圆锥曲线硬解定理

圆锥曲线硬解定理

-

2023年2月26日发(作者：四棱柱的性质)

平面解析几何硬解方法及便捷规

律【珍藏】(总9页)

②

平面解析几何

1.圆锥曲线对比表

2.硬解定理内容

3.结论与推论

③

第一部分圆锥曲线对比表

圆锥曲线

椭圆

双曲线抛物线

标准方程x2/a2+y2/b2=1(a>b>0)x2/a2-y2/b2=1(a>0,b>0)y2=2px(p>0)

范围

x∈[-a,a]

y∈[-b,b]

x∈(-∞，-a]∪[a,+∞)

y∈R

x∈[0,+∞)

y∈R

对称性关于x轴，y轴，原点对称关于x轴，y轴，原点对称关于x轴对称

顶点(a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b)(a,0),(-a,0)(0,0)

焦点

(c,0),(-c,0)

【其中c2=a2-b2】

(c,0),(-c,0)

【其中c2=a2+b2】

(p/2,0)

准线x=±a2/cx=±a2/cx=-p/2

渐近线——————y=±(b/a)x—————

离心率e=c/a,e∈（0,1)e=c/a,e∈（1,+∞）e=1

焦半径

∣PF∣=a+ex

∣PF∣=a-ex

∣PF∣=∣ex+a∣

∣PF∣=∣ex-a∣

∣PF∣=x+p/2

焦准距p=b2/cp=b2/cp

通径2b2/a2b2/a2p

参数方程

x=a·cosθ

y=b·sinθ，θ为参数

x=a·secθ

y=b·tanθ，θ为参数

x=2pt2

y=2pt,t为参数

过圆锥曲线上一点

(x0,y0）的切线方程

x0·x/a2+y0·y/b2=1x0x/a2-y0·y/b2=1y0·y=p(x+x0)

斜率为k的切线方程y=kx±√(a2·k2+b2)y=kx±√(a2·k2-b2)y=kx+p/2k

④

第一部分硬解定理内容

CGY-EH定理（圆锥曲线硬解定理）

若曲线

与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:

其中?△‘为一与△同号的值，

定理说明

应用该定理于椭圆?时,应将代入。

应用于双曲线?时,应将代入

同时不应为零,即ε不为零。

求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与'的值不会因此而改变。

定理补充

联立曲线方程与y=kx+?

是现行高考中比联立”Ax+By+C=0“更为普遍的现象。其中联立后的二次方程是标准答案中必不可

少的一项，x1+x2，x1x2都可以直接通过该方程与韦达定理求得，唯独弦长的表达式需要大量计算。

这里给出一个CGY-EH的斜率式简化公式，以减少记忆量，以便在考试中套用。

若曲线?与直线y=kx+相交于E、F两点,则:

⑤

这里的?既可以是常数，也可以是关于k的代数式。由这个公式我们可以推出：

若曲线?为椭圆

,则

若曲线?为双曲线

,则

由于在高考中CGY-EH定理不可以直接应用，所以学生如此解答才可得全步骤分（省略号的内容

需要考生自己填写）：

联立两方程得……（二次式子）（*）

所以x1+x2=……①，x1x2=……②；

所以|x1-x2|=√（x1+x2）^2-4x1x2=……（此时代入①、②式得到一个大式子，但不必化简）

化简得|x1-x2|=?(偷偷地直接套公式，不必真化简)

下面就可求弦长

了。

定理简证

设曲线x^2/m+y^2/n=1①与直线Aχ+By+C=0②相交于E、F两点，联立①②式可得最终的二次

方程：

(A^2m+B^2n)x^2+2ACmx+C^2m-mnB^2=0

应用韦达定理，可得:

x_1+x_2=(-2ACm)/(A^2m+B^2n)

x_1x_2=(m(C^2-B^2n))/(A^2m+B^2n)

=4mnB^2(ε-C^2)

对于等价的一元二次方程的数值不唯一,且的意义仅在于其与零的关系,故由4B^2>0恒成立,则可

取与同号的'=mn(ε-C^2)作为的值。[3]

由|EF|=√(〖(x_1-x_2)〗^2+〖(y_1-y_2)〗^2)=√((1+A^2/B^2)[〖(x_1+x_2)〗^2-4x_1x_2])

可得|EF|=√((A^2+B^2)4mn(A^2m+B^2n-C^2))/(|A^2m+B^2n|)

令ε=A^2m+B^2n则得到CGY-EH定理:

x_1+x_2=(-2ACm)/ε;x_1x_2=(m(C^2-B^2n))/ε;'=mn(ε-C^2);|EF|=(2√((A^2+B^2)'))/(|ε|)

⑥

第一部分结论与推论

一、椭圆的常用结论：

1.点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的外角.

平分△PF1F2在点P处的外角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，

除去长轴的两个端点.

3.以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相离.

4.以焦点半径PF1为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切.

5.若

000

(,)Pxy在椭圆22

22

1

xy

ab

上，则过

0

P的椭圆的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

6.若

000

(,)Pxy在椭圆22

22

1

xy

ab

外，则过

0

P作椭圆的两条切线切点为P1、P2，则切点弦P1P2的直线方程

是00

22

1

xxyy

ab

.

7.椭圆22

22

1

xy

ab

(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1，F2，点P为椭圆上任意一点

12

FPF，则椭圆的焦

点角形的面积为

12

2tan

2FPF

Sb





.

8.椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的焦半径公式

10

||MFaex,

20

||MFaex(

1

(,0)Fc,

2

(,0)Fc

00

(,)Mxy).

9.设过椭圆焦点F作直线与椭圆相交P、Q两点，A为椭圆长轴上一个顶点，连结AP和AQ分别交

相应于焦点F的椭圆准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10.过椭圆一个焦点F的直线与椭圆交于两点P、Q,A1、A2为椭圆长轴上的顶点，A1P和A2Q交于点

M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

是椭圆22

22

1

xy

ab

的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则2

2

OMAB

b

kk

a

，即

0

2

0

2

ya

xb

K

AB

。

12.若

000

(,)Pxy在椭圆22

22

1

xy

ab

内，则被Po所平分的中点弦的方程是22

0000

2222

xxyyxy

abab

；

【推论】：

1、若

000

(,)Pxy在椭圆22

22

1

xy

ab

内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22

00

2222

xxyy

xy

abab

。椭圆22

22

1

xy

ab

（a

＞b＞o）的两个顶点为

1

(,0)Aa,

2

(,0)Aa，与y轴平行的直线交椭圆于P1、P2时A1P1与A2P2交点的轨迹方

程是22

22

1

xy

ab

.

⑦

2、过椭圆22

22

1

xy

ab

(a＞0,b＞0)上任一点

00

(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交椭圆于B,C两点，则

直线BC有定向且2

0

2

0

BC

bx

k

ay

（常数）.

3、若P为椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1,F2是焦点,

12

PFF,

21

PFF，则

tant

22

ac

co

ac







.

4、设椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为椭圆上任意一点，在△

PF1F2中，记

12

FPF,

12

PFF,

12

FFP，则有

sin

sinsin

c

e

a









.

5、若椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当0＜e≤21时，可在

椭圆上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6、P为椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为椭圆内一定点，则

211

2||||||2||aAFPAPFaAF,当且仅当

2

,,AFP三点共线时，等号成立.

7、椭圆22

00

22

()()

1

xxyy

ab



与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222

00

()AaBbAxByC.

8、已知椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0），O为坐标原点，P、Q为椭圆上两动点，且OPOQ.（1）

2222

1111

||||OPOQab

;（2）|OP|2+|OQ|2的最大值为22

22

4ab

ab

;（3）

OPQ

S



的最小值是22

22

ab

ab

.

9、过椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的右焦点F作直线交该椭圆右支于M,N两点，弦MN的垂直平分线

交x轴于P，则

||

||2

PFe

MN

.

10、已知椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）,A、B、是椭圆上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交于

点

0

(,0)Px,则2222

0

abab

x

aa



.

11、设P点是椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）上异于长轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

12

FPF，则

(1)2

12

2

||||

1cos

b

PFPF







.(2)

12

2tan

2PFF

Sb





.

12、设A、B是椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的长轴两端点，P是椭圆上的一点，PAB,

PBA,BPA，c、e分别是椭圆的半焦距离心率，则有(1)2

222

2|cos|

||

s

ab

PA

acco









.(2)2tantan1e.(3)

22

22

2

cot

PAB

ab

S

ba









.

⑧

13、已知椭圆22

22

1

xy

ab

（a＞b＞0）的右准线l与x轴相交于点

E

，过椭圆右焦点

F

的直线与椭圆相交

于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的连线

必与切线垂直.

15、过椭圆焦半径的端点作椭圆的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互相垂

直.

16、椭圆焦三角形中,内点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

（注:在椭圆焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点.）

17、椭圆焦三角形中,内心将内点与非焦顶点连线段分成定比e.

18、椭圆焦三角形中,半焦距必为内、外点到椭圆中心的比例中项.

二、双曲线的常用结论：

1、点P处的切线PT平分△PF1F2在点P处的内角.

2、PT平分△PF1F2在点P处的内角，则焦点在直线PT上的射影H点的轨迹是以长轴为直径的圆，除

去长轴的两个端点.

3、以焦点弦PQ为直径的圆必与对应准线相交.

4、以焦点半径PF1为直径的圆必与以实轴为直径的圆相切.（内切：P在右支；外切：P在左支）

5、若

000

(,)Pxy在双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）上，则过

0

P的双曲线的切线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

6、若

000

(,)Pxy在双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）外，则过Po作双曲线的两条切线切点为P1、P2，则切

点弦P1P2的直线方程是00

22

1

xxyy

ab

.

7、双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞o）的左右焦点分别为F1，F2，点P为双曲线上任意一点

12

FPF，则

双曲线的焦点角形的面积为

12

2t

2FPF

Sbco





.

8、双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞o）的焦半径公式：(

1

(,0)Fc,

2

(,0)Fc）当

00

(,)Mxy在右支上时，

10

||MFexa,

20

||MFexa；当

00

(,)Mxy在左支上时，

10

||MFexa,

20

||MFexa。

9、设过双曲线焦点F作直线与双曲线相交P、Q两点，A为双曲线长轴上一个顶点，连结AP和AQ

分别交相应于焦点F的双曲线准线于M、N两点，则MF⊥NF.

10、过双曲线一个焦点F的直线与双曲线交于两点P、Q,A1、A2为双曲线实轴上的顶点，A1P和A2Q

交于点M，A2P和A1Q交于点N，则MF⊥NF.

11、AB是双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的不平行于对称轴的弦，M),(

00

yx为AB的中点，则

0

2

0

2

ya

xb

KK

ABOM

，即

0

2

0

2

ya

xb

K

AB

。

⑨

12、若

000

(,)Pxy在双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）内，则被Po所平分的中点弦的方程是

22

0000

2222

xxyyxy

abab

.

13、若

000

(,)Pxy在双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）内，则过Po的弦中点的轨迹方程是22

00

2222

xxyy

xy

abab

.

【推论】：

1、双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的两个顶点为

1

(,0)Aa,

2

(,0)Aa，与y轴平行的直线交双曲线于P1、P2

时A1P1与A2P2交点的轨迹方程是22

22

1

xy

ab

.

2、过双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞o）上任一点

00

(,)Axy任意作两条倾斜角互补的直线交双曲线于B,C两

点，则直线BC有定向且2

0

2

0

BC

bx

k

ay

（常数）.

3、若P为双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）右（或左）支上除顶点外的任一点,F1,F2是焦点,

12

PFF,

21

PFF，则tant

22

ca

co

ca







（或tant

22

ca

co

ca







）.

4、设双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的两个焦点为F1、F2,P（异于长轴端点）为双曲线上任意一点，

在△PF1F2中，记

12

FPF,

12

PFF,

12

FFP，则有

sin

(sinsin)

c

e

a









.

5、若双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的左、右焦点分别为F1、F2，左准线为L，则当1＜e≤21时，

可在双曲线上求一点P，使得PF1是P到对应准线距离d与PF2的比例中项.

6、P为双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）上任一点,F1,F2为二焦点，A为双曲线内一定点，则

21

||2||||AFaPAPF,当且仅当

2

,,AFP三点共线且P和

2

,AF在y轴同侧时，等号成立.

7、双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）与直线0AxByC有公共点的充要条件是22222AaBbC.

8、已知双曲线22

22

1

xy

ab

（b＞a＞0），O为坐标原点，P、Q为双曲线上两动点，且OPOQ.

（1）

2222

1111

||||OPOQab

;（2）|OP|2+|OQ|2的最小值为22

22

4ab

ba

;（3）

OPQ

S



的最小值是22

22

ab

ba

.

9、过双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的右焦点F作直线交该双曲线的右支于M,N两点，弦MN的垂

直平分线交x轴于P，则

||

||2

PFe

MN

.

10、已知双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）,A、B是双曲线上的两点，线段AB的垂直平分线与x轴相交

于点

0

(,0)Px,则22

0

ab

x

a



或22

0

ab

x

a



.

⑩

11、设P点是双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）上异于实轴端点的任一点,F1、F2为其焦点记

12

FPF，

则(1)2

12

2

||||

1cos

b

PFPF







.(2)

12

2cot

2PFF

Sb





.

12、设A、B是双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的长轴两端点，P是双曲线上的一点，PAB,

PBA,BPA，c、e分别是双曲线的半焦距离心率，则有(1)2

222

2|cos|

||

|s|

ab

PA

acco









.

(2)2tantan1e.(3)22

22

2

cot

PAB

ab

S

ba









.

13、已知双曲线22

22

1

xy

ab

（a＞0,b＞0）的右准线l与x轴相交于点E，过双曲线右焦点F的直线与双

曲线相交于A、B两点,点C在右准线l上，且BCx轴，则直线AC经过线段EF的中点.

14、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线，与以长轴为直径的圆相交，则相应交点与相应焦点的

连线必与切线垂直.

15、过双曲线焦半径的端点作双曲线的切线交相应准线于一点，则该点与焦点的连线必与焦半径互

相垂直.

16、双曲线焦三角形中,外点到一焦点的距离与以该焦点为端点的焦半径之比为常数e(离心率).

(注:在双曲线焦三角形中,非焦顶点的内、外角平分线与长轴交点分别称为内、外点).

17、双曲线焦三角形中,其焦点所对的旁心将外点与非焦顶点连线段分成定比e.

18双曲线焦三角形中,半焦距必为内、外点到双曲线中心的比例中项.

三、抛物线的常用结论：

①xcbyay2顶点)

24

4

(

2

a

b

a

bac



.

②)0(22ppxy则焦点半径

2

P

xPF;)0(22ppyx则焦点半径为

2

P

yPF.

③通径为2p，这是过焦点的所有弦中最短的.

④pxy22（或pyx22）的参数方程为











pty

ptx

2

22（或











22

2

pty

ptx）（t为参数）.