分式函数的图像及性质

2024年3月12日发(作者：)

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高一数学选修课系列讲座（一）

-----------------分式函数的图像与性质

一、概念提出

1、分式函数的概念

ax2bxcx212x14x1(a,b,c,d,e,fR)的函数称为分式函数。如y2形如y2，y，y等。

dxexfx2xxx32、分式复合函数

a[f(x)]2bf(x)c22x1sinx2(a,b,c,d,e,fR)y形如y的函数称为分式复合函数。如，，yd[f(x)]2ef(x)f12x3sinx3x12等。

x3二、学习探究

y探究任务一：函数yax问题1：yb(ab0)的图像与性质

xaxb(a,b,c,dR)的图像是怎样的？

cxd2x1例1画出函数y的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

x1

小结：yaxb(a,b,c,dR)的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”cxd的处理方法。

分式函数yaxb(a,b,c,dR)的图像与性质：

cxd（1）定义域： ；（2）值域：；

（3）单调性：单调区间为；

（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；

（5）奇偶性：当时为奇函数；

（6）图象：如图所示

. 可修编-

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yyOxOx

b(ab0)的图像是怎样的？

x11例2、根据yx与y的函数图像，绘制函数yx的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

xx问题2：yax

小结：分式函数yaxb(a,b0)的图像与性质：

xyyax2ab（1）定义域：；（2）值域：；

（3）奇偶性：；

（4）单调性：在区间上是增函数，

在区间上为减函数；

（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；

（6）图象：如右图所示

例3、根据yx与ybaOba2abx11的函数图像，绘制函数yx的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

xx

11与yx的图像又是怎样的呢？

xx12b思考y2x+与y3x的图像是怎样的呢？yax(a,bR,ab0)的图像呢？

xxxb小结：yax(a,bR,ab0)的图像如下：

xby（i）yax(a0,b0)(ii)

yyaxxyax结合刚才的两个例子，思考yx . 可修编-

OxOx

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bbyax(a0,b0)(iii)

yax(a0,b0)

xx

Oyyax

x

(iv)

yaxb(a0,b0)

x

yyaxOx

byax(a,bR,ab0)的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

x

ax2bxc(a,b,c,d,e,fR)的图像与性质 探究任务二：函数y2dxexf2x2x1问题3：例4 函数y的图像是怎样的？单调区间如何？

x1

x1的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？

22xx1ax2bxc(a,b,c,d,e,fR)而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方小结：对于分式函数y2dxexf思考：函数y法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

yx111(x1)

2x2x12x2x12(x1)23x1x1 . 可修编-

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巩固练习：

1、若x,yR,xyy3,则xy的最小值是；

3x的值域是；

x24ax22x1,x1,单调递减，则实数a的取值围是；

3、已知f(x)x2、函数y4、不等式x5、不等式x2a0的在1,2有实数解，则实数a的取值围是；

x2a0的在1,2恒成立，则实数a的取值围是；

x6、已知f(x)xa在区间[2,3)单调递减，求a的取值围是；

xx2x7、函数y2的值域是

xx18、定义在R上函数f(x)，集合Aaa为实数，且对于任意xR,f(x)a恒成立，且存在常数mA，对于2x1任意nA，均有mn成立，则称m为函数f(x)在R上的“定下界”．若f(x)，则函数f(x)在R上12x的“定下界”m__________．

9、设f(x)xa,x[0,+)．

x1（1）当a（2）当a(0,1)时，判断f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值。

4时，求f(x)的最小值；

10、已知函数f(x)2xa的定义域为0,2（a为常数）.

x（1）证明：当a8时，函数yf(x)在定义域上是减函数；

（2）求函数yf(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值。

. 可修编-

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11、（1）若函数f(x)logax（2）若函数f(x)logax

12、已知函数yxa4,(a0,a1)的定义域为R，数a的取值围；

xa4,(a0,a1)的值域为R，数a的取值围。

xa有如下性质：如果常数a0,那么该函数在(0,a]上是减函数，

x在[a,)上是增函数。

2b（1）如果函数yx在(0,4]上是减函数, 在[4,)上是增函数，常数b的值；

x（2）设常数c[1,4]，求函数yx

c(1x2)的最大值和最小值。

x

分式函数的图像与性质

一、概念提出

1、分式函数的概念

ax2bxcx212x14x1(a,b,c,d,e,fR)的函数称为分式函数。如y2形如y2，y，y等。

dxexfx2xxx32、分式复合函数

a[f(x)]2bf(x)c22x1sinx2(a,b,c,d,e,fR)y形如y的函数称为分式复合函数。如，，y2xd[f(x)]ef(x)f123sinx3yx12等。

x3

. 可修编-

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二、学习探究

探究任务一：函数yax问题1：yb(ab0)的图像与性质

xaxb(a,b,c,dR)的图像是怎样的？

cxd2x1例1、画出函数y的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

x12x12(x1)112x11【分析】y的图像可以经由函数y的图像向右平移12，即函数yx1x1x1x1x个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

y由此可以画出函数y1右111上2yy2

xx1x1y2x1的图像，如下：

x1yOy21xOxO单调减区间：(,1),(1,)；

值域：(,2)1x

(2,)；

对称中心：(1,2)。

axb(a,b,c,dR)的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？

cxdaxb【小结】y可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”(a,b,c,dR)的图像的绘制，cxd【反思】y的处理方法。

axb(a,b,c,dR)的图像与性质

cxdd（1）定义域：{x|x} ；

ca（2）值域：{y|y}；

cdd（3）单调性：单调区间为(,),(,+)；

ccdada（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x,y，对称中心为点(,)；

cccc（5）奇偶性：当ad0时为奇函数；

分式函数y（6）图象：如图所示

. 可修编-

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yyO

xOx

b(ab0)的图像是怎样的？

x11例2、根据yx与y的函数图像，绘制函数yx的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

xx问题2：yax【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。

解：函数的定义域为：{x|x0}；

根据单调性定义，可以求出yx增区间：(,1][1,)

减区间：[1,0),(0,1]

函数的值域为：(,2][2,)

函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：yx,x0

函数的图像如下：

1的单调区间

xyyxO1yx

yyxOx

x

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？

【小结】分式函数yaxb(a,b0)的图像与性质：

x（1）定义域：{x|x0}；

（2）值域：{y|y2ab,或y2ab}；

. 可修编-

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（3）奇偶性：奇函数；

（4）单调性：在区间(,在区间(0,bb][,+)上是增函数，

aabb],[,0)上为减函数；

aa（5）渐近线：以y轴和直线yax为渐近线；

（6）图象：如右图所示

yyax2abbaOba2abx

11的函数图像，绘制函数yx的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。

xx1【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出yx的图像

x解：函数的定义域为：{x|x0}；

1根据单调性定义，可以判断出yx的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)

x例3、根据yx与y

函数的值域为：R

函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：yx,x0

函数的图像如下：

yyxOy

【反思】结合刚才的两个例子，yxyxOx1x

1112与yx的图像又是怎样的呢？思考y2x+与y3x的xxxx . 可修编-

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图像是怎样的呢？yax函数yxb(a,bR,ab0)的图像呢？

x1的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

xyyyxOxyxy【注】yx1xOx111(x)，由于yf(x)与yf(x)的图像关于x轴对称，所以还可以根据yx的xxx111图像，对称的画出yx的图像。同样的道理yx的图像与yx的图像关于x轴对称，所以图像xxx如下：

yyx1xyy1xxOxOx

【小结】yax（i）yaxb(a,bR,ab0)的图像如下：

xb(a0,b0)

xyyaxOx

(ii)

yaxb(a0,b0)

x . 可修编-

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yyaxOx

(iii)

yax

b(a0,b0)

xyyaxOx

(iv)

yaxb(a0,b0)[来源:学+科+网Z+X+X+K]

xyyaxOxbyax(a,bR,ab0)的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

x

ax2bxc(a,b,c,d,e,fR)的图像与性质 探究任务二：函数y2dxexf2x2x1问题3：函数y的图像是怎样的？单调区间如何？

x1 . 可修编-

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2x2x12(x1)23(x1)222(x1)3 【分析】yx1x1x12x2x12左12下3y

y2xy2(x1)x1xx12x2x12所以y的图像与y2x的图像形状完全相同，只是位置不同。

x1x图像的对称中心为：(1,3)

单调增区间为：(,2][0,)

单调减区间为：[2,1),(1,0]

值域：(,7][1,)

图像如下：

y121O37x

x1的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？

22xx1ax2bxc(a,b,c,d,e,fR)而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的【小结】对于分式函数y2dxexf【反思】函数y方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

yx111(x1)

2222xx12xx12(x1)3x1x1

. 可修编-

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例1、若x,yR,xyxy3则xy的最小值是__________．

x3解：由xyxyx(x1)y3，得y[来源:]

x1x3(x1)444xyxxx1x122

x1x1x1x14【注】此处可以借助函数yt2(tx1)的图像与性质

t【变式】若x,yR,且xyxy3，求xy的取值围.

x24x12,x2,5的值域.

例2、求函数f(x)x1x24x12(x1)22(x1)99=x12，令tx1，则 解：f(x)x1x1x199f(t)t2,t[1,4]，结合yt图像与性质，可知当t[1,3]时函数单调递减，当t[3,4]时函数单调tt17递增，又f(1)8,f(3)4,f(4)，所以f(x)[4,8]

4【注】“换元”后必须注意新元的围。“换元法”是转化思想的一个非常重要的途径。

【变式】求函数f(x)x1,x2,5的值域.

x24x12

例3、已知f(x)xa在区间[2,)单调递增，求a的取值围.

x【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.

解：当a0时，f(x)x在区间[2,)显然单调递增；

a的图像与性质，可知函数在区间[2,)单调递增

x当a0时f(x)在区间[a,)单调递增，所以a2，所以a(0,4]

综上所述，实数a的取值围为(,4].

a【变式】已知f(x)x在区间[2,3)单调递减，求a的取值围.

x当a0时，结合f(x)x

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1、若x,yR,xyy3,则xy的最小值是________．

3x的值域是________．

x24ax22x1,x1,单调递减，数a的取值围。[来源:学|科|网]

3、已知f(x)x2、函数y4、（1）若函数f(x)logaxa4,(a0,a1)的定义域为R，数a的取值围；

xa4,(a0,a1)的值域为R，数a的取值围。

x（2）若函数f(x)logax

5、设f(x)xa,x[0,+)．

x1（1）当a4时，求f(x)的最小值；

f(x)的单调性，并写出f(x)的最小值。

（2）当a(0,1)时，判断

2、不等式x3、不等式x2a0的在1,2有实数解，则实数a的取值围________．

x2a0的在1,2恒成立，则实数a的取值围________．

xx2x4、函数y2的值域是________．

xx15、定义在R上函数f(x)，集合Aaa为实数，且对于任意xR,f(x)a恒成立，且存在常数mA，对于任意nA，均有mn成立，则称m为函数f(x)在R上的“定下界”．

2x1若f(x)，则函数f(x)在R上的“定下界”m__________．

x12

7、已知函数f(x)2xa的定义域为0,2（a为常数）.

x（1）证明：当a8时，函数yf(x)在定义域上是减函数；

（2）求函数yf(x)在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x的值．

. 可修编-

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8、【06年】已知函数yxa有如下性质：如果常数a0,那么该函数在(0,a]上是减函数, 在[a,)上是增函数.

x2b（1）如果函数yxx在(0,4]上是减函数, 在[4,)上是增函数,常数b的值；

cyx(1x2)的最大值和最小值；

xcn（3）当n是正整数时, 研究函数yxn(c0)的单调性,并说明理由.

x（2）设常数c[1,4]，求函数

9、【08年】已知函数（1）若f(x)2x12|x|。

f(x)2，求x的值；

t（2）若2f(2t)mf(t)0对于t[1,2]恒成立，数m的取值围。

10、【11年虹口】对于定义域为D的函数①yf(x)，如果存在区间[m,n]D，同时满足：

f(x)在[m,n]是单调函数；

②当定义域是[m,n]时，（1）求证：函数f(x)的值域也是[m,n]．则称[m,n]是该函数的“和谐区间”．

yg(x)35不存在“和谐区间”．

x(a2a)x1（2）已知函数y（aR,a0）有“和谐区间”[m,n]，当a变化时，求出nm的最大值．

a2x（3）易知，函数yx是以任一区间[m,n]为它的“和谐区间”．试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区yx及形如ybxcax的函数为例）

间”．（不需证明，但不能用本题已讨论过的

. 可修编-