导函数
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2023年2月23日发(作者：布朗斯特酸碱理论)沛县汉城国际学校高二数学组选修1-1导学单时间：12月20日备课人：张允力审核人：封心杰
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3．2.1常见函数的导数
【学习要求】
1．能根据定义求函数y＝c，y＝kx＋b，y＝x，y＝x2，y＝
1
x
的导数．2．能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数．
【学法指导】
1．通过定义求导数的过程，培养归纳、探求规律的能力，提高学习兴趣．
2．本节公式是后面几节课的基础，记准公式是学好本章内容的关键．记公式时，要注意观察公式之间的联系，如公式5是公式4
的特例，公式7是公式6的特例．公式4与公式6中lna的位置的不同等.
课前预习
1．几个常用函数的导数
原函数导函数
f(x)＝kx＋bf′(x)＝k
f(x)＝C(C为常数)f′(x)＝____
f(x)＝xf′(x)＝____
f(x)＝x2f′(x)＝____
f(x)＝
1
x
f′(x)＝______
2．基本初等函数的导数公式
原函数导函数
f(x)＝xα(α为常数)f′(x)＝________
f(x)＝sinxf′(x)＝________
f(x)＝cosxf′(x)＝________
f(x)＝axf′(x)＝______(a>0，且a≠1)
f(x)＝exf′(x)＝________
f(x)＝log
a
xf′(x)＝________(a>0且a≠1)
f(x)＝lnxf′(x)＝________
学生活动
活动一几个常用函数的导数
问题怎样利用定义求函数y＝f(x)的导数？
例1已知f(x)＝x3，求f′(x)．跟踪训练1已知f(x)＝x，利用定义求f′(x)．
沛县汉城国际学校高二数学组选修1-1导学单时间：12月20日备课人：张允力审核人：封心杰
2
活动二基本初等函数的导数公式
例2求下列函数的导数：
(1)y＝sin
π
3
；(2)y＝5x；(3)y＝
1
x3；(4)y＝
4
x3；(5)y＝log
3
x.
跟踪训练2求下列函数的导数：
(1)y＝x8；(2)y＝(
1
2
)x；(3)y＝xx；(4)y＝.
例3判断下列计算是否正确．求f(x)＝cosx在x＝
π
3
处的导数，过程如下：f′
π
3
＝
cos
π
3
′＝－sin
π
3
＝－
3
2
.
跟踪训练3求函数f(x)＝
1
3
x
在x＝1处的导数．
活动三导数公式的综合应用
例4已知直线x－2y－4＝0与抛物线y2＝x相交于A、B两点，O是坐标原点，试在抛物线的弧上求一点P，
使△ABP的面积最大．
跟踪训练4点P是曲线y＝ex上任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离．
课堂检测
1．给出下列结论：①若y＝
1
x3，则y′＝－
3
x4；②若y＝
3
x，则y′＝；③若y＝
1
x2，则y′＝－2x－3；
④若f(x)＝3x，则f′(1)＝3.其中正确的序号是________．
2．函数f(x)＝x，则f′(3)等于________．
3．设正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是__________________．
4．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为________．
课堂小结
1．利用常见函数的导数公式可以比较简捷的求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公式．解题时，能认真观察函数的结构
特征，积极地进行联想化归．2．有些函数可先化简再应用公式求导．3．对于正余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是
注意符号的变化.
自我检测
x
3
1
log
3
3x
沛县汉城国际学校高二数学组选修1-1导学单时间：12月20日备课人：张允力审核人：封心杰
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1．下列结论中正确的个数为________．
①f(x)＝ln2，则f′(x)＝
1
2
；
②f(x)＝
1
x2，则f′(3)＝－
2
27
；
③f(x)＝2x，则f′(x)＝2xln2；
④f(x)＝log
2
x，则f′(x)＝
1
xln2
.
2．过曲线y＝
1
x
上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标为________．
3．已知f(x)＝xa，若f′(－1)＝－4，则a的值等于________．
4．函数f(x)＝x3的斜率等于1的切线有________条．
5．若f(x)＝10x，则f′(1)＝________.
6．曲线y＝
1
4
x3
在x＝1处的切线的倾斜角的正切值为______．
7．求下列函数的导数：
(1)y＝xx；(2)y＝
1
x4；(3)y＝
5
x3；(4)y＝log
2
x2－log
2
x；(5)y＝－2sin
x
2
1－2cos2
x
4
.
8．若曲线y＝x－
1
2
在点(a，a－
1
2
)处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a＝________.
9．已知直线y＝kx是曲线y＝ex的切线，则实数k的值为________．
10．直线y＝
1
2
x＋b是曲线y＝lnx(x>0)的一条切线，则实数b＝________.
11．求与曲线y＝
3
x2在点P(8,4)处的切线垂直于点P的直线方程．
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12．已知抛物线y＝x2，直线x－y－2＝0，求抛物线上的点到直线的最短距离．
13．设f
0
(x)＝sinx，f
1
(x)＝f′
0
(x)，f
2
(x)＝f′
1
(x)，…，f
n＋1
(x)＝f′
n
(x)，n∈N，试求f
2012
(x)．