独立性检验公式
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2023年2月25日发(作者：悼亡诗)WORD格式
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概率与统计
一、普通的众数、平均数、中位数及方差
1、众数：一组数据中，出现次数最多的数。
2、平均数：①、常规平均
数：
x
x
1x2xn
②、加权平均
数：
x
x1
1
x2
2
x
nn
n12n
3、中位数：从大到小或者从小到大排列，最中间或最中间两个数的平均数
。
4、方差：s2
1
[(x1x)2
(x
2x)2(xnx)2]
n
二、频率直方分布图下的频率
1、频率=小长方形面积：
f
S
y距d；频率=频数/
总数
2、频率之和：f1
f2fn1
；同时
S1S2Sn1；
三、频率直方分布图下的众数、平均数、中位数及方差
1、众数：最高小矩形底边的中点。
2、平均数：
xx1f1
x2f
2x3
f
3
xnf
nxx1S1x2S2x3S3xnSn
3、中位数：从左到右或者从右到左累加，面积等于
0.5
时x的值。
4、方差：s2
(x
1
x)
2
f1
(x2x)2f2(xnx)2fn
四、线性回归直线方程
：?
?
?
bx
ya
n
(xi
x)(
yi
y
)
nxiyi
nxy
??
其中：b
i
1i1
,
a?
ybx
nn
(xix)2
xi
2nx2
i
1i1
1、线性回归直线方程必过样本中心
(x,
y)；
??
0:负相关。
2、b0:正相关；
b
?
3、线性回归直线方程：
y?
?
bx
a?的斜率b中，两个公式中分子、分母对应也相等；中间可以推导得到。
五、回归分析
?i1、残差：?i
y
i
?i越小越好；
ey（残差=真实值—预报值）。分析：
e
2、残差平方和：
n
?)
2(
yi，
i
1
yi
n
(
yi
y
)
2
(y
1
y
)
2
(yy)
2
(
y
y
)
2
分析：①意义：越小越好；②计算：
?i?1
2
?2
n
?n
i
1
n
?i
)
2
i
3、拟合度（相关指数）：R
21
(yy
，分析：①.R20,1
②.越大拟合度越高；
i1
的常数；
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n
y)2
i
(yi
1
nn
4、相关系数：
r
i
(xi
x)(y
iy)
xi
yinxy
1
i
1
n
x)2
n
y)2
n
x)2
n
y)2
i
1
(xi
i
(
yi(xi
(
yi
1
i
1i1
分析：①.r
[1,1]的常
数；
②.
r0:正相关；r0:负相关
③.r
[0,0.25]
；相关性很弱；
r
(0.25,0.75)；相关性一般；
r
[0.75,1]；相关性很
强；
六、独立性检验
x1x2
1、2×2列联表：
合计
2、独立性检验公式
bc)2
y1abab
①．k2
(a
n(ad
d)
y2cdcd
b)(cd)(ac)(b
合计
acbdn
②．犯错误上界P对照表
3、独立性检验步骤
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①．计算观察值
n(adbc)2
k：k；
(ab)(cd)(ac)(bd)
②．查找临界值k0：由犯错误概率P，根据上表查找临界
值
k0；
③．下结论：k
k0：即犯错误概率不超过
P的前提下认为：,有1-P以上的把握认为：
;
kk0：即犯错误概率超过
P的前提认为：
,
没有1-P以上的把握认为：
;
【经典例题】
题型1与茎叶图的应用
例1（2014全国）某市为考核甲、乙两部门的工作情况，学科网随机访问了50位市民。根据这
50位市
民
（1）分别估计该市的市民对甲、乙
部门评分的中位数；
（2）分别估计该市的市民对甲、乙
部门的评分做于90的概率；
（3）根据茎叶图分析该市的市民对
甲、乙学科网两部门的评价。
题型2频率直方分布图的应用
例2（2015广东）某城市
100
户居民的月平均用电量（单位：度），以[160,180)，[180,200)，[200,220)，
[220,240)，[240,260)，[260,280)，[280,300]分组的频率分布直方图如图
2，
（1）求直方图中x的值；
（2）求月平均用电量的众数和中位数；
（3）在月平均用电量为[220,240)，[240,260)，[260,280)，
[280,300]的四组用户中，用分层抽样的方法抽取11户居民，则月
平均用电量在[220,240)的用户中应抽取多少户？
练习2（2014全国1）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得
如下频数分布表：
质量指标值分组
[75，85)[85，95)[95，105)[105，115)[115，125)
频数
62638228
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(1)在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：
(2)估计这种产品质量指标值的平均数及方差
(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表)；
(3)根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生
产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产
品至少要占全部产品的80%”的规定？
题型3
计算线性回归方程
例3（2015重庆）随着我国经济的发展，居民
的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款（年底余额）如下表：
年份
20132014
时间代号t
12345
储蓄存款y（千亿元）
567810
（1）求y关于t的回归方程???
ybta
（2）用所求回归方程预测该地区2015年（t=6）的人民币储蓄存款.
练习3（2014全国2）某地区2007年至2013年农村居民家庭纯收
入y（单位：千元）的数据如下表：
年份
2013
年份代号t
1234567
人均纯收入y
2.93.33.64.44.85.25.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该
地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
题型4线性回归分析
例4（2016全国3）下图是我国2008年至2014年生活垃圾
无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码1–7分别对应年份2008–2014.
(1).由折线图看出，可用线性回归模型拟合
y与t的关系，
请
用相关系数加以说明；
(2).求出y关于t的回归方程
y?
?
0.01），
bta?（系数精确到
预测2016年我国生活垃圾无害化处理量.
777y)2
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参考数据：
yi
9.32，
ti
yi40.17，
(yi
0.55，≈
2.646.
i1i1i1
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nn
(t
it)(yiy)(ti
t)(yi
y)
参考公式：r
i1
，回归方程y
abt中：b
i1
，a=ybt.
nn
n
t)
2y)2
(ti
t)2(ti
(y
i
i1
i
1i1
题型5独立性检验综合应用
例5.为了解某班学生喜爱打篮球是否与性别有关，
对本
班60人进行了问卷调查得到了如
下的
2×2列联表：
(1)用分层抽样的方法在喜爱打篮球的学生中抽6人，其中男生抽多少人？
(2)在上述抽取的人中选2人，求恰有一名女生的概率；
(3)你是否有95%的把握认为喜爱打篮球与性别有关？说明你的理由。
练习5.为调查某市学生百米运动成绩,从该市学生中按照男女比例
随机抽取50名学生进行百米测试,学生成绩全部都介于13秒到18秒之
间,将测试结果按如下方式分成五组,第一组13,14,第二组14,15,第
五组17,18,如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
(1)求这次测试成绩的平均数、众数和中位数、
(2)设m,n表示从第一组和第五组的所有学生中任意抽取的两名学生的百
米测试成绩,即m,n13,1417,18,求事件“mn2”的概率;
(3)根据有关规定,成绩小于16秒为达标.如果男女生使用相同的达标标
准,则男女生达标情况如下
表
:
男女总计
完成上表,并根据上表数据,能否有99﹪的把握认为“体育达标与性
达标
24
别有关”？不达标
12
总计
50