导数练习题
-
2023年2月25日发(作者：FTO)数学导数专题练习题（及答案）
一、单选题
1
．
设fx
是可导函数，且
0
121
lim2
x
fxf
x
，则
1f
（）
A
．
1
2
B
．1
C
．
0D
．
2
2
．关于
x
的不等式
eln()xaaxaa
恒成立的一个必要不充分条件是（）
A
．2e,0a
B
．2(0,e)a
C
．0,ea
D
．30,ea
3
．已知实数
,,abc
满足2a，
ln2ln22aaa
，
2b
，
ln2ln22bbb
，
1
2
c
，
111
lnln
222
ccc
，则（）
A
．cbaB
．
bca
C
．acbD
．abc
4
．已知函数
()sincosfxxxx
，则
()
2
f
（）
A
．
0B
．
1C
．1
D
．
2
5
．函数33fxxx
在区间(2,)m
上有最大值，则
m
的取值范围是（）
A
．1,3
B
．1,3
C
．1,3
D
．1,2
6
．函数yfx
的图象如图所示，fx
是函数fx
的导函数，则下列数值排序正确的是
（）
A
．
242242ffff
B
．
224224ffff
C
．
222442ffff
D
．
422422ffff
7
．下列各式中正确的是（）
A
．
1
ln2
2
B
．33xx
C
．若
2
1
fx
x
，则
2
3
27
f
D
．
2
1
logln2x
x
8
．函数fx
的定义域为开区间,ab
，导函数
fx
在,ab
内的图象如图所示，则函数
fx
在开区间,ab
内有极小值点（）
A
．
1
个
B
．
2
个
C
．
3
个
D
．
4
个
9
．已知函数32
1
1
32
a
fxxxx
在,0
，3,
上单调递增，在1,2
上单调递
减，则实数
a
的取值范围为（）
A
．
105
,
32
B
．,2
C
．
10
,2
3
D
．
105
,
32
10
．若函数yfx
的导函数在区间
,ab
上是减函数，则函数yfx
在区间
,ab
上的
图象可能是（）．
A
．
B
．
C
．
D
．
11
．函数2
8
2fxxx
x
在
(0,)
上的最小值为（）．
A
．
2B
．
3C
．
4D
．
5
12
．若关于
x
的不等式esin11xxbx
在0,
上恒成立，则实数b的取值范围为
（）
A
．,e
B
．1,
C
．
1
,
e
D
．2,
13
．如图，是函数yfx
的部分图象，且关于直线2x对称，则（）
A
．123fff
B
．132fff
C
．123fff
D
．132fff
14
．函数21lnfxfxxx
在1x处的切线方程为（）
A
．
22yx
B
．
21yx
C
．
1yx
D
．1yx
15
．如图为宜昌市至喜长江大桥，其缆索两端固定在两侧索塔顶部，中间形成的平面曲线
称为悬链线．当微积分尚未出现时，伽利略猜测这种形状是抛物线，直到
1691
年莱布尼兹
和伯努利借助微积分推导出悬链线的方程
ee
2
xx
cc
c
y
，其中
c
为参数．当1c时，函
数
ee
cosh
2
xx
x
称为双曲余弦函数，与之对应的函数
ee
sinh
2
xx
x
称为双曲正弦函
数．关于双曲函数，下列结论正确的是（）
A
．22sinhcosh1
xx
B
．
(cosh())sinh()
xx
C
．cosh1cosh2
D
．sinhsinhxx
二、填空题
16
．已知函数
1
0,0fxmxmn
nx
的定义域为0,
，若
1x
时，fx
取得最小
值，则
22
22
11
22
mn
nm
的取值范围是
___________
．
17
．写出一个同时具有性质
①②
的函数fx
___________.
（fx不是常值函数），
①fx
为偶函数；
②fxfx
.
18
．已知函数()fx的导函数为
()fx
，且满足21lnfxxfx
，则
(1)f
___
．
19
．设
0
(2)(2)
lim=2,
x
fxfx
x
则曲线()fx在点
(2,(2))f
处切线的斜率为
______________.
20
．已知函数fx
的定义域为
R
，图象关于原点对称，其导函数为fx
，若当0x时
ln0xxfxfx
，则不等式44xfxfx
的解集为
______
．
三、解答题
21
．已知函数2()ln(2)fxaxxax
，其中.aR
(1)
讨论函数()fx的单调性；
(2)
若函数()fx的导函数
()fx
在区间1,e
上存在零点，证明：当1,ex
时，
22
．已知函数
ln
()
x
fx
x
(1)
填写函数()fx的相关性质；
()fx定义域值域零点极值点单调性
性质
(2)
通过（
1
）绘制出函数()fx的图像，并讨论
lnxax
方程解的个数．
23
．已知函数e2,Rxfxaxa
.
(1)
若
1
2
a
，求函数fx
的极小值
.
(2)
存在0
2,3x
，使得
0
0fx
成立，求实数
a
的取值范围．
24
．已知函数
e
()(1)1
x
fxbx
a
(1)
当
1
1
4
ab，
时，求曲线yfx
在点（
0
，
f
（
0
））处的切线方程；
(2)
当
1a
时，2fx
恒成立，求
b
的值．
25
．
2020
年
9
月
22
日，中国政府在第七十五届联合国大会上提出：
“
中国将提高国家自主
贡献力度，采取更加有力的政策和措施，二氧化碳排放力争于
2030
年前达到峰值，努力争
取
2060
年前实现碳中和
.”
为了进一步了解普通大众对
“
碳中和
”
及相关举措的认识，某机构
进行了一次问卷调查，部分结果如下：
小学
生
初高
中生
大学及大学以
上在校生
60岁以下的社
会人士
60岁及以上的
社会人士
不了解“碳中和”及
相关措施
4030805570
了解“碳中和”及相
2
关措施
(1)
根据所给数据，完成下面的22列联表，并根据列联表，判断是否有
95%
的把握认为
“
是
否了解
‘
碳中和
’
及相关措施
”
与
“
学生
”
身份有关？
学生社会人士合计
不了解“碳中和”及相关措施
了解“碳中和”及相关措施
合计
附：
2
2
nadbc
K
abcdacbd
，nabcd.
2PKk
0.0500.0100.001
k3.8416.63510.828
(2)
经调查后，有关部门决定加大力度宣传
“
碳中和
”
及相关措施以便让节能减排的想法深入
人心
.
经过一段时间后，计划先随机从社会上选
10
人进行调查，再根据检验结果决定后续
的相关举措
.
设宣传后不了解
“
碳中和
”
的人概率都为01pp
，每个被调查的人之间相互
独立
.
①
记
10
人中恰有
3
人不了解
“
碳中和
”
的概率为fp
，求fp
的最大值点0
p
；
②
现对以上的
10
人进行有奖答题，以
①
中确定的0
p
作为答错的概率
p
的值
.
已知回答正
确给价值
a
元的礼品，回答错误给价值
b
元的礼品，要准备的礼品大致为多少元？（用
a
，
b
表示即可）
【参考答案】
一、单选题
1
．
B
2
．
D
3
．
D
4
．
A
5
．
D
6
．
B
7
．
C
8
．
A
9
．
A
10
．
A
11
．
C
12
．
B
13
．
C
14
．
C
15
．
D
二、填空题
16
．
4
,
3
17
．
1
sin2
2
x
（答案不唯一）
18
．1
19
．1
20
．,10,1
三、解答题
21
．
(1)
答案不唯一，具体见解析
(2)
证明见解析
【解析】
【分析】
（
1
）求出函数的导数，通过讨论
a
的范围，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间
即可；
（
2
）根据导函数在1,e
上存在零点，则
()0fx
在1,e
上有解，则有
1e
2
a
，即
22ea，得到函数()fx的最小值，构造函数
2
()ln(1ln2)
4
x
gxxxx，
22ex
，
利用导数判断出其单调性，结合不等式传递性可证．
(1)
函数()fx的定义域是
(0,)
，
(2)(1)
()2(2)
axax
fxxa
xx
，
①0a时，20xa，令
()0fx
，解得：
1x
，令
()0fx
，
解得：
01x
，故()fx在
(0,1)
递减，在
(1,)
递增；
②02a时，令
()0fx
，解得：
1x
或0
2
a
x，
令
()0fx
，解得：
1
2
a
x
，
故()fx在
0,
2
a
递增，在
,1
2
a
递减，在1,
递增；
③2a时，()0fx
，()fx在
(0,)
递增；
④2a时，令
()0fx
，解得：
2
a
x或01x，
令
()0fx
，解得：
1
2
a
x
，
故()fx在
(0,1)
递增，在
1,
2
a
递减，在
,
2
a
递增；
综上：
0a时，()fx在
(0,1)
递减，在
(1,)
递增，
02a时，()fx在
0,
2
a
递增，在
,1
2
a
递减，在
(1,)
递增；
2a时，()fx在
(0,)
递增；
2a
时，()fx在
(0,1)
递增，在
1,
2
a
递减，在
,
2
a
递增；
(2)
因为
(2)(1)
()2(2)
axax
fxxa
xx
，
又因为导函数
()fx
在
(1,)e
上存在零点，所以
()0fx
在
(1,e)
上有解，
则有
1e
2
a
，即22ea，
且当
1
2
a
x
时，
()0fx
，()fx单调递减，
当
e
2
a
x
时，
()0fx
，()fx单调递增，所以
22
()ln(2)ln(1ln2)
22424
aaaaa
fxfaaaaa，
设
2
()ln(1ln2)
4
x
gxxxx，22ex，则
()ln1(1ln2)lnln2
22
xx
gxxx
，则
11
()0
2
gx
x
，
所以()gx
在
(2,2e)
上单调递减，所以
()gx
在
(2,2e)
上单调递减，
则222e22ee2e1ln2e2gelng
，
所以2egx
，则根据不等式的传递性可得，
当1,ex
时，
【点睛】
本题考查利用导数表示曲线上某点处的斜率，考查函数的单调性，考查导数的综合应用以
及分类讨论思想，转化思想，属于难题．
22
．
(1)
详见解析
(2)
详见解析
【解析】
【分析】
（
1
）利用导数判断函数的性质；
（
2
）由函数性质绘制函数的图象，并将方程转化为
lnx
a
x
，即转化为
ya
与
lnx
y
x
的
交点个数
.
(1)
函数
lnx
fx
x
的定义域是0,
，
2
1lnx
fx
x
，
当0ex时，
0fx
，函数单调递增，
当
ex
时，
0fx
，函数单调递减，
所以当
ex
时，函数取得极大值，同时也是函数的最大值，
1
e
e
f，
当0x时，fx
，当x时，0fx
，
函数的值域是
1
,
e
，
ln
0
x
fx
x
，得1x，所以函数的零点是1x，
f()x
定义域值域零点
极值
点
单调性
性质0,
1
,
e
1x
ex
单调递增区间
0,e
，单调
递减区间
e,
(2)
函数()fx的图象如图，
lnxax，即
lnx
a
x
，方程解的个数，即
ya
与
lnx
y
x
的交点个数，
当
1
e
a
时，无交点，即方程lnxax无实数根；
当
1
e
a
或0a时，有一个交点，即方程
lnxax
有一个实数根；
当
1
0,
e
a
时，有两个交点，即方程lnxax有两个实数根
.
23
．
(1)1
；
(2)
2
,+
e
4
a
.
【解析】
【分析】
（
1
）利用导数求fx
的单调性，即可求极值
.
（
2
）将问题转化为在
2,3x上
min
e
2()
x
a
x
，再应用导数求
e
x
gx
x
的最小值，即可求
a
的范围．
(1)
当
1
2
a
时exfxx
，则e1xfx
，令
0fx
，得0x．
0x时
0fx
，函数fx
的单调递增区间为0,
，
0x时
0fx
，函数fx
的单调递减区间为,0
；
所以函数fx
的极小值为00e01f
.
(2)
由题设，在
2,3x上
min
e
2()
x
a
x
，
设
e
x
gx
x
，则
2
e1xx
gx
x
，显然当
2,3x
时
0gx
恒成立，
所以gx
在2,3
单调递增，则
min
2
2
e
()
2
gxg
，
综上，
22ee
2
24
aa，故
2
,+
e
4
a
．
24
．
(1)
25yx
(2)0b
【解析】
【分析】
（
1
）利用切点和斜率求得切线方程
.
（
2
）由2fx
恒成立构造函数2gxfx
，对
b
进行分类讨论，结合'gx
研究
gx
的最小值，由此求得b的值
.
(1)
当
1
1
4
ab，
时，
()4e21xfxx
，则
()4e2xfx
又因为
(0)5,(0)2ff
所以曲线
()yfx
在点（
0
，
f
（
0
））处的切线方程为520yx
，
即
25yx
．
(2)
当1a时，令函数2e11xgxfxbx
，
则2fx
恒成立等价于0gx
恒成立．
又
()e1,xgxb
．
当
1b
时，
()e10,xgxb
，
g(x)
在
R
上单调递增，显然不合题意；
当1b时，令
()e10,xgxb
，得
ln(1)xb
．令
()e10xgxb
，得
ln1xb
，
所以函数
g(x)
在
(,ln(1))b
上单调递减，在
(ln(1),)b
上单调递增，
所以当
ln(1)xb
时，函数
g(x)
取得最小值．
又因为00g
，所以0x为
g(x)
的最小值点．
所以
ln(1)0b
，解得0b．
25
．
(1)
列联表见解析，没有
95%
的把握认为
“
是否了解
‘
碳中和
’
及相关措施
”
与
“
学生
”
身份有
关；
(2)①
0
3
10
p
；
②73ab
【解析】
【分析】
（
1
）对满足条件的数据统计加和即可，然后根据给定的2K计算公式，将计算结果与
195%0.05
所对应的k值比较大小即可；
（
2
）
①
利用独立重复试验与二项分布的特点，写出
10
人中恰有
3
人不了解
“
碳中和
”
的概
率为fp
，再利用导数求出最值点；
②
利用独立重复试验的期望公式代入可求出答案
.
(1)
由题中表格数据完成22列联表如下：
学生社会人士合计
不了解“碳中和”及相关措施
150125275
了解“碳中和”及相关措施
250275525
合计
400400800
根据列联表得
2
2
875
800
3.4633.841
275525400400231
K
.
故没有
95%
的把握认为
“
是否了解
‘
碳中和
’
及相关措施
”
与
“
学生
”
身份有关
.
(2)
①
由题得，7
33
10
1fpCpp
，0,1p
，
∴
76
323632
1010
C3171C1310fpppppppp
.
令0fp
，得
3
10
p
，当
3
0,
10
p
时，0fp
；
当
3
,1
10
p
时，0fp
，
∴当
3
0,
10
p
时，fp
单调选增；当
3
,1
10
p
时，fp
单调递减，
∴fp
的最大值点
0
3
10
p
.
②
本题求要准备的礼品大致为多少元，即求
10
个人礼品价值
X
的数学期望
.
由
①
知答错的概率为
3
10
，则
33
10173
1010
EXabab
，
故要准备的礼品大致为73ab元
.