导数与微分

导数与微分

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2023年2月23日发(作者：囚尾)

导数的计算常用方法

①利用导数的定义

x

xfxxf

x

y

xf

xx















)()(

limlim)(00

00

0

.

讨论函数

(),,

()

,.

gxxa

fx

cxa













在点

xa

的可导性常常利用导数的定义.

②利用左、右导数与导数的关系

函数)(xf在

0

x处可导的充分必要条件是左、右导数

0

'()fx



与

0

'()fx



存在而且相等,即

)('

0

xf

0

'()fx



=

0

'()fx



.

讨论分段函数（包括绝对值函数、取极值函数max{(),()},min{(),()}fxgxfxgx）在分界点的可导

性均要使用此方法.例如，设有一定义于),(-的函数

(),

()

(),

xxa

fx

gxax



















.

其中)(x与()gx分别在区间ax-与xa可导，

ax

为其分界点.

01、当

ax-

时，由于)()(xxf，所以)(')('xxf；

02、当xa时，由于()()fxgx，所以'()'()fxgx；

03、在

ax

的左、右邻域，由于)(xf分别要从两个不同的表达式)(x与()gx去计算，所以，求

)('af必须用左、右导数的定义先求'()fa



与'()fa



.如果它们都存在而且相等，即

()()()fafafa







，则)(xf在

ax

处可导.在这里，求左、右导数应特别注意，按照定义

'

00

()()()()

()limlim

xx

faxfaaxa

fa

xx















，

'

00

()()()()

()limlim

xx

faxfagaxga

fa

xx











.

值得注意到是，不要因为当ax时，)()(xxf而认为必有)(')('xxf.在

ax

，

)(')('xxf是对的，但不能误认为)('a就是)('af，)('af可以不存在，例如函数

















,1,

,1,

1

)(

2xx

x

x

xf

它在),(处处连续，当1x时，

2

1

)('

x

xf；当1x时，xxf2)('.但在分界点1x处，)1('f

却不存在.这是因为

2

'

000

(1)(1)(1)1

(1)limlimlim(2)2

xxx

fxfx

fx

xx











，

'

000

1

1

(1)(1)1

1

(1)limlimlim1

1xxx

fxf

x

f

xxx















.

③利用导数的四则运算法则

如果函数

)(xuu

及

)(xvv

在点

x

处具有导数则它们的和、差、积、商(除分母为零的点外)

都在点

x

具有导数并且

01、[()()]()()uxvxuxvx



；

02、[().()]().()().()uxvxuxvxuxvx



；

03、

)(

)()()()(

)(

)(

2xv

xvxuxvxu

xv

xu























.

④利用复合函数的求导法则

设)(ufy而)(xgu且)(uf及)(xg都可导则复合函数)]([xgfy的导数为

x

u

u

y

x

y

d

d

d

d

d

d



或()().()yxfugx



.

⑤利用反函数求导法则

设)(yfx在区间

y

I内单调、可导且()0fy



则它的反函数)(1xfy在)(

yx

IfI内也可导

并且

)(

1

])([1

yf

xf







或

d1

ddd

y

xxy



.

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数.

⑥利用参数方程求导法则

如果)(tx与)(ty都可导，且()0,()txt

具有单调连续反函数

)(1xt，则参数方

程











)(

),(

ty

tx





确定的函数亦可导，且

ddd

ddd

yyt

xxt

或

()

()

t

x

t

y

t

y

xt















；

和

2

23

d()()()()

d()

ytttt

xt













.

⑦利用隐函数求导法

使用隐函数求导时，一定要注意方程(,)0Fxy是确定y为

x

的隐函数，还是

x

为y的隐函数，然后

对方程两边对自变量求导，注意因变量为自变量的函数.

⑧利用对数求导法

这种方法主要适用于求幂指函数()[()]vxyux()0,()1uxux的导数和由多个因子之积或商组

成的函数的导数．

（5）熟记一些简单的高阶导数导数公式

①()(e)exnx；

②()()(ln)(0,1)xnnxaaaaa；

③

)

2

sin()(sin)(



nxxn

，

)

2

cos()(cos)(



nxxn

；

④

n

nn

x

n

x

)1(

)!1(

)1()]1[ln(1)(





；

⑤

1

)(

)1(

!)1(

1

1



















n

n

n

x

n

x

；

⑥

!1.2.3)2)(1.()()(nnnnxnn

，0)()1(nnx；

⑦

n

阶导数的莱布尼兹公式

')1()()(.)(vnuvuuvnnn











n

k

kknk

n

nkknvuCuvvu

k

knnn

0

)()()()(..

!

)1()1(





.

2．微分

（1）微分的概念

设函数)(xfy在某区间内有定义

0

x及xx

0

在这区间内如果函数的增量

)()(

00

xfxxfy

可表示为

)(xoxAy.

其中A是不依赖于x的常数，则称函数)(xfy在点

0

x

是可微的而xA叫做函数)(xfy在点

0

x

相

应于自变量增量x的微分记作yd或)(dxf，即

xAyd，或xAxf)(d.

（2）函数可微的条件

函数)(xfy在点

0

x可微的充分必要条件是函数)(xfy在点

0

x可导且当函数)(xfy在点

0

x可微时其微分一定是

0

d().yfxx



.

值得注意的是，函数的导数与微分是两个不同的概念,但它们是密切有关的,可导函数一定可微,可微函

数也一定可导.导数是在一点处函数的变化率,而微分则是函数在一点处由增量x所引起的变化量(增量)

的近似值,导数的值只与

x

有关而微分的值则不仅与

x

有关也与x有关.

（3）微分的近似计算

在

0

()0fx



的条件下以微分

0

d()yfxx



近似代替增量)()(

00

xfxxfy时其误差为

(dx)o因此在x很小时有近似等式

yyd.

(4)微分的几何意义

在直角坐标系中，当函数)(xfy在点

0

xx可导，则曲线)(xfy在点),(

00

yxM的切线方程为

000

()()()yfxfxxx



，由于

00

,d()xxxyfxx



，写成yxfyd)(

0

，在点

0

xx的附

近任取点

xxx

0

，这时，函数值的增量

)()(

00

xfxxfy就是曲线)(xfy上点的纵坐标

的增量而dy就是曲线的切线上点的纵坐标的相应增量，当x很小时yyd比x小得多.因此，在

几何上，在点M的邻近我们可以用切线段来近似代替曲线段，或者说在局部用线性函数代替非线性函数.

（5）微分形式的不变性

当

u

为可导函数)(yuf的自变量时,d'()dyfuu,当

u

不是自变量而为

x

的可导函数)(xu时,

d'()dyfuu仍然成立.但是导数不具有这样的性质,当

u

为自变量时,

d

'()

d

y

fu

u

,而当)(xu时,

d

'()'()

d

y

fux

x

.因此，讲到导数,务必说明是对哪个变量的导数,而讲到微分时,则无需说明是关于哪个

变量的微分，这就是微分形式的不变性.

辅助函数的积分构造法

在微分中值定理的证明和应用中，辅助函数的构造是一个重点内容，也是一个难点问

题，很多文献探讨过辅助函数的构造技巧[1]127,[2]119，例如待定常数法、分析逆推法、乘积因

子法、几何直观法、复数法等[3][4][5]，本文只介绍一种应用十分广泛且行之有效的积分构造

法.企望能对读者的学习有所帮助.

在Roll定理的应用中，常常会遇到诸如求证至少存在一点(,)abxÎ，使得

()()()()fpfqxxxx

¢

+=（1）

成立的问题.

将式中x换成

x

，得到

()()()()fxpxfxqx

¢

+=.

这是一阶线性微分方程，若(),()pxqx是连续函数，则（1）的通解为

()()()()pxdxpxdxfxeqxedxC-轾

蝌

犏

=+

犏

臌

ò.

即

()()()()pxdxpxdxfxeqxedxC

蝌

-=ò.

令0C=,得

()()()()0pxdxpxdxfxeqxedx

蝌

-=ò

若要证明（1），需引人的辅助函数为

()()()()()pxdxpxdxFxfxeqxedx

蝌

=-ò（2）

下面讨论（2）式几种常见的特例.

情形（Ⅰ）:结论形如()()0fkfxx

¢

+=的情形.令（1）式中(),()0pxkqx==，代

入（2）式，

辅助函数可设为

()()kxFxefx=?.

情形（Ⅱ）:结论形如()()0fnfxxx

¢

+=的情形.将原式变形为()()0

n

fxfx

x

¢

+=，

令（1）式中(),()0

n

pxqx

x

==，代入（2）式，得到辅助函数为()()nFxxfx=.

情形（Ⅲ）:结论形如()()()0fgfxxx

ⅱ

+=的情形.令（1）式中

()(),()pxgxqx

¢

==，代入（2）式，辅助函数可设为()()()gxFxefx=?.易知，情形

（Ⅰ）是情形（Ⅲ）的一种重要的特例.

情形（Ⅳ）:结论形如()fCxx

¢

=的情形.令（1）式中()0,()

C

pxqx

x

==，代入（2）

式，辅助函数可设为()Fx()lnfxCx=-.

下面我们举例说明.

例1设()fx在[0,]

2

p

上可导，且

1

(0)()

22

ff

p

==.证明:至少存在一点

1

(0,)

2

xÎ，

使得()()cosffxxx

¢

+=.

分析令式（1）中的()1,()cospxqxx==.因此，可设辅助函数为

11()()cosdxdxFxfxexedx

蝌

=-ò

1

[()(cossin)]

2

xefxxx=-+

证明设

1

()[()(cossin)]

2

xFxefxxx=-+.容易知道()Fx在[0,]

2

p

满足Roll定理的

条件，因此，至少存在一点

1

(0,)

2

xÎ，使得()0Fx

¢

=，即

[()()cos]0effxxxx

¢

+-=.

消去ex，得到()()cosffxxx

¢

+=.

例2设函数()fx在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)0f=，当

0x>时，()0fx>，证明：对于任意正整数k，存在(0,1)xÎ，使得

()(1)

()(1)

fkf

ff

xx

xx

ⅱ

-

=

-

.

分析要证明的结论可以表示为()(1)()(1)0ffkffxxxx

ⅱ

---=.辅助函数必然是

由函数()fx和(1)fx-来构成，而求导后要出现k，应该是

()kfx或(1)kfx-求导后才

会出现，与情形（Ⅱ）相比较，容易得到辅助函数可设为

()()(1)kFxfxfx=-

证明令

()()(1)kFxfxfx=-(01)x<<

显然()Fx在闭区间[0,1]上连续，在开区间(0,1)内可导，且(0)(1)0FF==，由Roll定

理，至少存在(0,1)xÎ，使得()0Fx

¢

=.

即()(1)()(1)0ffkffxxxx

ⅱ

---=，

也即

()(1)

()(1)

fkf

ff

xx

xx

ⅱ

-

=

-

.

说明若()()(1)kFxfxfx=-，则

1()()[()(1)()(1)]kFxfxkfxfxfxfx-ⅱ?

=---

便知在题设条件下可证明方程

()(1)

()(1)

kfxfx

fxfx

ⅱ

-

=

-

在(0,1)内至少有一个根.

例3设函数()fx在区间[0,1]上可微，且满足2

1

1

0

(1)()

k

xfkefxdx-=?ò（1k>），

证明：存在(0,1)xÎ，使得()2()ffxxx

¢

=.

分析要证明的结论可以表示为()2()0ffxxx

¢

-=，注意到题设中出现的函数21xe-，

与情形（Ⅲ）相比较，可设辅助函数为21()()xFxefx-=?.

证明令21()()xFxefx-=?，由积分中值定理，存在

0

1

[0,]x

k

Î，使得

2

2

0

1

1

1

0

0

(1)()()

k

x

xFkfxedxefx-

-==ò，从而2

0

1

00

()()(1)(1)xFxefxfF-===.显然

()Fx在

0

[,1]x上连续，在

0

(,1)x内可导，由Roll定理，至少存在

0

(,1)(0,1)xx翁，使得

21()[()2()]0Feffxxxxx-ⅱ

=-=，

即()2()ffxxx

¢

=.

例4设0ab<<，函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，证明至

少存在一点(,)abxÎ，使得()()()ln

b

fbfaf

a

xx

¢

-=.

分析要证明的结论可以表示为

()()

()

lnln

fbfa

f

ba

xx

-

¢

=

-

，由情形（Ⅳ），可设辅助函数

()()

()()ln

lnln

fbfa

Fxfxx

ba

-

=-

-

.

证明设

()()

()()ln

lnln

fbfa

Fxfxx

ba

-

=-

-

，显然()Fx闭区间[,]ab上连续，在开区间

(,)ab内可导，且

()ln()ln

()()

lnln

fabfba

FaFb

ba

-

==

-

，由Roll定理，至少存在一点

(,)abxÎ，使得

()()1

()()0

lnln

fbfa

Ff

ba

xx

x

-

ⅱ

=-?

-

，

即()()()ln

b

fbfaf

a

xx

¢

-=.

说明要证明的结论等式左边是两个函数()fx和()gx在区间[,]ab两个端点处函数值

之差的比值，可以考虑用Cauchy中值定理来证明.由等式右边的特点并结合情形（Ⅳ），可

设()lngxx=.则()gx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且

1

()0gx

x

¢

=?，

对于函数()fx和()gx，应用Cauchy中值定理，至少存在一点(,)abxÎ，使得

()()()

lnln1

fbfaf

ba

x

x

¢

-

=

-

，

即()()()ln

b

fbfaf

a

xx

¢

-=.

例5设函数()fx在区间[0,1]上二阶可导，且(0)(1)0ff==，证明至少存在一点

(0,1)xÎ，使得

2()

()

1

f

f

x

x

x

¢

ⅱ

=

-

分析要证明的结论可以表示为(1)()2()0ffxxx

ⅱ?

--=。将1x-看成x且()fx

¢

看成()fx，与情形（Ⅱ）比较，容易得到辅助函数可设为2()(1)()Fxxfx

¢

=-，显然()Fx

满足Roll定理的条件，至少存在一点(0,1)xÎ，使得()0Fx

¢

=，即

2()

()

1

f

f

x

x

x

¢

ⅱ

=

-

例6设0ab<<，函数()fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，证明

至少存在一点(,)abxÎ，使得

()()

()()

afbbfa

ff

ba

xxx

-

¢

=-

-

.

分析要证明的结论可以表示为

()()()1

()

fbfaafb

f

ba

x

x

xx

-

¢

-=?

-

，式（1）中

1

()px

x

=-，

()()1

()

bfaafb

qx

bax

-

=?

-

代入（2）式，得到辅助函数可设为

()()()1

()

fxbfaafb

Fx

xbax

-

=-?

-

.

显然，()Fx在闭区间[,]ab上连续，在开区间(,)ab内可导，且

()()

()()

fbfa

FaFb

ba

-

==

-

，满足Roll定理的条件，至少存在一点(,)abxÎ，使得

()0Fx

¢

=，即

()()

()()

afbbfa

ff

ba

xxx

-

¢

=-

-

.

说明要证明的结论可以表示为

()()

()()

11

fbbfaa

ff

ba

xxx

-

¢

=-

-

，显然等式左边是

两个函数

()fx

x

和()gx在区间[,]ab两个端点处函数值之差的比值，可以考虑用Cauchy中

值定理来证明.由等式右边的特点并结合情形（Ⅱ），可设

1

()gx

x

=.证明请读者自己完成.