拉氏变换终值定理

拉氏变换终值定理

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2023年2月26日发(作者：抗疟药)

1

最全拉氏变换计算公式

1.拉氏变换的基本性质

1

线性定理

齐次性

)()]([saFtafL

叠加性

)()()]()([

2121

sFsFtftfL

2微分定理一般形式



























1

1

)1(

)1(

1

2

2

2

)(

)(

)0()(

)(

0)0()(]

)(

[

)0()(]

)(

[

k

k

k

k

n

k

knn

n

n

dt

tfd

tf

fssFs

dt

tfd

L

fsfsFs

dt

tfd

L

fssF

dt

tdf

L



）（

初始条件为0时

)(]

)(

[sFs

dt

tfd

Ln

n

n



3积分定理

一般形式































n

k

t

n

n

knn

n

n

tt

t

dttf

ss

sF

dttfL

s

dttf

s

dttf

s

sF

dttfL

s

dttf

s

sF

dttfL

1

0

1

0

2

2

0

2

2

0

]))(([

1)(

])()([

]))(([])([

)(

]))(([

])([

)(

])([

个共个共





初始条件为0时



n

n

n

s

sF

dttfL

)(

]))(([

个共



4延迟定理（或称t域平移定理）

)()](1)([sFeTtTtfLTs

5衰减定理（或称

s

域平移定理）)(])([asFetfLat

6终值定理

)(lim)(lim

0

ssFtf

st



7初值定理

)(lim)(lim

0

ssFtf

st



8卷积定理)()(])()([])()([

21

0

21

0

21

sFsFdtftfLdftfLtt

2

2．常用函数的拉氏变换和z变换表

序

号

拉氏变换E(s)时间函数e(t)Z变换E(z)

11δ(t)1

2

Tse1

1







0

)()(

n

T

nTtt

1z

z

3

s

1

)(1t

1z

z

4

2

1

s

t

2)1(z

Tz

5

3

1

s

2

2t

3

2

)1(2

)1(





z

zzT

6

1

1

ns!n

tn

)(

!

)1(

lim

0

aTn

nn

aez

z

an





7

as

1

ate

aTez

z



82)(

1

as

atte

2)(aT

aT

ez

Tze







9

)(ass

a



ate1

))(1(

)1(

aT

aT

ezz

ze









10

))((bsas

ab





btatee

bTaTez

z

ez

z







11

22



s

tsin

1cos2

sin

2Tzz

Tz





12

22s

s

tcos

1cos2

)cos(

2



Tzz

Tzz





1322)(



as

teatsin

aTaT

aT

eTzez

Tze

22cos2

sin









1422)(



as

as

teatcos

aTaT

aT

eTzez

Tzez

22

2

cos2

cos













15

aTsln)/1(

1



Tta/

az

z



3

3．用查表法进行拉氏反变换

用查表法进行拉氏反变换的关键在于将变换式进行部分分式展开，然后逐项查表进行反变换。

设)(sF是

s

的有理真分式

01

1

1

01

1

1

)(

)(

)(

asasasa

bsbsbsb

sA

sB

sF

n

n

n

n

m

m

m

m



















（

mn

）

式中系数

nn

aaaa,,...,,

110

，

mm

bbbb,,,

110

都是实常数；nm,是正整数。按代数定理可将)(sF展

开为部分分式。分以下两种情况讨论。

①0)(sA无重根

这时，F(s)可展开为n个简单的部分分式之和的形式。























n

i

i

i

n

n

i

i

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

sF

1

2

2

1

1)(

式中，

n

sss,,,

21

是特征方程A(s)＝0的根。

i

c为待定常数，称为F(s)在

i

s处的留数，可按下式计

算：

)()(limsFssc

i

ss

i

i





或

i

ss

isA

sB

c







)(

)(

式中，)(sA



为)(sA对s的一阶导数。根据拉氏变换的性质，从式（F-1）可求得原函数























n

i

i

i

ss

c

LsFLtf

1

11)()(＝ts

n

i

i

iec





1

②0)(sA有重根

设0)(sA有r重根

1

s，F(s)可写为



)()()(

)(

11nr

rssssss

sB

sF









=

n

n

i

i

r

r

r

r

r

r

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c































1

1

1

1

1

1

1

1

)()()(

式中，

1

s为F(s)的r重根，

1r

s，…,

n

s为F(s)的n-r个单根；

4

其中，

1r

c，…,

n

c仍按式(F-2)或(F-3)计算，

r

c，

1r

c，…,

1

c则按下式计算：

)()(lim

1

1

sFsscr

ss

r





)]()([lim

11

1

sFss

ds

d

cr

ss

r









)()(lim

!

1

1

)(

)(

1

sFss

ds

d

j

cr

j

j

ss

jr







(F-5)



)()(lim

)!1(

1

1

)1(

)1(

1

1

sFss

ds

d

r

cr

r

r

ss













原函数)(tf为

)()(1sFLtf















































n

n

i

i

r

r

r

r

r

r

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

ss

c

L

1

1

1

1

1

1

1

1

1

)(

)()(

ts

n

ri

i

ts

r

r

r

r

iecectct

r

c

t

r

c

































1

12

2

1

1

1)!2()!1(

（F-6）