等差数列前n项和
-彭靖惠
2023年2月23日发(作者：守株待兔课件)等差数列及其前n项和
1.等差数列的定义
如果一个数列______________________________________，那么这个数列就叫做等差
数列，这个常数叫做等差数列的________，通常用字母______表示.
2.等差数列的通项公式
如果等差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，那么它的通项公式是________________.
3.等差中项
如果________，那么A叫做a与b的等差中项.
4.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：a
n
＝a
m
＋________，(n，m∈N*).
(2)若{a
n
}为等差数列，且k＋l＝m＋n，(k，l，m，n∈N*)，则__________________.
(3)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则{a
2n
}也是等差数列，公差为________.
(4)若{a
n
}，{b
n
}是等差数列，则{pa
n
＋qb
n
}也是等差数列.
(5)若{a
n
}是等差数列，公差为d，则a
k
，a
k＋m
，a
k＋2m
，…(k，m∈N*)是公差为________
的等差数列.
5.等差数列的前n项和公式
设等差数列{a
n
}的公差为d，其前n项和S
n
＝__________或S
n
＝____________.
6.等差数列的前n项和公式与函数的关系
S
n
＝
d
2
n2＋
a
1
－
d
2
n.
数列{a
n
}是等差数列⇔S
n
＝An2＋Bn，(A、B为常数).
7.等差数列的最值
在等差数列{a
n
}中，a
1
>0，d<0，则S
n
存在最______值；若a
1
0，则S
n
存在最
______值.
1.有两个等差数列2,6,10，…，190及2,8,14，…，200，由这两个等差数列的公共项按
从小到大的顺序组成一个新数列，则这个新数列{a
n
}的通项公式a
n
＝______________.
2.已知两个数列x，a
1
，a
2
，a
3
，y与x，b
1
，b
2
，y都是等差数列，且x≠y，则
a
2
－a
1
b
2
－b
1
的
值为________.
3.已知数列{a
n
}中，a
3
＋a
8
＝22，a
6
＝7，则a
5
＝________.
4.在数列{a
n
}中，若a
1
＝1，a
n＋1
＝a
n
＋2(n≥1)，则该数列的通项a
n
＝________.
5.(2011·江西)设{a
n
}为等差数列，公差d＝－2，S
n
为其前n项和，若S
10
＝S
11
，则a
1
等
于()
A.18B.20C.22D.24
题型一等差数列的判定或证明
例1已知数列{a
n
}中，a
1
＝
3
5
，a
n
＝2－
1
a
n－1
(n≥2，n∈N*)，数列{b
n
}满足b
n
＝
1
a
n
－1
(n∈N*).
(1)求证：数列{b
n
}是等差数列；
(2)求数列{a
n
}中的最大项和最小项，并说明理由.
探究提高证明或判断一个数列为等差数列，通常有两种方法：(1)定义法：a
n＋1
－a
n
＝d；(2)等差中项法：2a
n＋1
＝a
n
＋a
n＋2
.就本例而言，所用方法为定义法.
已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足S
n
＝
S
n－1
2S
n－1
＋1
(n≥2)，a
1
＝2.
(1)求证：
1
S
n
是等差数列；
(2)求a
n
的表达式.
题型二等差数列的基本量的计算
例2设a
1
，d为实数，首项为a
1
，公差为d的等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，满足
S
5
S
6
＋15＝0.
(1)若S
5
＝5，求S
6
及a
1
；
(2)求d的取值范围.
探究提高(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a
1
，a
n
，d，n，
S
n
，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.
(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a
1
和d是等差数
列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.
(2011·福建)已知等差数列{a
n
}中，a
1
＝1，a
3
＝－3.
(1)求数列{a
n
}的通项公式；
(2)若数列{a
n
}的前k项和S
k
＝－35，求k的值.
题型三等差数列的前n项和及综合应用
例3(1)在等差数列{a
n
}中，已知a
1
＝20，前n项和为S
n
，且S
10
＝S
15
，求当n取何值
时，S
n
取得最大值，并求出它的最大值；
(2)已知数列{a
n
}的通项公式是a
n
＝4n－25，求数列{|a
n
|}的前n项和.
探究提高求等差数列前n项和的最值，常用的方法：①利用等差数列的单调性，求
出其正负转折项；②利用性质求出其正负转折项，便可求得和的最值；③将等差数列
的前n项和S
n
＝An2＋Bn(A、B为常数)看做二次函数，根据二次函数的性质求最值.
设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
1
<0，S
2009
＝0.
(1)求S
n
的最小值及此时n的值；
(2)求n的取值集合，使a
n
≥S
n
.
A组专项基础训练题组
一、选择题
1.设数列{a
n
}是等差数列，其前n项和为S
n
，若a
6
＝2且S
5
＝30，则S
8
等于()
A.31B.32C.33D.34
2.数列{a
n
}为等差数列，a
10
＝33，a
2
＝1，S
n
为数列{a
n
}的前n项和，则S
20
－2S
10
等于()
A.40B.200C.400D.20
3.(2011·大纲全国)设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若a
1
＝1，公差d＝2，S
k＋2
－S
k
＝24，
则k等于()
A.8B.7C.6D.5
二、填空题
4.(2011·辽宁)S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，S
2
＝S
6
，a
4
＝1，则a
5
＝________.
5.设S
n
为等差数列{a
n
}的前n项和，若S
3
＝3，S
6
＝24，则a
9
＝________.
6.等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且6S
5
－5S
3
＝5，则a
4
＝________.
三、解答题
7．在等差数列{a
n
}中，已知a
2
＋a
7
＋a
12
＝12，a
2
·a
7
·a
12
＝28，求数列{a
n
}的通项公式．
8.已知数列{a
n
}的通项公式a
n
＝pn2＋qn(p、q∈R，且p、q为常数).
(1)当p和q满足什么条件时，数列{a
n
}是等差数列；
(2)求证：对任意实数p和q，数列{a
n＋1
－a
n
}是等差数列.