，则函数名称不变。
诱导公式口诀“奇变偶不变，符号看象限”意义：
k×π/2±a(k∈z)的三角函数值．(1)当k为偶数时，等于α的同名三角函数值，前面加上一
个把α看作锐角时原三角函数值的符号；
.
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(2)当k为奇数时，等于α的异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时原三角函
数值的符号。
记忆方法一：奇变偶不变，符号看象限：
记忆方法二：无论α是多大的角，都将α看成锐角．
以诱导公式二为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π十α是第三象限的角（终边在第三象限），正弦
函数的函数值在第三象限是负值，余弦函数的函数值在第三象限是负值，正切函数的函数值
在第三象限是正值．这样，就得到了诱导公式二．
以诱导公式四为例：
若将α看成锐角（终边在第一象限），则π-α是第二象限的角（终边在第二象限），正弦函
数的三角函数值在第二象限是正值，余弦函数的三角函数值在第二象限是负值，正切函数的
三角函数值在第二象限是负值．这样，就得到了诱导公式四．
诱导公式的应用：
运用诱导公式转化三角函数的一般步骤：
特别提醒：三角函数化简与求值时需要的知识储备：①熟记特殊角的三角函数值；②注意
诱导公式的灵活运用；③三角函数化简的要求是项数要最少，次数要最低，函数名最少，
分母能最简，易求值最好。
.
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三角函数公式基本公式
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三角函数公式和差角公式
二角和差公式
证明如图，负号的情况只需要用-β代替β即可．cot(α+β)推导只需把角α对边设为1，过
程与tan(α+β)相同．
证明正切的和差角公式
证明正弦、余弦的和差角公式
三角和公式
三角函数公式和差化积
.
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口诀：正加正，正在前，余加余，余并肩，正减正，余在前，余减余，负正弦．
三角函数公式积化和差
三角函数公式倍角公式
二倍角公式
三倍角公式
证明：
sin3a
=sin(a+2a)
=sin^2a·cosa+cos^2a·sina
=2sina(1-sin^2a)+(1-2sin^2a)sina
=3sina-4sin^3a
cos3a
=cos(2a+a)
=cos^2acosa-sin^2asina
=(2cos^2a-1)cosa-2(1-cos^2a)cosa
=4cos^3a-3cosa
sin3a
.
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=3sina-4sin^3a
=4sina(3/4-sin^2a)
=4sina[(√3/2)-sina][(√3/2)+sina]
=4sina(sin60°+sina)(sin60°-sina)
=4sina*2sin[(60+a)/2]cos[(60°-a)/2]*2sin[(60°-a)/2]cos[60°+a)/2]
=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3a
=4cos^3a-3cosa
=4cosa(cos^2a-3/4)
=4cosa[cos^2a-(√3/2)^2]
=4cosa(cosa-cos30°)(cosa+cos30°)
=4cosa*2cos[(a+30°)/2]cos[(a-30°)/2]*{-2sin[(a+30°)/2]sin[(a-30°)/2]}
=-4cosasin(a+30°)sin(a-30°)
=-4cosasin[90°-(60°-a)]sin[-90°+(60°+a)]
=-4cosacos(60°-a)[-cos(60°+a)]
=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
上述两式相比可得：
tan3a=tana·tan(60°-a)·tan(60°+a)
四倍角公式
sin4a=-4*[cosa*sina*(2*sina^2-1)]
cos4a=1+(-8*cosa^2+8*cosa^4)
tan4a=(4*tana-4*tana^3)/(1-6*tana^2+tana^4)
五倍角公式
n倍角公式
应用欧拉公式：
.
上式用于求n倍角的三角函数时，可变形为：
所以，
其中，Re表示取实数部分，Im表示取虚数部分．而
.
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所以，
n倍角的三角函数
三角函数公式半角公式
（正负由
所在的象限决定）
三角函数公式万能公式
三角函数公式辅助角公式
．
证明：
由于
.
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，显然
，且
故有：
三角函数公式三角形定理
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三角函数公式正弦定理
详见词条：正弦定理
在任意△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R．则有：
正弦定理变形可得：
三角函数公式余弦定理
详见词条：余弦定理
在如图所示的在△ABC中，有
.
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余弦定理
或