全国三卷

全国三卷

-想吃苹果的鼠小弟绘本

2023年2月23日发(作者：儿童涂色画)

2019年全国卷Ⅲ高考理数试题

1．已知集合2{1,0,1,2}{|1}ABxx，，则AB

A．

1,0,1

B．

0,1

C．

1,1

D．

0,1,2

2．若

(1i)2iz

，则z=

A．1iB．1+iC．1iD．1+i

3．《西游记》《三国演义》《水浒传》和《红楼梦》是中国古典文学瑰宝，并称为中国古

典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位学生，

其中阅读过《西游记》或《红楼梦》的学生共有90位，阅读过《红楼梦》的学生共有

80位，阅读过《西游记》且阅读过《红楼梦》的学生共有60位，则该校阅读过《西游

记》的学生人数与该校学生总数比值的估计值为

A．0.5B．0.6C．0.7D．0.8

4．（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为

A．12B．16C．20D．24

5．已知各项均为正数的等比数列｛an

}的前4项和为15，且a5=3a3+4a1，则a3=

A．16B．８C．４D．２

6．已知曲线elnxyaxx在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则

A．e1ab，B．a=e，b=1C．1e1ab

，D．1ea

，

1b

7．函数

32

22xx

x

y

在6,6的图像大致为

A．B．

C．D．

11．设fx是定义域为R的偶函数，且在0,+单调递减，则

A．

f

（log3

1

4

）＞

f

（

3

22

）＞

f

（

2

32

）

B．

f

（log3

1

4

）＞

f

（

2

32

）＞

f

（

3

22

）

C．

f

（

3

22

）＞

f

（

2

32

）＞

f

（log3

1

4

）

D．

f

（

2

32

）＞

f

（

3

22

）＞

f

（log3

1

4

）

12．设函数fx=sin（

5

x）（

＞0)，已知fx在0,2有且仅有5个零点，下述

四个结论：

①

fx

在（

0,2

）有且仅有3个极大值点

②

fx

在（

0,2

）有且仅有2个极小值点

③fx在（0,

10

）单调递增

④的取值范围是［

1229

510

，)

其中所有正确结论的编号是

A．①④B．②③C．①②③D．①③④

13．已知a，b为单位向量，且a·b=0，若

25cab

，则cos,ac___________.

14．记Sn为等差数列｛an}的前n项和，

121

03aaa≠，

，则

10

5

S

S

___________.

15．设

12

FF，

为椭圆C:

22

+1

3620

xy

的两个焦点，M为C上一点且在第一象限.若

12

MFF△

为

等腰三角形，则M的坐标为___________.

16．学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型．如图，该模型为长方体

1111

ABCDABCD

挖去四棱锥O—EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，

F，G，H分别为所在棱的中点，

1

6cm4cmAB=BC=,AA=

，3D打印所用原料密度

为0.9g/cm3，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为___________g.

17．（12分）

为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只小鼠随机分成

A，Ｂ两组，每组100只，其中A组小鼠给服甲离子溶液，Ｂ组小鼠给服乙离子溶液，每

只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残

留在小鼠体内离子的百分比.根据试验数据分别得到如下直方图：

记C为事件：“乙离子残留在体内的百分比不低于5.5”，根据直方图得到P（C）的估

计值为0.70．

（1）求乙离子残留百分比直方图中a，b的值；

（2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值

为代表）．

18．（12分）

△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sinsin

2

AC

abA．

（1）求B；

（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．

19．（12分）

图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB=1，BE=BF=2，

∠FBC=60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连结DG，如图2.

（1）证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

（2）求图2中的二面角B-CG-A的大小．

20．（12分）

已知函数32()2fxxaxb.

（1）讨论

()fx

的单调性；

（2）是否存在

,ab

，使得

()fx

在区间

[0,1]

的最小值为1且最大值为1？若存在，求

出

,ab

的所有值；若不存在，说明理由．

21．已知曲线C：y=

2

2

x

，D为直线y=

1

2

上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，

B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，

5

2

)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形

ADBE的面积．

（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第

一题计分。

22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）

如图，在极坐标系Ox中，

(2,0)A

，(2,)

4

B

，(2,)

4

C

，

(2,)D

，弧

AB

，

BC

，

CD

所在圆的圆心分别是

(1,0)

，(1,)

2

，

(1,)

，曲线

1

M是弧

AB

，曲线

2

M是弧

BC

，

曲线

3

M

是弧

CD

.

（1）分别写出

1

M，

2

M，

3

M的极坐标方程；

（2）曲线M由

1

M

，2

M

，3

M

构成，若点P在

M

上，且||3OP，求

P

的极坐标

1．Ａ2．Ｄ3．Ｃ4．Ａ5．Ｃ6．Ｄ7．Ｂ8．Ｂ9．Ｃ10．A

11．Ｃ12．Ｄ

13．

2

3

14．４15．(3,15)16．118.8

三、解答题

17．解：（1）由已知得0.70=a+0.20+0.15，故a=0.35．

b=1–0.05–0.15–0.70=0.10．

（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为

2×0.15+3×0.20+4×0.30+5×0.20+6×0.10+7×0.05=4.05．

乙离子残留百分比的平均值的估计值为

3×0.05+4×0.10+5×0.15+6×0.35+7×0.20+8×0.15=6.00．

18．解：（1）由题设及正弦定理得sinsinsinsin

2

AC

ABA．

因为sinA0，所以sinsin

2

AC

B．

由180ABC

，可得sincos

22

ACB

，故cos2sincos

222

BBB

．

因为cos0

2

B

，故

1

sin

22

B

，因此B=60°．

（2）由题设及（1）知△ABC的面积

3

4ABC

Sa△

．

由正弦定理得

sin120

sin31

sinsin2tan2

C

cA

a

CCC

．

由于△ABC为锐角三角形，故0°＜A<90°，0°＜C<90°，由（1）知A+C=120°，所以30°

1

2

2

a，从而

33

82ABC

S

△

．

因此，△ABC面积的取值范围是

33

,

82

．

19．解：（1）由已知得

ADBE

，

CGBE

，所以

ADCG

，故

AD

，

CG

确定一个平面，从而

A

，

C

，

G，D四点共面．

由已知得ABBE，ABBC，故AB平面BCGE．

又因为AB平面ABC，所以平面ABC平面BCGE．

（2）作EHBC，垂足为H．因为EH平面BCGE，平面BCGE平面ABC，所以EH平面

ABC．

由已知，菱形BCGE的边长为2，∠EBC=60°，可求得BH=1，EH=3．

以H为坐标原点，

HC

的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系H–xyz，

则A（–1，1，0），C（1，0，0），G（2，0，

3

），CG=（1，0，

3

），AC=

（2，–1，0）．

设平面ACGD的法向量为n=（x，y，z），则

0,

0,

CG

AC

n

n

即

30,

20.

xz

xy

所以可取n=（3，6，–3）．

又平面BCGE的法向量可取为m=（0，1，0），所以

3

cos,

||||2

nm

nm

nm

．

因此二面角B–CG–A的大小为30°．

20.解：（1）

2()622(3)fxxaxxxa．

令()0fx，得x=0或

3

a

x.

若a>0，则当

(,0),

3

a

x

时，()0fx；当0,

3

a

x

时，

()0fx

．故

()fx

在

(,0),,

3

a

单调递增，在0,

3

a

单调递减；

若a=0，()fx在(,)单调递增；

若a<0，则当,(0,)

3

a

x时，()0fx；当,0

3

a

x

时，()0fx．故

()fx在,,(0,)

3

a

单调递增，在,0

3

a

单调递减．

（2）满足题设条件的a，b存在．

（i）当a≤０时，由（1）知，()fx在[0，1]单调递增，所以()fx在区间[0，l]的最

小值为(0)=fb，最大值为(1)2fab.此时a，b满足题设条件当且仅当1b，

21ab，即a=0，1b．

（ii）当a≥３时，由（1）知，()fx在[0，1]单调递减，所以()fx在区间[0，1]的

最大值为

(0)=fb

，最小值为

(1)2fab

．此时a，b满足题设条件当且仅当

21ab，b=1，即a=4，b=1．

（iii）当0

3

327

aa

fb，最大

值为b或2ab．

若

3

1

27

a

b，b=1，则332a，与0

若

3

1

27

a

b，21ab，则33a或33a或a=0，与0

综上，当且仅当a=0，1b或a=4，b=1时，()fx在[0，1]的最小值为-1，最大值为

1．

21．解：（1）设

11

1

,,,

2

DtAxy

，则2

112xy

.

由于y'x，所以切线DA的斜率为

1x，故

1

1

1

1

2

y

x

xt

.

整理得

1122+1=

设

22

,Bxy

，同理可得2222+1=0txy.

故直线AB的方程为2210txy.

所以直线AB过定点

1

(0,)

2

.

（2）由（1）得直线AB的方程为

1

2

ytx.

由

2

1

2

2

ytx

x

y

，可得2210xtx.

于是2

12121212

2,1,121xxtxxyytxxt

，

2

222

121212

||11421ABtxxtxxxxt.

设

12

,dd分别为点D，E到直线AB的距离，则2

12

2

2

1,

1

dtd

t

.

因此，四边形ADBE的面积22

12

1

||31

2

SABddtt.

设M为线段AB的中点，则21

,

2

Mtt

.

由于EMAB，而2,2EMtt

，AB与向量

(1,)t

平行，所以220ttt.

解得

t

=0或

1t

.

当t=0时，S=3；当1t时，42S.

因此，四边形ADBE的面积为3或42.

22.解：（1）由题设可得，弧,,ABBCCD所在圆的极坐标方程分别为2cos，

2sin，2cos.

所以

1

M的极坐标方程为

π

2cos0

4

，

2

M的极坐标方程为

π3π

2sin

44

，

3

M的极坐标方程为

3π

2cosπ

4

.

（2）设(,)P，由题设及（1）知

若

π

0

4

，则2cos3，解得

π

6

；

若

π3π

44

，则2sin3，解得

π

3

或

2π

3

；

若

3π

π

4

，则2cos3，解得

5π

6

.

综上，P的极坐标为

π

3,

6

或

π

3,

3

或

2π

3,

3

或

5π

3,

6

.