频域卷积定理
-
2023年2月26日发(作者：浙大远程)函数卷积及其应用
摘要卷积是一个很重要的数学概念．它描述了对两个（或多个）函数之积进行变换的运算法则，是
频率分析的最有效的工具之一。本文通过对卷积的概念，性质，具体应用以及对卷积公式，卷积定理等
方面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的涵有更全面更深刻的理解和认识。
关键词卷积卷积公式性质应用
1引言
卷积是在信号与线性系统的基础上或背景中出现的。狄拉克为了解决一些瞬间作用的物理现
象而提出了“冲击函数”这一符号，而卷积的诞生正是为了研究“冲击函数”服务的；卷积
是一种数学积分变换的方法，也是分析数学中一种重要的运算。卷积在物理学，统计学，地
震预测，油田勘察等许多方面有十分重要的应用。本文通过对卷积的概念，性质，应用等方
面进行较为全面和系统的论述和总结，使得对卷积的涵有更全面更深刻的理解和认识。
2卷积的定义和性质
2.1卷积的定义（基本涵）
设:)(),(xgxf是1R上的两个可积函数，作积分:dxgf
随着x的不同取值，
这个积分就定义了一个新函数)(xh，称为函数xf与)(xg的卷积，记为
)(xh=)()(xgxf(或者xgf).
注(1)如果卷积的变量是序列nhnx和，则卷积的结果：
i
nhnxinhixny)()()()()(，其中星号*表示卷积。当时序n=0时，序列h(-i)是
)(ih的时序i取反的结果;时序取反使得)(ih以纵轴为中心翻转180度，所以这种相乘后求
和的计算法称为卷积和，简称卷积.另外，
n
是使)(ih位移的量，不同的
n
对应不同的卷
积结果.
（2）如果卷积的变量是函数)(tx和)(th，则卷积的计算变为：
)()()()()(thtxdppthpxty
，其中p是积分变量，积分也是求和，
t
是使函数
)(ph位移的量，星号*表示卷积.
（3）由卷积得到的函数gf一般要比gf和都光滑.特别当g为具有紧致集的光滑函数，
f为局部可积时，它们的卷积gf也是光滑函数.
2.2卷积的性质
性质2.2.1（交换律）
设)(xf,)(xg是1R上的两个可积函数，则)()()()(xfxgxgxf.
证)()(xgxfdxgf
令
xu
，则
ux
，ddu
所以)()(xgxfdxgf
=duuguxf
=duuxfug
=)()(xfxg
性质2.2.2（分配律）
设)(),(xgxf)(xh是1R上的三个可积函数，则
xhxgxf)()()()()(xhxfxgxf.
证根据卷积定义
xhxgxf)(=dxhxgf
=dxgf
+dxhf
)()()()(xhxfxgxf
性质2.2.3（结合律）
设)(),(xgxf)(xh是1R上的三个可积函数，则
xhxgxfxhxgxf.
证令xgxfxm)(dxgf
，
dvxhvxgxhxgxs
，
则
xhxgxf=xhxm=duuxhum
=duuthdugf
=dduuthugf
-
)(
令vxuuxv则,，
上式=ddvvhvxgf
-
)(
=duuxsf
=xsxf
xhxgxf
性质2.2.4xgxfxgxf)()(.
证明)()(xgxfdxgf
dxgf
=xgxf.
性质2.2.5（微分性）
设)(),(xgxf是1R上的两个可积函数，则
)()()()()()(xgxfxgxfxgxf
dx
d
.
证明
dh
dx
xdf
d
dx
xdg
xfxgxf
dx
d
-
)()(
即
)()()()()()(xgxfxgxfxgxf
dx
d
意义卷积后求导和先对其任一求导再卷积的结果相同.
性质2.2.6（积分性）
设xhxgxf，则xhxgxhxgxf11)1(.
意义卷积后积分和先对其任一积分再卷积的结果相同.
推广
xhxgxhxgxfnnn.
性质2.2.7（微积分等效性）
设)(xf,)(xg是1R上的两个可积函数，则dgxfxgxfx
)()(.
例2.1设
0
0
1
0
x
x
xf，
0
00
x
x
e
xg
x
，求xgxf)(.
解由卷积定义知
xgxf)(=dxgf
=
ttt
t
xeeede111
0
例2.2设函数
tetftttft
21
,3
试计算其卷积tftfty
21
.
解由卷积定义知
其他
30
0
1
3
1
f
t
t
e
tef
t
t
0
)(
2
所以
tftfty
21
=dtff
2
-
1
显然这个积分值与函数
t
t
t
0
1
，所取非零值有关，即与参数
t
的取值有关.
1当
t0时，因30t，所以0t，
此时
tftfty
21
=003
0
)(det
2当30t时，只有t0时，有1t，
此时
tftfty
21
=t
t
tede1
0
)(
3当3t时，因为t30，所以1t，
此时
tftfty
21
=tteede13
3
0
)(
综上所述，有
tftfty
21
=
3
30
0
1
-1
0
3
t
t
t
ee
e
t
t
3.卷积定理
3.1时域卷积定理
设两函数)(),(
21
tftf，的傅里叶变换分别为：,)()(
1
~
1
tfsF,)()(
1
~
1
tfsF则两函
数卷积的傅里叶变换为：),()()()(
2121
~FFtftfs
上式称为时域卷积定理，它表明两信号在时域的卷积积分对应于在频域中该两信号的傅立叶
变换的乘积.
证明)()(
21
~
tftfsdtedtfftj
21
=ddtetfftj
21
=deFftj
21
=defFtj
12
=
12
FF),()(
21
FF
3.2频域卷积定理
设两函数)(),(
21
tftf，的傅里叶变换分别为：,)()(
1
~
1
tfsF,)()(
1
~
1
tfsF则两函
数卷积的傅里叶变换为：),()(
2
1
)()(
2121
~
FFtftfs上式称为频域卷积定理，它表
明两信号在时域的乘积对应于这两个函数傅氏变换的卷积除以2.
证明
deduuwFuFFFstj
2121
1-
~
2
1
2
1
2
1
dudeuFuFtj
212
1
)(
2
1
tftfduetfuFjut
1221
)(
2
1
于是
)()(
2
1
)()(
2121
~
FFtftfs
例3.1求积分方程
dtgfthtg
的解，其中tfth,为已知函数，且thtftg和,的Fourier变换都存在.
解假设,GtgF,HthF,FtfF
由卷积定义知
tgtfdtgf
现对积分方程两端取Fourier变换可得
GFHG
解得
F
H
G
1
所以原方程的解为
de
F
H
tgti
12
1
例3.2求常系数非齐次线性微分方程
tftyty
dt
d
2
2
的解，其中tf为已知函数.
解设FtfFYtyF),(
现对原方程两端取Fourier变换，并根据Fourier变换的性质可得
FYYi2
解得
21
F
Y
所以原方程的解
FFdeFtyti
2
1
21
1
1
1
2
1
由卷积定理得
FFFty1
2
1
1
1
=deftf
e
t
t
2
1
2
.
例3.3求微分积分方程
thdttxctbxtxa
t
的解.其中cbat,,,均为常数.
解设HthFXtxF,
现对原方程两端取Fourier变换，并根据Fourier变换的性质可得
HX
i
c
bXXai
解得
c
aib
H
i
c
bai
H
X，
所以原方程的解
dte
c
aib
H
txti
2
1
4.卷积公式及其应用与推广
4.1卷积公式
设X和Y的联合密度函数为）yxf,(，则YXZ得概率密度为
dxxzfxfZFZf
YXzz
)()()()(
dyyfyzfZFZf
YXzz
)()()()(
证明YXZ的分布函数是：
D
z
xyfpzZpZF)()zYX()()(
其中D=zyxyx:),(
于是
z
yxu
yz
zyx
Z
dudyyyufdxdyyxfdxdyyxfZF),(),(),()(
=
z
dyduyyuf),(
从而
dyyyzfZFZf
zz
),()()(
由X和Y的对称性知
dxxxzfZFZf
zz
),()()(。
特别地，当X和Y独立时，设YX,的边缘密度分别为),(xf
X
),(yf
Y
则上述两个式子化为
dxxzfxfZFZf
YXzz
)()()()(………………(1)
dyyfyzfZFZf
YXzz
)()()()(…………………(2)
(1),(2)式称为卷积公式.
注虽然卷积公式针对的是两个独立随机变量直接求和的情形，但它一样可以巧妙地用于计
算两个独立随机变量线性和的概率密度函数.
4.2卷积公式在概率论方面的应用
例4.2.1设二维连随机变量yx,的联合概率密度函数
为：
其他
0,0
0
2
),(
2
yx
e
yxf
yx
，令yxz2，求）（zf
Z
.
解：经过计算知
0
0
0
x
x
e
xf
x
X
）（，
0
0
0
22
y
y
e
yf
y
Y
）（
显然，对任意的
),()()(,,yxfyfxfyx
Yx
，即YX,独立.由卷积公式(2)，
z
z
zy
z
yz
YXZ
zedyedyeedyyfyzfzf
2
0
2
2
0
)2(22)()2()(
即
其他
0
0
)(
z
ze
zf
z
z
注：虽然不是求YX的分布，而要求YX2的分布，用y表示Y的取值，将Y看作一
个整体，根据YXZ2，直接用YZ2来表示
x
的取值，从套用卷积公式(2)一样
得到了以上正确答案.
例4.2.2若YX,是两个相互独立的随机变量且均服从正态分布1,0N，求YXZ得
概率密度.
解由卷积公式
dxxzfxfzf
YXZ
=
dxee
xzx
22
2
2
2
1
=
dxeezxx
z
2
2
2
2
1
=dxee
z
x
2
2
2
4
2
1
令
2
z
xt，得到
2
2
2
2
2
22
44
22
1
2
1
2
1
z
z
t
z
Z
eedteezf
于是YXZ服从正态分布2,0N.
4.3卷积公式的推广
4.3.1三重卷积公式及其应用
定理4.3.1.1若三个随机变量ZYX,,的联合概率密度函数为),,(zyxf，则
ZYXW的概率密度函数为)(wf
W
dydxyxwyxf
),,(.
证明随机变量W的分布函数及其概率密度函数分别为
dxdydzzyxfdxdydzzyxfwZYXpwWpwF
xwzywzyx
W
),,(),,()(
dx
dw
xwdI
wFwf
wW
),(
)()(，
其中
yxw
xwzy
dzdyzyxfdydzzyxfxwI),,(),,(),(
由于
dyyxwyxf
dw
xwdI
),,(
),(
，
因此ZYXW的概率密度函数为
)(wf
W
dydxyxwyxf
),,(.
推论4.3.1.1当随机变量ZYX,,是相互独立时，有
)(wf
W
dydxyxwyxf
),,(=
-
-
dydxyxwfyfxf
ZYX
)()(）（
其中)(,),(zfyfxf
ZYX
）（分别是X,Y,Z的概率密度函数.
例4.3.1.1设某商品一周需要量是一个随机变量，其概率密度为
0
0
0
)(
t
t
et
tf
t
，并设各周的需求量是相互独立的，求三周的需求量的概率密度.
解设第i周的需求量为
i
（i=1,2,3），则三周的需求量
3
1
i
i
，
由三重卷积公式知：
)(zf
-
-
)(
1
1
xf
)(
2
2
xf
)(
21
xxzf
21
dxdx
=
0
0
0
1
0
2
)(
21
0
21
21
1
21
z
z
dx
dxexxzexex
z
xxz
xz
xx
=
0
0
0
)(
221
0
21
0
1
1
z
z
dxxxzxdxxe
xx
x
x
=
0
0
0
!5
55
z
z
ez
综上,我们得到了三个随机变量和的概率密度函数的计算公式,此公式应用起来比较简便,有
一定的实际利用价值.
4.3.2多重卷积公式及其应用
4.3.2.1（
n
重卷积公式）设
1
，
2
,…
n
,是
n
个独立的随机变量，它们的概率密度分别
为
)(
ii
xf
（2,1i…n）,则
n
i
in
1
的概率密度为
nn
fffzf
...)(
21
=
-
…
-
)(
1
1
xf
)(
2
2
xf
…)(
1
1
n
i
i
xzf
n
21
dxdx…
n
dx
证明用数学归纳法
当2n时，由卷积公式知，结论成立.
假设当kn时，有
kk
fffzf
...)(
21
=
-
…
-
)(
1
1
xf
)(
2
2
xf
…)(
1
1
k
i
i
xzf
k
21
dxdx…
k
dx
那么，当1kn时
111
...)(
2
kk
ffffzf
k
=
-1k
f
…
-
)(
1
1
xf
)(
2
2
xf
…)(
1
1
k
i
i
xzf
k
21
dxdx…
k
dx
1k
dx
=
-
…
-
)(
1
1
xf
)(
2
2
xf
…)(
1
k
i
i
xzf
k
21
dxdx…
k
dx
1k
dx
所以，由数学归纳法知结论成立.
例4.3.2.1设
1
，
2
,…
n
,是n个独立同分布的随机变量，它们均服从参数为的指数
分布，即它们的概率密度函数为
0
0
0
)(
t
t
e
tf
t
i
（2,1i…n）,求
n
i
i
1
的概率密度函数.
解由（
n
重卷积公式）可得
2
00
1
2
1
1)(dxedxezf
x
xz
z
x
…
1
0
)(
1
1
1
1
n
xz
xz
dxe
n
i
i
n
i
i
=znez
dx
0
1
1
0
2
xz
dx…
2
1
0
1
n
i
i
xz
n
dx
=znez
dx
0
1
1
0
2
xz
dx…
3
1
0
2
2
1
)(
n
i
i
xz
n
n
i
i
dxxz
=
!2
zne
z
dx
0
1
1
0
2
xz
dx…
4
1
0
3
2
3
1
)(
n
i
i
xz
n
n
i
i
dxxz
=
!3
zne
z
dx
0
1
1
0
2
xz
dx…
5
0
4
3
4
1
)(
z
n
n
i
i
dxxz
=…
=
)!3(
n
ezn
z
dx
0
1
1
0
2
3
21
)(
xz
ndxxxz
=
)!2(
n
ezn
z
ndxxz
0
1
2
1
)(
=1
)!1(
n
zn
z
n
e
所以，
0
0
0
)!1(
)(
)(
1
z
z
n
ze
zf
nz