单调有界准则
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2023年2月26日发(作者：六角法兰面螺栓)第1页共12页
高等数学上册知识点
一、函数与极限
（一）函数
1、函数定义及性质（有界性、单调性、奇偶性、周期性）；
2、反函数、复合函数、函数的运算；
3、初等函数：幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲函
数、反双曲函数；
4、函数的连续性与间断点；（重点）
函数
)(xf
在
0
x
连续
)()(lim
0
0
xfxf
xx
第一类：左右极限均存在.
间断点可去间断点、跳跃间断点
第二类：左右极限、至少有一个不存在.
无穷间断点、振荡间断点
5、闭区间上连续函数的性质：有界性与最大值最小值定理、零点定理（重点）、
介值定理及其推论.
（二）极限
1、定义
1）数列极限
axNnNax
nn
n
,,,0lim
2）函数极限
AxfxxxAxf
xx
)(0,,0,0)(lim
0
0
时，当
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左极限：
)(lim)(
0
0
xfxf
xx
右极限：
)(lim)(
0
0
xfxf
xx
)()()(lim
00
0
xfxfAxf
xx
存在
2、极限存在准则
1）夹逼准则：
1）
)(
0
nnzxy
nnn
2）
azy
n
n
n
n
limlim
ax
n
n
lim
2）单调有界准则：单调有界数列必有极限.
3、无穷小（大）量
1）定义：若
lim0
则称为无穷小量；若
lim
则称为无穷大量.
2）无穷小的阶：高阶无穷小、同阶无穷小、等价无穷小、
k
阶无穷小
Th1
)(~o
;
Th2
limlimlim,~,~存在，则
（无穷小代换）
4、求极限的方法
1）单调有界准则；
2）夹逼准则；
3）极限运算准则及函数连续性；
4）两个重要极限：（重点）
a)
1
sin
lim
0
x
x
x
b)
e
x
xx
x
x
x
)
1
1(lim)1(lim
1
0
5）无穷小代换：（
0x
）（重点）
a)
xxxxxarctan~arcsin~tan~sin~
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b)
2
2
1
~cos1xx
c)
xex~1
（
axaxln~1
）
d)
xx~)1ln(
（
a
x
x
aln
~)1(log
）
e)
xx~1)1(
二、导数与微分
（一）导数
1、定义：
0
0
0
)()(
lim)(
0xx
xfxf
xf
xx
左导数：
0
0
0
)()(
lim)(
0xx
xfxf
xf
xx
右导数：
0
0
0
)()(
lim)(
0xx
xfxf
xf
xx
函数
)(xf
在
0
x
点可导
)()(
00
xfxf
2、几何意义：
)(
0
xf
为曲线
)(xfy
在点)(,
00
xfx
处的切线的斜率.
3、可导与连续的关系：
4、求导的方法
1）导数定义；（重点）
2）基本公式；
3）四则运算；
4）复合函数求导（链式法则）；（重点）
5）隐函数求导数；（重点）
6）参数方程求导；（重点）
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7）对数求导法.（重点）
5、高阶导数
1）定义：
dx
dy
dx
d
dx
yd
2
2
2）Leibniz公式：
n
k
knkk
n
nvuCuv
0
)()(
)(
（二）微分
1）定义：
)()()(
00
xoxAxfxxfy
，其中
A
与
x
无关.
2）可微与可导的关系：可微
可导，且
dxxfxxfdy)()(
00
三、微分中值定理与导数的应用
（一）中值定理
1、Rolle定理：（重点）若函数
)(xf
满足：
1）
],[)(baCxf
；2）
),()(baDxf
；3）
)()(bfaf
；
则
0)(),,(
fba使
.
2、Lagrange中值定理：若函数
)(xf
满足：
1）
],[)(baCxf
；2）
),()(baDxf
；
则
))(()()(),,(abfafbfba
使
.
3、Cauchy中值定理：若函数
)(),(xFxf
满足：
1）
],[)(),(baCxFxf
；2）
),()(),(baDxFxf
；3）
),(,0)(baxxF
则
)(
)(
)()(
)()(
),,(
F
f
aFbF
afbf
ba
使
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（二）洛必达法则（重点）
（三）Taylor公式（不考）
（四）单调性及极值
1、单调性判别法：（重点）
],[)(baCxf
，
),()(baDxf
，则若
0)(
xf
，
则
)(xf
单调增加；则若
0)(
xf
，则
)(xf
单调减少.
2、极值及其判定定理：
a)必要条件：
)(xf
在
0
x
可导，若
0
x
为
)(xf
的极值点，则
0)(
0
xf
.
b)第一充分条件：（重点）
)(xf
在
0
x
的邻域内可导，且
0)(
0
xf
，
c)则①若当
0
xx
时，
0)(
xf
，当
0
xx
时，
0)(
xf
，则
0
x
为极大值
点；②若当
0
xx
时，
0)(
xf
，当
0
xx
时，
0)(
xf
，则
0
x
为极小
值点；③若在
0
x
的两侧
)(xf
不变号，则
0
x
不是极值点.
d)第二充分条件：（重点）
)(xf
在
0
x
处二阶可导，且
0)(
0
xf
，
0)(
0
xf
，
e)则①若
0)(
0
xf
，则
0
x
为极大值点；②若
0)(
0
xf
，则
0
x
为极小值
点.
3、凹凸性及其判断，拐点
1）
)(xf
在区间I上连续，若
2
)()(
)
2
(,,2121
21
xfxfxx
fIxx
，则称
)(xf
在
区间I上的图形是凹的；若
2
)()(
)
2
(,,2121
21
xfxfxx
fIxx
，则称
)(xf
在
区间I上的图形是凸的.
2）判定定理（重点）：
)(xf
在
],[ba
上连续，在
),(ba
上有一阶、二阶导数，则
a)若
0)(),,(
xfbax
,则
)(xf
在
],[ba
上的图形是凹的；
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b)若
0)(),,(
xfbax
,则
)(xf
在
],[ba
上的图形是凸的.
3）拐点：设
)(xfy
在区间I上连续，
0
x
是
)(xf
的内点，如果曲线
)(xfy
经
过点
))(,(
00
xfx
时，曲线的凹凸性改变了，则称点
))(,(
00
xfx
为曲线的拐点.
（五）不等式证明
1、利用微分中值定理；
2、利用函数单调性；（重点）
3、利用极值（最值）.
（六）方程根的讨论
1、连续函数的介值定理；
2、Rolle定理；
3、函数的单调性；
4、极值、最值；
5、凹凸性.
（七）渐近线
1、铅直渐近线：
)(limxf
ax
，则
ax
为一条铅直渐近线；
2、水平渐近线：
bxf
x
)(lim
，则
by
为一条水平渐近线；
3、斜渐近线：
k
x
xf
x
)(
lim
bkxxf
x
])([lim
存在，则
bkxy
为一条斜
渐近线.
（八）图形描绘
四、不定积分
（一）概念和性质
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1、原函数：在区间I上，若函数
)(xF
可导，且
)()(xfxF
，则
)(xF
称为
)(xf
的一个原函数.（重点）
2、不定积分：在区间I上，函数
)(xf
的带有任意常数的原函数称为
)(xf
在
区间I上的不定积分.
3、基本积分表（P188，13个公式）；（重点）
4、性质（线性性）.
（二）换元积分法（重点）
1、第一类换元法（凑微分）：
)(
)(d)()]([
xu
duufxxxf
2、第二类换元法（变量代换）：
)(
1
d)()]([)(
xt
tttfdxxf
（三）分部积分法：vduuvudv
（重点）
（四）有理函数积分
1、“拆”；
2、变量代换（三角代换、倒代换、根式代换等）.
五、定积分
（一）概念与性质：
1、定义：
n
i
ii
b
a
xfdxxf
1
0
)(lim)(
2、性质：（7条）
性质7（积分中值定理）函数
)(xf
在区间
],[ba
上连续，则
],[ba
，使
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))(()(abfdxxfb
a
（平均值：
ab
dxxf
f
b
a
)(
)(
）
（二）微积分基本公式（N—L公式）（重点）
1、变上限积分：设x
a
dttfx)()(
，则
)()(xfx
推广：
)()]([)()]([)()(
)(
xxfxxfdttf
dx
dx
x
2、N—L公式：若
)(xF
为
)(xf
的一个原函数，则
)()()(aFbFdxxfb
a
（三）换元法和分部积分（重点）
1、换元法：
tttfdxxfb
a
d)()]([)(
2、分部积分法：
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
（四）反常积分
1、无穷积分：
t
a
t
a
dxxfdxxf)(lim)(
b
t
t
bdxxfdxxf)(lim)(
0
0)()()(dxxfdxxfdxxf
2、瑕积分：
b
t
at
b
a
dxxfdxxf)(lim)(
（a为瑕点）
t
a
bt
b
a
dxxfdxxf)(lim)(
（b为瑕点）
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两个重要的反常积分：
1)
1,
1
1,
d
1
p
p
a
p
x
x
p
a
p
2)
1,
1,
1
)(
)(
d
)(
d
1
q
q
q
ab
xb
x
ax
x
q
b
a
q
b
a
q
六、定积分的应用
（一）平面图形的面积
1、直角坐标：b
a
dxxfxfA)]()([
12
（重点）
2、极坐标：
dA)]()([
2
1
2
1
2
2
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（二）体积
1、旋转体体积：（重点）
a)曲边梯形
xbxaxxfy,,),(
轴，绕
x
轴旋转而成的旋转体的体积：
b
a
x
dxxfV)(2
b)曲边梯形
xbxaxxfy,,),(
轴，绕
y
轴旋转而成的旋转体的体积：
b
a
y
dxxxfV)(2
（柱壳法）
2、平行截面面积已知的立体：b
a
dxxAV)(
（三）弧长
1、直角坐标：
b
a
dxxfs2)(1
2、参数方程：
dttts22)()(
3、极坐标：
ds22)()(
七、微分方程
（一）概念
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1、微分方程：表示未知函数、未知函数的导数及自变量之间关系的方程.
阶：微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数.
2、解：使微分方程成为恒等式的函数.
通解：方程的解中含有任意的常数，且常数的个数与微分方程的阶数相同.
特解：确定了通解中的任意常数后得到的解.
（二）变量可分离的方程（重点）
dxxfdyyg)()(
，两边积分dxxfdyyg)()(
（三）齐次型方程
)(
x
y
dx
dy
，设
x
y
u
，则
dx
du
xu
dx
dy
；
或
)(
y
x
dy
dx
，设
y
x
v
，则
dy
dv
yv
dy
dx
（四）一阶线性微分方程（重点）
)()(xQyxP
dx
dy
用常数变易法或用公式：
CdxexQeydxxPdxxP)()()(
（五）可降阶的高阶微分方程
1、
)()(xfyn
，两边积分n次；
2、
),(yxfy
（不显含有
y
），令
py
，则
py
；
3、
),(yyfy
（不显含有
x
），令
py
，则
dy
dp
py
（六）线性微分方程解的结构
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1、
21
,yy
是齐次线性方程的解，则
2211
yCyC
也是；
2、
21
,yy
是齐次线性方程的线性无关的特解，则
2211
yCyC
是方程的通解；
3、
*
2211
yyCyCy
为非齐次方程的通解，其中
21
,yy
为对应齐次方程的
线性无关的解，
*y
非齐次方程的特解.
（七）常系数齐次线性微分方程（重点）
二阶常系数齐次线性方程：
0
qyypy
特征方程：
02qprr
，特征根：
21
,rr
特征根通解
实根
xrxreCeCy21
21
2
21
prrxrexCCy1)(
21
ir
,
21
)sincos(
21
xCxCeyx
（八）常系数非齐次线性微分方程
)(xfqyypy
1、
)()(xPexf
m
x
（重点）
设特解
)(*xQexy
m
xk
，其中
是重根
是一个单根
不是特征根
,λ
,λ
,λ
k
2
1
0
2、xxPxxPexf
nl
xsin)(cos)()(
设特解xxRxxRexy
mm
xksin)(cos)()2()1(*
，
其中
},max{nlm
，
是特征根
不是特征根
i
i
k
,1
,0
21
rr
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