等差数列求和公式推导
-型钢混凝土结构
2023年2月23日发(作者：铸铁工艺)1
等差数列求和公式
教学目标
1．知识目标
(1)掌握等差数列前n项和公式，理解公式的推导方法；
(2)能较熟练应用等差数列前n项和公式求和。
2．能力目标
经历公式的推导过程，体会数形结合的数学思想，体验从特殊到一般的研究
方法，学会观察、归纳、反思和逻辑推理的能力。
3．情感目标
通过生动具体的现实问题，激发学生探究的兴趣和欲望，树立学生求真的勇
气和自信心，增强学生学好数学的心理体验，产生热爱数学的情感,体验在学习中
获得成功。
教学重点、难点
1．等差数列前n项和公式是重点。
2．获得等差数列前n项和公式推导的思路是难点。
教学过程
复习回顾：
1．等差数列的定义；
2．等差数列的通项公式。
新课引入：
问题一：
介绍德国著名数学家高斯，相传高斯在10岁那年他的算术老师给他出了一道
算术题：1+2+3+…+100=？。结果高斯很快就算出了答案，你知道高斯是怎么很快
的算出结果的吗？
请同学起来回答，如何进行首尾配对求和：
123...100
n
S=
(1100)(299)...(5051)
=
100
1100
2
（）
=5050.
师：非常好！这位同学和数学家高斯一样聪明！这里高斯的配对法就是采用
的“首尾配对法”。师：这里1,2,3，…，100这是一个什么数列？生：等差数列。
师：这里123...100就是在求一个等差数列的和的问题。引出课题：7.2.2等
差数列求和。
一、数列的前n项和意义
一般地，设有数列
123
,,,,,
n
aaaa…,我们把
123n
aaaa叫做数列{}
n
a的
前n项和，记作
n
S．即
123nn
Saaaa．
2
问题二：
（课件出示印度泰姬陵的图片），介绍传说中的泰姬陵陵寝中有一个三角形
图案，以相同大小的圆宝石镶饰而成，共21层。你知道镶饰这个图案一共花了多
少宝石吗？
学生回答：即求
21
12321S。师：怎么求？
生：仿照上面的方法，首尾配对（1+21）+（2+20）+…+(10+12)。师：这里
一共配成了几对呢？生：10对，再加上中间一个数11，得到结果231。师：很好。
我们用高斯的首尾配对法也能求出结果来。那么，有没有更简单一点的配对方法
呢？
课件演示，在三角形红宝石图案旁添一个相同倒置三角形蓝宝石图案，将两
个三角形拼成平行四边形。则
原三角形红宝石图案：
21
12321S，
后添的三角形蓝宝石图案：
21
2120191S，
平行四边形图案所有宝石数：
21
2(121)21S，
所以，
21
(121)21
231
2
S
。
这种求和方法叫倒序相加法，与高斯的首尾相配法原理如出一辙。
师：上面我们求了
10021
,SS，在这两个问题中，最后，这个和都可以写成首项
与末项的和乘以项数的一半。那么，是不是所有的等差数列都有1
()
2
n
n
aan
S
这
个求和公式呢？下面我们来证明这个公式。
二．等差数列的前n项和公式
设有等差数列{}
n
a：
123
,,,,,
n
aaaa公差为d，前n项和为
n
S，则
1111
()(2)[(1)]
n
Saadadand；
()(2)[(1)]
nnnnn
Saadadand.
将两式分别相加，得：
1
2()
nn
Snaa，
由此得到等差数列{}
n
a的前n项和的公式
1
()
2
n
n
aan
S
（公式一）
说明：这里一共有4个量，已知3个量就可以求出第4个量。
3
因为
1
(1)
n
aand，所以上面的公式又可以写成
1
(1)
2n
nn
Snad
（公式二）
例题：
例1：在等差数列{a}
n
中，
（1）已知
110
3,101aa，求
10
S；（2）已知
1
1
3,
2
ad
，求
8
S。
通过此例题，让学生体会在具体的问题中如何根据已知条件选择适当的求和
公式。
例2：一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放1支铅笔，往上每一层都比它下面
一层多放1支，最上面一层放120支。这个V形架上共放了多少支铅笔？
请学生回答。先归结为数学问题，然后选择适当的求和公式，代入求解。
课堂小练：
1．计算：
135(21)n
。
2．已知数列{a}
n
为等差数列，
(1)若
18
5,10aa，求
8
S；
(2)若
12
5,10aa，求
8
S；
(3)若
27
5,10aa，求
8
S；
例3：已知等差数列－10，－6，－2，2，…，的前多少项和为54？
例4：在等差数列{a}
n
中，已知
1315
,,
222nn
daS
，求
1
a及n。
请学生思考，列出两个关于
1
a和n的方程，再求解。
说明：在等差数列的通项公式与前n项公式中，含有
1
,,,,
nn
adnaS五个量，已
知其中的3个量就可以求出余下的两个量。
课堂小结：
1．等差数列前n项和Sn公式的推导--倒序相加法；
2．等差数列前n项和Sn公式的记忆与应用；
1
()
2
n
n
aan
S
（公式一）；
1
(1)
2n
nn
Snad
（公式二）