数学三角函数

数学三角函数

-不在意英文

2023年2月23日发(作者：书吧设计)

高中数学三角函数公式汇总

一、任意角的三角函数

在角



的终边上任取

．．

一点

),(yxP

，记：22yxr

，

正弦：

r

y

sin

余弦：

r

x

cos

正切：

x

y

tan

余切：

y

x

cot

正割：

x

r

sec

余割：

y

r

csc

注：我们还可以用单位圆中的有向线段表示任意角的三角函数：如图，与

单位圆有关的有向

．．

线段MP、OM、AT分别叫做角



的正弦线、余弦线、正

切线。

二、同角三角函数的基本关系式

倒数关系：1cscsin，1seccos，1cottan。

商数关系：







cos

sin

tan

，







sin

cos

cot

。

平方关系：1cossin22，22sectan1，22csccot1。

三、诱导公式

⑴k2)(Zk

、

、、

、2的三角函数值，等于



的

同名函数值，前面加上一个把



看成

．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名

不变，符号看象限）

⑵





2

、





2

、





2

3

、





2

3

的三角函数值，等于



的异名函数值，

前面加上一个把



看成

．．

锐角时原函数值的符号。（口诀：函数名改变，符号看

象限）

四、和角公式和差角公式

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(







tantan1

tantan

)tan(













tantan1

tantan

)tan(







五、二倍角公式

cossin22sin

2222sin211cos2sincos2cos…

)(







2tan1

tan2

2tan





二倍角的余弦公式

)(

有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

2cos22cos12sin22cos1

2)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1

2

2cos1

cos2









，

2

2sin1

sin2









，











2cos1

2sin

2sin

2cos1

tan









。

六、万能公式（可以理解为二倍角公式的另一种形式）







2tan1

tan2

2sin





，







2

2

tan1

tan1

2cos





，







2tan1

tan2

2tan





。

万能公式告诉我们，单角的三角函数都可以用半角的正切

．．

来表示。

七、和差化积公式

2

cos

2

sin2sinsin







…⑴

2

sin

2

cos2sinsin







…⑵

2

cos

2

cos2coscos









…⑶

2

sin

2

sin2coscos









…⑷

了解和差化积公式的推导，有助于我们理解并掌握好公式：

2

sin

2

cos

2

cos

2

sin

22

sinsin

































2

sin

2

cos

2

cos

2

sin

22

sinsin

































两式相加可得公式⑴，两式相减可得公式⑵。

2

sin

2

sin

2

cos

2

cos

22

coscos

































2

sin

2

sin

2

cos

2

cos

22

coscos

































两式相加可得公式⑶，两式相减可得公式⑷。

八、积化和差公式

)sin()sin(

2

1

cossin

)sin()sin(

2

1

sincos

)cos()cos(

2

1

coscos

)cos()cos(

2

1

sinsin

我们可以把积化和差公式看成是和差化积公式的逆应用。

九、辅助角公式

)sin(cossin22xbaxbxa（）

其中：角的终边所在的象限与点),(ba所在的象限相同，

22

sin

ba

b





，

22

cos

ba

a





，

a

b

tan

。

十、正弦定理

R

C

c

B

b

A

a

2

sinsinsin



（R为ABC外接圆半径）

十一、余弦定理

Abccbacos2222

Baccabcos2222

Cabbaccos2222

十二、三角形的面积公式

高底

2

1

ABC

S

BcaAbcCabS

ABC

sin

2

1

sin

2

1

sin

2

1





（两边一夹角）

R

abc

S

ABC4





（R为ABC外接圆半径）

r

cba

S

ABC







2

（r为ABC内切圆半径）

))()((cpbpappS

ABC





…海仑公式（其中

2

cba

p





）

x

y

)2,2(A

o

0yx

cossin

cossin

cossin

x

y

)2,2(A

o

0yx

0cossin

0cossin

0cossin

十三诱导公式

公式一：

设α为任意角，终边相同的角的同一三角函数的值相等

k是整数

sin（2kπ+α）=sinα

cos（2kπ+α）=cosα

tan（2kπ+α）=tanα

cot（2kπ+α）=cotα

sec（2kπ+α）=secα

csc（2kπ+α）=cscα

公式二：

设α为任意角，π+α的三角函数值与α的三角函数值之间的关

系

sin（π+α）=－sinα

cos（π+α）=－cosα

tan（π+α）=tanα

cot（π+α）=cotα

sec(π+α)=-secα

csc(π+α)=-cscα

公式三：

任意角α与-α的三角函数值之间的关系

sin（－α）=－sinα

cos（－α）=cosα

tan（－α）=－tanα

cot（－α）=－cotα

sec(-α)=secα

csc(-α)=-cscα

公式四：

利用公式二和公式三可以得到π-α与α的三角函数值之间的关

系

sin（π－α）=sinα

cos（π－α）=-cosα

tan（π－α）=－tanα

cot（π－α）=－cotα

sec(π-α)=-secα

csc(π-α)=cscα

公式五：

利用公式四和三角函数的奇偶性可以得到α-π与α的三角函数

值之间的关系

sin（α-π）=－sinα

cos（α-π）=－cosα

tan（α-π）=tanα

cot（α-π）=cotα

sec(α-π)=-secα

csc(α-π)=－cscα

公式六：

利用公式一和公式三可以得到2π-α与α的三角函数值之间的

关系

sin（2π－α）=－sinα

cos（2π－α）=cosα

tan（2π－α）=－tanα

cot（2π－α）=－cotα

sec(2π-α)=secα

csc(2π-α)=-cscα

公式七：

π/2±α及3π/2±α与α的三角函数值之间的关系

sin（π/2+α）=cosα

cos（π/2+α）=－sinα

tan（π/2+α）=－cotα

cot（π/2+α）=－tanα

sec(π/2+α)=-cscα

csc(π/2+α)=secα

sin（π/2－α）=cosα

cos（π/2－α）=sinα

tan（π/2－α）=cotα

cot（π/2－α）=tanα

sec(π/2-α)=cscα

csc(π/2-α)=secα

sin（3π/2+α）=－cosα

cos（3π/2+α）=sinα

tan（3π/2+α）=－cotα

cot（3π/2+α）=－tanα

sec(3π/2+α)=cscα

csc(3π/2+α)=-secα

sin（3π/2－α）=－cosα

cos（3π/2－α）=－sinα

tan（3π/2－α）=cotα

cot（3π/2－α）=tanα

sec(3π/2-α)=-cscα

csc(3π/2-α)=-secα

下面的公式再记一次，大家：

四、和角公式和差角公式

sincoscossin)sin(

sincoscossin)sin(

sinsincoscos)cos(

sinsincoscos)cos(







tantan1

tantan

)tan(













tantan1

tantan

)tan(







五、二倍角公式

cossin22sin

2222sin211cos2sincos2cos

…

)(







2tan1

tan2

2tan





二倍角的余弦公式

)(

有以下常用变形：（规律：降幂扩角，升幂缩角）

2cos22cos12sin22cos1

2)cos(sin2sin12)cos(sin2sin1

2

2cos1

cos2









，

2

2sin1

sin2









，











2cos1

2sin

2sin

2cos1

tan









。