周期的公式

周期的公式

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2023年2月25日发(作者：一对一助学)

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主要知识：

1．周期函数：对于

()fx

定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得

()()fxTfx

恒成立，则称函数

()fx

具有周期性，T叫做

()fx

的一个周期，则

kT

（,0kZk）也是

()fx

的周期，所有周期中的最小正数叫

()fx

的最小正周期．

2．几种特殊的抽象函数：具有周期性的抽象函数：

函数yfx

满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），

(1)fxfxa

，则yfx

是以

Ta

为周期的周期函数；

(2)fxafx

，则fx

是以

2Ta

为周期的周期函数；

(3)



1

fxa

fx



，则fx

是以

2Ta

为周期的周期函数；

(4)fxafxb

，则fx

是以

Tab

为周期的周期函数；

以上（1）-（4）比较常见，其余几种题目中出现频率不如前四种高，并且经常以数形结合的方式求解。

(5)函数

()yfx

满足

()()faxfax

（

0a

），若

()fx

为奇函数，则其周期为

4Ta

，若

()fx

为偶函数，

则其周期为

2Ta

．

(6)函数

()yfxxR

的图象关于直线xa和

xbab

都对称，则函数

()fx

是以2ba

为周期的周期

函数；

(7)函数

()yfxxR

的图象关于两点,0Aa

、,0Bbab

都对称，则函数

()fx

是以2ba

为周期的

周期函数；

(8)函数

()yfxxR

的图象关于,0Aa

和直线

xbab

都对称，则函数

()fx

是以4ba

为周期的周

期函数；

（9）有些题目中可能用到构造，类似于常数列。

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（二）主要方法：

1．判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：

一是对定义域中任意的x恒有

()()fxTfx

；

二是能找到适合这一等式的非零常数T，

2．解决周期函数问题时，要注意灵活运用以上结论，同时要重视数形结合思想方法的运用，还

要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值．

证明举例：若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a

的周期。

()(2),()(2).fxfaxfxfbx证明：由已知

()(2)[2(2)][2()]

[22()][2(2)]

[22(2)][4()],4().

fxfaxfbaxfbax

fabaxfabx

fbabxfbaxba





周期为

举例:y=sinx,等.

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