复合函数求导公式
-鞘栓
2023年2月23日发(作者：小学一年级数学思维训练)复合函数的导数及对数函数、指数函数的导数
[教学要求]：
1、能对复合函数进行恰当、准确的“分解”，分清复合函数的层次结构，理解复合函数的求
导法则，并能准确应用。
2、准确记忆对数与指数函数的求导法则，并结合函数四则运算的求导法则与复合函数的求
导法则，准确应用对数函数与指数函数的求导公式。
[教学重点]：复合函数求导法则的应用和指数函数、对数函数的求导公式的运用
[教学难点]：分清复合函数的结构层次
[知识概要]：
1、复合函数：已知函数u=g(x)，定义域为M，值域为N，函数y=f(u)，定义域为N；y通
过u构成x的新函数
y=f[g(x)]，称y为x的复数函数，其中u为中间变量。
如：u=g(x)=3x+1,y=f(u)=sinu，则y=f[g(x)]=sin(3x+1)
2、复合函数的求导法则
若u=g(x)在x处可导，y=f(u)在x的对应点u处可导y′
u
=f′
(u)
，则y=f[g(x)]在点x可导，
且y′
x
=y′
u
·u′
x
，即f[g(x)]′=f′
(u)
·g′
(x)
。
即复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导数，乘中间变量对自变量的导数。
如，y=sin(3x+1)，其中，y=sinu,u=3x+1
∴y′
x
=y′
u
·u′
x
=cosu(3x+1)′=3cos(3x+1)
3、运用复合函数的求导法则要注意：
准确判断复合函数的复合关系是用好法则的前提。
应该从外向里分析，最外层的主体函数结构是以基本函数为主要形式，各层的中间变量结构
也都是基本函数关系，这样一层一层分析，最里层应是关于自变量x的基本函数或关于自变量x
的基本函数经有限次四则运算而得到的函数。
4、指数、对数函数求导公式，不要求掌握推导过程，只要求会运用公式。
[典型例题]
例1．求y=(2x+1)5的导数。
解：设y=u5,u=2x+1，则
y
x
′=y
u
′·u
x
′=(u5)′·(2x+1)′
x
=5u4·2=5(2x+1)4·2=10(2x+1)4。
点评：①准确分清复合函数的结构层次
如y=f(x)=2x+1，y=g(x)=x5
则y=f[g(x)]=2x5+1,
y=g[f(x)]=(2x+1)5是不同的函数。
②复合函数的求导熟练以后，中间步骤可以省略，不必再写出函数的复合过程，对经过多次
复合及四则运算而形成的复合函数，可以直接应用公式和法则，以最外层开始由外及内，逐层求
导。
例2．求的导数。
解：，
设，u=2x+1,
∴.
点评：将根式与分式形式写成分数指数与负指数形式，转化为幂函数的复合形式求导，会使
问题得到简化，注意这种识别与转化。
如：，。
例3：求导①②
解：方法1：①令y=lnu,,
∴
.
方法2：先将商的对数化为对数的差
y=ln(1+3x2)-ln(2-x2)
∴.
②方法1：令y=lnu,,
∴
.
方法2：原函数定义域为-1 ∴. 点评：①先将函数化简，再求导会简化运算过程 ②化简函数时，要注意保证等价变形（即函数的定义域不能改变） 例4：已知f(x)在R上可导，F(x)=f(x2-4)+f(4-x2)，求F′(2)。 解：F′(x)=2xf′(x2-4)-2xf′(4-x2) ∴F′(2)=4f′(0)-4f′(0)=0。 例5：证明：可导的奇函数其导函数是偶函数 证明：方法一：运用导数的定义来证，f′(-x)=f′(x) ∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x) ∴ 。 方法二：用复合函数求导法则 ∵f(x)为奇函数，∴f(-x)=-f(x) 两边对x求导，得f′(-x)·(-x)′=-f′(x)即-f′(-x)=-f′(x) ∴f′(-x)=f′(x)。 例6：求导：(1)y=2x·ex(2)(3) 解：(1)y′=2xln2·ex+2x·ex=(ln2+1)·2x·ex. (2),令y=an,, ∴. (3) . 点评：(1)在y=2x·ex求导中，有同学写成即将乘法运算与复合运算混淆。 (2)在求导中，有同学先化为后，。 错在将指数函数y=ax(a为常数)与幂函数y=xn(n为常数)混淆。 例7：已知0 解：y>0，两边取对数得 ∵y是x的函数，由复合函数的求导法则对上式两边求导，得： ∴,∵, ∴. 点评：本题可利用求导的四则运算法则予以求导，本题利用取对数法求导，好在可以把积商 求导化为较简单的和、差求导，把幂和根式的求导问题简单化。但运用此法时，要注意可以取对 数的条件。 例8：y=(tanx)sinx 解：