直线的参数方程

直线的参数方程

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乐恩特教育个性化教学辅导教案

课题直线的参数方程的几何意义

教学目标

要求

与直线的参数方程有关的典型例题

教学重难点

分析

与直线的参数方程有关的典型例题

教学过程

知识要点概述

过定点),(

000

yxM、倾斜角为的直线l的参数方程为















sin

cos

0

0

tyy

txx

（t为参数），

其中t表示直线l上以定点

0

M为起点，任意一点M（x，y）为终点的有向线段MM

0

的数

量，

的几何意义是直线上点到M的距离.此时,若t>0,则的方向向上;若t<0,则

的方向向下;若t=0,则点与点M重合.

由此，易得参数t具有如下的性质：若直线l上两点A、B所对应的参数分别为

BA

tt,，则

性质一：A、B两点之间的距离为||||

BA

ttAB，特别地，A、B两点到

0

M的距离

分别为.|||,|

BA

tt

性质二：A、B两点的中点所对应的参数为

2

BA

tt

，若

0

M是线段AB的中点，则

0

BA

tt，反之亦然。

精编例题讲练

一、求直线上点的坐标

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例1．一个小虫从P（1，2）出发，已知它在x轴方向的分速度是−3，在y轴方向的分

速度是4，问小虫3s后的位置Q。

分析：考虑t的实际意义，可用直线的参数方程





x=x

0

+at，

y=y

0

+bt

(t是参数)。

解：由题意知则直线PQ的方程是





x=1−3t，

y=2+4t

，其中时间t是参数，将t=3s代入得Q

（−8，12）。

例2．求点A（−1，−2）关于直线l：2x−3y+1=0的对称点A'的坐标。

解：由条件，设直线AA'的参数方程为





x=−1−

2

13

t，

y=−2+

3

13

t

(t是参数)，

∵A到直线l的距离d=

5

13

，∴t=AA'=

10

13

，

代入直线的参数方程得A'(−

33

13

，

4

13

)。

点评：求点关于直线的对称点的基本方法是先作垂线，求出交点，再用中点公式，而此

处则是充分利用了参数t的几何意义。

二求定点到过定点的直线与其它曲线的交点的距离

例1.设直线经过点(1,5),倾斜角为,

1)求直线和直线的交点到点的距离;

2)求直线和圆的两个交点到点的距离的和与积.

解:直线的参数方程为(t为参数)

1)将直线的参数方程中的x,y代入,得t=.所以,直线

和直线的交点到点的距离为

2)将直线的方程中的x,y代入,得设此方程的

两根为,则==10.可知均为负值,所以

=

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点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的

异同。

三求直线与曲线相交的弦长

例1过抛物线的焦点作斜角为的直线与抛物线交于A、B两点，求|AB|.

解因直线的倾角为，则斜率为－1，又抛物线的焦点为F(1，0)，则可设AB的方

程为

(为参数)

代入整理得

由韦达定理得t1＋t2=，t1t2=－16。

∴===.

例2已知直线L:x+y-1=0与抛物线y=交于A,B两点,求线段AB的长和点M(-1,2)到

A,B两点的距离之积.

解:因为直线L过定点M,且L的倾斜角为,所以它的参数方程是

(t为参数)

即(t为参数)

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把它代入抛物线的方程,得

解得

由参数t的几何意义得

点评:本题的解答中,为了将普通方程化为参数方程,先判定点M(-1,2)在直线上,并求出直线的

倾斜角,这样才能用参数t的几何意义求相应的距离.这样的求法比用普通方程求出交点坐标,

再用距离公式求交点距离简便一些.

四、求解中点问题

例1,已知经过点P(2,0),斜率为的直线和抛物线相交于A,B两点,设线段AB

的中点为M,求点M的坐标.

解:设过点P(2,0)的直线AB的倾斜角为,由已知可得:

cos,

所以,直线的参数方程为(t为参数)

代入,整理得

中点M的相应的参数是=

所以点M的坐标为

点评:在直线的参数方程中,当t>0,则的方向向上;当t<0,则的方向向下,所以A,B

中点的M所对应的t的值等于,这与二点之点的中点坐标有点相同.

例2．已知双曲线x2−

y2

2

=1，过点P（2，1）的直线交双曲线于P

1

，P

2

，求线段P

1

P

2

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的中点M的轨迹方程。

分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t

1

+t

2

=0。

解：设M(x

0

，y

0

)为轨迹上任一点，则直线P

1

P

2

的方程是





x=x

0

+tcosθ，

y=y

0

+tsinθ

(t是参数)，代

入双曲线方程得：(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x

0

cosθ−y

0

sinθ)t+(2x

0

2−y

0

2−2)=0，

由题意t

1

+t

2

=0，即2x

0

cosθ−y

0

sinθ=0，得tanθ=

2x

0

y

0

。

又直线P

1

P

2

的斜率k=tanθ=

y−y

0

x−x

0

，点P（2，1）在直线P

1

P

2

上，

∴

1−y

0

2−x

0

=

2x

0

y

0

，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。

五,求点的轨迹问题

例1．已知双曲线，过点P（2，1）的直线交双曲线于P

1

，P

2

，求线段P

1

P

2

的中点M

的轨迹方程。

分析：中点问题与弦长有关，考虑用直线的参数方程，并注意有t

1

+t

2

=0。

解：设M(x

0

，y

0

)为轨迹上任一点，则直线P

1

P

2

的方程是(t是参数)，代入双曲线方程得：

(2cos2θ−sin2θ)t2+2(2x

0

cosθ−y

0

sinθ)t+(2x

0

2−y

0

2−2)=0，

由题意t

1

+t

2

=0，即2x

0

cosθ−y

0

sinθ=0，得。

又直线P

1

P

2

的斜率，点P（2，1）在直线P

1

P

2

上，

∴，即2x2−y2−4x+y=0为所求的轨迹的方程。

六、求定点到动点的距离

例1．直线l过点P(1，2)，其参数方程为





x=1−t，

y=2+t

(t是参数)，直线l与直线2x+y−2=0

交于点Q，求PQ。

解：将直线l的方程化为标准形式





x=1−

2

2

t'，

y=2+

2

2

t'

，代入2x+y−2=0得t'=

32

2

，

∴PQ=|t'|=

32

2

。

点评：题目给出的直线的参数并不是位移，直接求解容易出错，一般要将方程改成以位

移为参数的标准形式。

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例2．经过点P(−1，2)，倾斜角为



4

的直线l与圆x2+y2=9相交于A，B两点，求

PA+PB和PA·PB的值。

解：直线l的方程可写成





x=−1+

2

2

t，

y=2+

2

2

t

，代入圆的方程整理得：t2+2t−4=0，设点A，

B对应的参数分别是t

1

，t

2

，则t

1

+t

2

=−2，t

1

·t

2

=−4，由t

1

与t

2

的符号相反知PA+PB=|t

1

|

+|t

2

|=|t

1

−t

2

|=(t

1

+t

2

)2−4t

1

·t

2

=32，PA·PB=|t

1

·t

2

|=4。

点评：解决本题的关键一是正确写出直线的参数，二是注意两个点对应的参数的符号的

异同。

七、求直线与曲线相交弦的长

例1．已知抛物线y2=2px，过焦点F作倾斜角为θ的直线交抛物线于A，B两点，求证：

AB=

2p

sin2θ

。

分析：弦长AB=|t

1

−t

2

|。

解：由条件可设AB的方程为







x=

p

2

+tcosθ，

y=tsinθ

(t是参数)，代入抛物线方程，

得t2sin2θ−2ptcosθ−p2=0，由韦达定理：





t

1

+t

2

=

2pcosθ

sin2θ

，

t

1

·t

2

=−

p2

sin2θ

，

∴AB=|t

1

−t

2

|=(t

1

−t

2

)2−4t

1

·t

2

=

4p2cos2θ

sin4θ

+

4p2

sin2θ

=

2p

sin2θ

。

例2．已知椭圆的中心在原点，焦点在x轴上，过椭圆左焦点F且倾斜角为60°的直线

交椭圆于A，B两点，若FA=2FB，求则椭圆的离心率。

分析：FA=2FB转化成直线参数方程中的t

1

=−2t

2

或|t

1

|=2|t

2

|。

解：设椭圆方程为

x2

a2+

y2

b2=1，左焦点F

1

（c，0），直线AB的方程为





x=−c+

1

2

t，

y=

3

2

t

，

代入椭圆整理可得：(

1

4

b2+

3

4

a2)t2−b2ct−b4=0，由于t

1

=−2t

2

，则

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



t

1

+t

2

=

b2c

1

4

b2+

3

4

a2

=−t

2

①，

t

1

·t

2

=−

−b4

1

4

b2+

3

4

a2

=−2t

2

2②

，①2×2+②得：2c2=

1

4

b2+

3

4

a2，将b2=a2−c2代入，

8c2=3a2+a2−c2，得e2=

c2

a2=

4

9

，故e=

2

3

。

在研究线段的长度或线段与线段之间的关系时，往往要正确写出直线的参数方程，利用

t的几何意义，结合一些定理和公式来解决问题，这是直线参数的主要用途；通过直线参数

方程将直线上动点坐标用同一参变量t来表示，可以将二元问题转化为一元问题来求解，

体现了等价转化和数形结合的数学思想。

知识巩固训练

应用一：求距离

例1、直线l过点)0,4(

0

P，倾斜角为

6



，且与圆722yx相交于A、B两点。

（1）求弦长AB.

（2）求AP

0

和

BP

0

的长。

应用二：求点的坐标

例2、直线l过点

)4,2(

0

P，倾斜角为

6



，求出直线l上与点

)4,2(

0

P相距为4的点的坐

标。

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应用三：解决有关弦的中点问题

例3、过点)0,1(

0

P，倾斜角为

4



的直线l和抛物线xy22相交于A、B两点，求线段

AB的中点M点的坐标。

教师课

后小结

签字

教学主任：教学组长：学生/家长：

解：因为直线l过点

)0,4(

0

P，倾斜角为

6



，所以直线l的参数方程为



















6

sin0

6

cos4





ty

tx

，即



















ty

tx

2

1

2

3

4

，（t为参数），代入圆方程，得

7)

2

1

()

2

3

4(22tt，整理得

09342tt

（1）设A、B所对应的参数分别为

21

,tt，所以

34

21

tt

，9

21

tt，

所以||||

21

ttAB.324)(

21

2

21

tttt

（2）解方程

09342tt

得，

3,33

21

tt

，

所以

AP

0

33||

1

t，BP

0

.3||

2

t

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解：因为直线l过点)4,2(

0

P，倾斜角为

6



，所以直线l的参数方程为



















6

sin4

6

cos2





ty

tx

，即



















ty

tx

2

1

4

2

3

2

，（t为参数），（1）

设直线l上与已知点)4,2(

0

P相距为4的点为M点，且M点对应的参数为t，则

||

0

MP4||t，所以4t，将t的值代入（1）式，

当t＝4时，M点的坐标为

)6,322(

；

当t＝－4时，M点的坐标为

)2,322(

，

综上，所求M点的坐标为

)6,322(

或

)2,322(

.

点评：若使用直线的普通方程，利用两点间的距离公式求M点的坐标较麻烦，而使用

直线的参数方程，充分利用参数t的几何意义求M点的坐标较容易。

解：直线l过点)0,1(

0

P，倾斜角为

4



，所以直线l的参数方程为



















ty

tx

2

2

2

2

1

，（t为参数），因为直线l和抛物线相交，将直线的参数方程代入抛物线方程

xy22中，得：)

2

2

1(2)

2

2

(2tt，整理得022

2

1

2tt，

06)2(

2

1

4)2(2，设这个二次方程的两个根为

21

,tt，

由韦达定理得

22

21

tt，由M为线段AB的中点，根据t的几何意义，得

2

2

21





tt

t

M

，易知中点M所对应的参数为

2

M

t

，将此值代入直线的参数方程得，

M点的坐标为（2，1）

点评：对于上述直线l的参数方程，A、B两点对应的参数为

21

,tt，则它们的中点所对

应的参数为.

2

21

tt

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