圆的一般式

圆的一般式

万薇-社会实践的好处

2023年2月23日发(作者：世林化工)

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2.3.1圆的标准方程

2.3.2圆的一般方程

典题精讲

例1求过三点A(1,12)、B(7,10)、C(-9,2)的圆的方程,并求出圆的圆心与半径,作出图形.

思路分析:因为圆过三个定点,故可以设圆的一般式方程来求圆的方程.

解：设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,依题意有

图2-3-(1,2)-1

解得D=-2,E=-4,F=-95.

于是所求圆的方程为x2+y2-2x-4y-95=0.

将上述方程配方得(x-1)2+(y-2)2=100.

于是,圆的圆心D的坐标为(1,2),半径为10,图形如图2-3-(1,2)-1所示.

绿色通道：求过三个定点的圆的方程往往采用待定系数法求解.利用圆经过不在同一直线上

的三点的条件,由待定系数法求出圆的一般式方程,并由此讨论圆的几何性质.

对于由一般式给出的圆的方程,研究其几何性质(圆心与半径等)时,常可用配方法或公式法

加以求解.

变式训练1已知圆C与圆(x-1)2+y2=1关于直线y=-x对称，则圆C的方程为()

A.(x+1)2+y2=1B.x2+y2=1C.x2+(y+1)2=1D.x2+(y-1)2=1

思路解析:求出圆心(1,0)关于直线y=-x的对称点为(0,-1),得到圆C的圆心.故选C.

答案：C

例2求下列圆的方程:

(1)圆心在直线y=-2x上,且与直线y=1-x相切于点(2,-1)；

(2)圆心为C(0,3),且截直线y=x+1所得弦长为4.

思路分析:利用圆的标准方程,把条件转化为关于圆心和半径的方程组来求解.

解：(1)设圆心(a,-2a),圆的方程为(x-a)2+(y-2a)2=r2.

由解得

∴所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=2.

(2)设圆的方程为(x-3)2+y2=r2,利用点到直线的距离公式可以求得d=|=,再根

据垂径定理可知r=.

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∴所求圆的方程为(x-3)2+y2=12.

绿色通道：在解决与圆相关的问题时,如果涉及到圆心和半径,或者截得的弦长等问题,一般

选用圆的标准方程来解题.

变式训练2已知圆的半径为,圆心在直线y=2x上,圆被直线x-y=0截得的弦长为,

求圆的方程.

解：设圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=r2,由圆心在直线y=2x上,得b=2a.①

由圆被直线x-y=0截得的弦长为,将y=x代入(x-a)2+(y-b)2=10,整理得

2x2-2(a+b)x+a2+b2-10=0.由弦长公式得.

化简得a-b=±2.②

解①②得a=2,b=4或a=-2,b=-4,

∴所求圆的方程为(x-2)2+(y-4)2=10或(x+2)2+(y+4)2=10.

例3如图2-3-(1,2)-2所示,已知圆的内接四边形ABCD中两对角线AC、BD互相垂直,垂足

为E,又F是BC的中点,试用坐标法证明EF⊥AD.

图2-3-(1,2)-2

思路分析:题中两对角线互相垂直,不妨就选它们为坐标轴,此时四个顶点的坐标表示较为简

捷.

证明：建立如图2.3(1.2)2所示的直角坐标系xOy,并设A、B、C、D的坐标分别为(0,-

a),(b,0),(0,c),(-d,0)(a、b、c、d＞0).

于是BC中点F的坐标为(,),故kEF=.

又kAD=,故kEF·ｋAD=.

由圆的相交弦定理得AE·EC=DE·EB,即ac=bd.

∴ｋEF·ｋAD=-1.∴EF⊥AD.

黑色陷阱：用坐标法处理平面几何问题的关键是建立好坐标系,此题若不以两对角线为坐标

轴,处理起来相当麻烦.在建立坐标系时,要使尽量多的点落在坐标轴上,或利用图中现有的

垂直关系.

变式训练3在△AOB中,|OB|=3,|OA|=4,|AB|=5,点P是△AOB内切圆上的点,求

|PA|2+|PB|2+|PC|2的最大值与最小值.

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图2-3-(1,2)-3

解：如图2-3-(1,2)-3建立直角坐标系,使A、B、O三点坐标分别为(4,0)、(0,3)、(0,0).

设内切圆半径为r,则有2r+|AB|=|OA|+|OB|,∴r=1.

故内切圆方程为(x-1)2+(y-1)2=1.化为x2+y2-2x-2y+1=0,①

设点P(x,y),又∵|PA|2+|PB|2+|PC|2=3x2+3y2-8x-6y+25,②

由①知x2+y2-2y=2x-1,代入②得

|PA|2+|PB|2+|PC|2=3(2x-1)-8x+25

=-2x+22.

∵x∈[0,2],

∴|PA|2+|PB|2+|PC|2最大值为22,最小值为18.

例4判断下列方程是否表示圆，如果是,求出圆心和半径；如果不是,请说明理由.

(1)x2+y2+4x-2y+12=0；

(2)x2+y2-11x+3y-30=0；

(3)3x2+2y2+3x-3y+5=0.

思路解析:本题首先要观察各题目二次项系数是否相等,判定方程是否满足表示圆的条件,再

依据公式得出圆心和半径.

答案：(1)x2+y2+4x-2y+12=0可以转化为(x+2)2+(y-1)2=-7,所以该方程不是圆的方程.

(2)在x2+y2-11x+3y-30=0中,-=,-=-,D2+E2-4F=250＞0,所以该方程表示圆心

为(,-),半径为的圆.

(3)在3x2+2y2+3x-3y+5=0中,因二次项系数不相等,所以该方程不是圆的方程.

绿色通道：

对于这类问题,首先看题中所给方程是否能化为圆的方程的一般式形式：x2+y2+Dx+Ey+F=0,

在D2+E2-4F＞0的情况下,则有(-,-)为圆心,为半径.不必死记这

个公式,要掌握通过配方将圆的一般式转化为圆的标准式的方法.

变式训练4方程ax2+ay2-4(a-1)x+4y=0表示圆,求实数a的取值范围,并求出其中半径最小

的圆的方程.

解：原方程可化为［x-］2+(y+)2=,

∵ａ2-2a+2＞0,

∴当a≠０且a∈Ｒ时,原方程表示圆.

又∵=+2≥2,

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当且仅当a=2时等号成立.

∴a=2时圆的半径最小,此时圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=2.

问题探究

问题1探究圆的标准方程和圆的一般方程的异同点.

导思：求圆的方程一般采用待定系数法，探究求圆的标准方程和圆的一般方程的异同点就

是确定待定系数个数是否相同,待定系数的特征是否相同,需要具备什么样的已知条件才能

分别求出这两种圆的方程.

探究：相同点：圆的标准方程和圆的一般方程中都有三个未知量(圆的标准方程中有三个待

定系数:a、b、r，圆的一般方程中有三个待定系数:D、E、F)，故确定一个圆需要三个独立

的条件，一般利用待定系数法确定，基本步骤为:

(1)根据题意，设所求的圆的方程;

(2)根据已知条件，建立关于a、b、r或D、E、F的方程组；

(3)解方程组，求出a、b、r或D、E、F的值，并把它们代入所设的方程中去，就可得到所

求圆的方程.

不过针对具体问题，通过数形结合的思想，有时利用圆的几何性质解题，会有更简捷

的解题途径.

不同点：一是待定系数的含义不同，圆的标准方程中的三个待定系数有明确的几何特

征，而圆的一般方程中的三个待定系数没有明确的几何特征；二是要根据具体题目中的已

知条件确定是求圆的标准方程还是求圆的一般方程.当题目中已知圆心和半径的条件时，要

求圆的标准方程，当题目中已知圆上的三个点的时候，要求圆的一般方程.

问题2圆的一般方程是一个二元二次方程，试探究圆的一般方程与二元二次方程的关系.

导思：圆的一般方程是一个特殊的二元二次方程，也就是说只有当二元二次方程满足特定

的条件时，这个二元二次方程才能表示圆，这就需要我们把圆的一般方程和普通的二元二

次方程写出来，分析它们的具体特征和限制条件.

探究：比较圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0的系数和二元二次方程的一般形式

Ax2+Bxy+Cy2+Dx+Ey+F=0的系数可以发现，圆的一般方程是当二元二次方程的系数满足以下

三个条件时的特殊情况.

(1)x2、y2项的系数相等且不为零，即A=C≠0;

(2)没有xy项，即B=0;

(3)D2+E2-4AF＞0.

由此，我们可以发现二元二次方程不都表示圆，只有满足上面三个条件的二元二次方

程才可以表示圆，但是，所有圆的方程都是二元二次方程，圆的方程只是二元二次方程中

的一类特殊的方程.

问题3一些圆的位置比较特殊，它们的方程有何特点？

导思：圆的方程由圆心坐标和半径唯一确定.当圆与x轴相切时，圆心到x轴的距离等于圆

的半径，此时圆心的纵坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆与y轴相切时，圆心到y

轴的距离等于圆的半径，此时圆心的横坐标等于圆的半径或半径的相反数；当圆心在某一

直线上时，圆心坐标满足圆的方程.

探究：当圆心在原点时，x2+y2=r2(a=b=0)；

当圆与x轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=b2(b≠0)；

当圆与y轴相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(a≠0)；

当圆与两坐标轴都相切时，(x-a)2+(y-b)2=a2(|a|=|b|≠0)；

当圆心在x轴上时，(x-a)2+y2=r2(r≠0)或x2+y2+Dx+F=0(D2-4F＞0)；

当圆心在y轴上时，x2+(y-b)2=r2(r≠0)或x2+y2+Ey+F=0(E2-4F＞0).

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如果圆的位置符合上述情况，若按上述方程去设方程，可相对减少未知数的个数.