概率的定义
-
2023年2月19日发(作者：)概率论的基本概念
.
第一章概率论的基本概念
【内容提要】
一、随机事件及其运算关系
1．随机现象在一定条件下，可能出现不同结果(不可预先确知的)
的现象。
2．随机试验在一定条件下，对随机现象进行观测或观察的过程。
随机试验具有如下特点:
⑴.可以在相同条件下重复进行；
⑵.每次试验的结果不止一个，并且能事先明确试验的所有可能结
果；
⑶.进行试验前不能确定到底会出现哪个结果。
3．样本空间对于随机试验，尽管在试验之前不能预知其结果，
但其所有可能结果是已知的，我们将
随机试验E的所有可能结果组成的集合称为其样本空间，用Ω表
示，并称ωΩ∈为样本点。
4．随机事件设Ω是随机试验E的样本空间，而{}()FAAΩΩ=是
的某些子集，且满足:⑴.()FΩΩ∈；
⑵.()AFΩ?∈,有()AAFΩΩ=-∈；
⑶.(),1,2,...kAFkΩ?∈=,有
1()kkAFΩ≤<+∞∈。
则称()FΩ是随机试验E的事件域，而称()AFΩ∈为随机事件。
注:设A为随机事件，则
⑴.A发生??包含于A中的任一样本点ω发生；
⑵.必然事件即样本空间Ω，而不可能事件即空集Φ。
5．随机事件的运算关系设,,,1,2,...,kABAkn=为随机事件，则
⑴．事件的包含关系:,ABABABωω∈∈事件发生时一定
会导致事件发生有；⑵．事件的相等关系:ABABBAAB
ωω=∈∈且当且仅当；
⑶．事件的和运算:{},A
BABABABωωω=∈∈??或发生当且仅当中至少发生其一，
{}12111,,,...,kkknknknAknAAAAAωω≤≤≤≤=≤≤∈??
存在发生当且仅当中至少发生其一；⑷．事件的积运算:{},A
BABABABωωω=∈∈??且发生当且仅当同时发生，
{}12111,,,...,kkknknknAknAAAAAωω≤≤≤≤=?≤≤∈??
发生当且仅当同时发生；积事件还可将省略，直接表示为
121knknAAAA≤≤=；
⑸．事件的差运算:{}()ABABABABωωω-=
∈-但发生当且仅当发生而不发生；
⑹．事件的互斥关系:ABABABΦ??=??与互斥与不能同时发生；
⑺．事件的对立关系:ABABABΦΩ??=+=与对立且，这时记B
AAΩ==-。
若1ijn?≤<≤，有ijAAΦ=，则称12,,,nAAA两两互斥，
这时，它们的和事件可表为:
1211kknkn
knAAAAA≤≤≤≤==+++∑。
注:事件的运算关系具有如下性质:
⑴．交换律:,A
BBAABBA==；⑵．结合律:()(),()()A
BCABCABCABC==；⑶．分配律:1111(
)(),()()kkkkknknknknABABABAB≤≤≤≤≤≤≤≤==
∏∏；
⑷．德摩根律:12121212(),()nnnnAAAAAAAAAAA
A==。
二、随机事件的频率与概率1．随机事件的频率设在相同条件下，
进行了n次试验，事件A发生了m次，则称()nmwAn=
为这n次试验中事件A发生的频率。事件的频率具有如下性质:
⑴．非负性:()AFΩ?∈，有0()1nwA≤≤；
⑵．规范性:()0,()1nnwwΦΩ==；
⑶．单调性:若AB?，则()()()0nnnwBAwBwA-=-≥；
⑷．可加性:若12,,,nAAA两两互斥，则121()()nmnkkm
wAAAwA≤≤+++=
∑；
⑸．稳定性:当n→+∞时，()nwAmn=将稳定到某一确定的值
()PA，称这个数()PA为事件A在
一次试验中发生的概率。事件的概率也具有类似的非负性、规范
性、单调性及可加性。
2．概率的公理化定义设Ω是随机试验E的样本空间，而{}
()FAAΩΩ=是的某些子集随机试验E的事件域，()PA是定义于
事件域()FΩ上实值函数，且满足以下条件:
⑴．非负性:()AFΩ?∈，有0()1PA≤≤；
⑵．规范性:()1PΩ=；
⑶．可列可加性:对任意可列无穷多个两两互斥的事件12,,...,...nA
AA，有11(
)()kkkkPAPA≤<+∞≤<+∞=∑∑。则称()PA为事件()AF
Ω∈的概率。事件的概率有如下性质:
⑴.不可能事件的概率为零，即()0PΦ=；
⑵.有限可加性:若12,,...,nAAA是两两互斥的事件，则11(
)()kkknkn
PAPA≤≤≤≤=∑∑；
⑶.单调性:若AB?，则()()()0PBAPBPA-=-≥；
⑷.对立事件的概率:()1()PAPA=-；
⑸.加法公式:对任意n个事件12,,,()nAAAFΩ∈，有:
1212111()()()()(1)()nniijijkninijnijknPAAAPAPA
APAAAPAAA≤≤≤<≤≤<<≤=-+
++-∑∑∑.
三、概率的计算
1．古典概率设随机试验E的样本空间Ω具有如下特点:
⑴．{}12,,...,nωωωΩ=是有限集合，即只包含n(有限)个互异的
样本点；
⑵．试验中每个样本点kω发生的可能性都相同(1,2,...,)kn=；
则称其为古典概率模型，此时，如果事件A包含的样本点数为m
A=，则事件A的概率应为:()PAmnAΩ==。
2．几何概率设随机试验E的样本空间Ω具有如下特点:
⑴．Ω是无限集合，但其测度()mΩ(长度、面积、体积等)有限，
即0()mΩ<<+∞；
⑵．任一事件A发生的概率与其测度()mA成正比；
则称其为几何概率模型，事件A的概率应为()()()PAmAmΩ=。
3．条件概率设,AB为两个事件，则规定在事件A发生的条件下
事件B发生的概率为:
()(),()0
()0,
()0PABPAPAPBAPA>??=?=??若若。条件概率也满足概
率的性质:
⑴．非负性:()BFΩ?∈，有0()1PBA≤≤；
⑵．规范性:()1PAΩ=；
⑶．可列可加性:若12,,...,,...nBBB两两互斥，则11(
)()kkkkPBAPBA≤<+∞≤<+∞
=∑∑。4．概率论基本公式
⑴．乘法公式:设12,,...,nAAA为2n≥个事件，则
()()()()()nnnPAAAPAPAAPAAAPAAAA
-=。
⑵．全概率公式与Bayes公式:设12,,...,nAAA两两互斥，且12n
BAAA?+++，则
1()()()kkknPBPAPBA≤≤=
∑，且1()()(),1()()
kkkiiinPAPBAPABknPAPBA≤≤=
≤≤∑。
5．事件的独立性:设12,,...,nAAA为2n≥个事件，且其中任意k
个事件的积事件之概率都等于这k个
事件的概率之乘积(2,3,...,)kn=，则称12,,...,nAAA相互独立。
【定理】设12,,...,nAAA相互独立，(1),01,1,2,...,kkkkkkBA
Aknλλλ=+-==或，则
⑴．12,,...,nAAA两两独立，且1212()()()()nnPAAAPAPA
PA=；
⑵．12,,...,nBBB相互独立，且[]121()(12)()nkkkknPBBB
PAλλ≤≤=
+-∏；⑶．[]12121()1()11()nnkknPAAAPAAAPA
≤≤=-=--∏。
【第一章作业】
一、单项选择题
1、在下列四个条件中，能使()()()PABPAPB-=-一定成立的是
(D)
A．A
B?；B．AB与独立；
C．AB与互斥；
D．BA?。
2、设随机事件,AB互斥，且()()0PAPB>>，则(D)
A．()1()PAP
B=-；B．()()()PABPAPB=；
C．()1PAB=；
D．()()()PABPAPB=+。
3、设,AB为随机事件，且()0,()1PBPAB>=，则必有(A)
A．()()PA
BPA=；B．()()()PABPAPB=；
C．()()PAPB=；
D．()()PABPA=。
4、将两封信随机地投入四个邮筒中，则未向前面两个邮筒中投信
的概率为(B)
A．12；
B．14；
C．34；
D．1。
5、某人向一目标连续射击，直到命中目标为止，每次命中的概率
为34，则射击次数为3的概率为(B)
A．3(34)；
B．334；
C．23
34；D．314。二、填空题
1、将一枚均匀的硬币抛掷3次，观察正、反面出现的情况，则此
随机试验的样本空间为:
{},,,,,,,HHHHHTHTHTHHHTTTHTTTHTTTΩ=；
2、设,,ABC为随机事件，用,,ABC的运算关系表示下列事件:
⑴．,,ABC中至少发生一个:ABC；
⑵．,,ABC中至多发生一个:ABCABCABCABC+++；
⑶．,AB发生而C不发生:ABC。
3、设,AB为随机事件，且()0.6,()0.7PAPB==，则()PAB的最
大值为0.6，最小值为0.3；
4、设,,ABC为随机事件，且()()()14,()()0,()1PAPBPCPABP
BCPAC======，则
,,ABC中至少发生一个的概率为58；
5、设,AB为随机事件，且()14,()13,()12PAPBAPAB===，
则()13PA
B=。
三、计算题
1、在150件产品中有40件次品、110件正品，任取20件产品，
求恰好有9件次品的概率及至少有2件
次品的概率。
解:90(9)0.03210PXCC===，
040110150(2)1(1)1()0.98815PXPXCCCC
≥=-≤=-+=。2、从5双不同的鞋子中任取4只，求所取的4只鞋子
中至少有2只能配成一双的概率。
解:41445210()1()1()13210.61905PAPACC=-=-==。
3、根据以往资料表明，某地区的三口之家中患某种传染病的情况
有如下规律:()0.6P=孩子得病,()0.5,()0.4PP==母亲得病父亲得病母
亲及孩子得病,求某三口之家中孩子及母亲得病而父亲未得病的概率。
解:[]()()()1()0.60.5(10.4)0.18PABCPAPBAPCAB=-=??-=。
4、某种商品的商标应为“MAXAM”,其中两个字母脱落,有人捡
起来后随意放回，求放回后仍为
“MAXAM”的概率。
解:用ijA表示脱落的字母为商标“MAXAM”中第,ij个字母(从
左数起)，15ij≤<≤，用B表示将脱落的字母放回后仍为
“MAXAM”,则
2511(),1510ijPAijC==≤<≤，1,(,)(1,5)(2,4)()12,(,)(1,5),(2,4)ij
ijPBAij=?=?≠?若或若，故151113()()()2180.6101025
ijijijPBPAPBA≤<≤==?
+??==∑。5、在10件产品中有2件次品、8件正品，从中不放
回地任取2件产品，求下列事件的概率:
⑴.两件都是正品:20218210()2845PBCC==；
⑵.两件都是次品:02228210()145PBCCC==；
⑶.一件是正品、另一件是次品:11238210()1645PBCCC==；
⑷.第二件是次品:4()()()()()1091095
PBPAPAAPAPAA=+=?+?=。6、高射炮向敌机发射三枚
炮弹，设每发炮弹击中敌机的概率为0.3(每发击中与否相互独立)，而
敌机
中一弹时坠落的概率为0.2，中两弹时坠落的概率为0.6，中三弹
时坠落的概率为1。
⑴.求敌机被击落的概率；
⑵.若敌机被击落，求它只中一弹的概率。
解:用iA表示敌机中i弹，03i≤≤，用B表示敌机被击落,则
33()0.30.7,03iiiiPACi-=≤≤，0,00.2,1()0.6,
21,
3iiiPBAii=??=?=?=??=?若若若若，故
322303()()()0.7030.30.70.230.30.70.60.310.2286iiiPBPAPBA
≤≤==?+++?=∑，
2111()()30.30.70.2()0.38583()0.2286
PAPBAPABPB===。7、已知男子中有005是色盲患
者，女子中有000.25是色盲患者，现从男女人数相等的人群中随机地
选
一人，问此人是色盲患者的概率为多少?若已知此人是色盲患者，
求此人是男性的概率。
解:用A表示所选人为男性，B表示所选人为色盲患者，则
()()0.5PAPA==，00()5PBA=，00()0.25PBA=，故
000000()()()()()0.550.50.252.625PBPAPBAPAPBA
=+=?+?=，
0000()()0.5520()0.95238()2.62521
PAPBAPABPB?====。8、甲、乙、丙三人独立地去破译
密码，已知甲、乙、丙各自能译出密码的概率分别为12,13,14，
问三人中至少有一人能将此密码译出的概率为多少?
解:用,,ABC分别表示甲、乙、丙三人能将此密码译出，则
()1()1(112)(113)(114)340.75PABCPABC=-=----==。
9、,,ABC三人同在一间办公室工作，房间内有一部电话，据统计
知，来电是打给,,ABC的概率分别为25,25,15，他们三人常因公外
出，,,ABC三人外出的概率分别为12,14,14，且三人的行动相互独立，
求⑴.无人接电话的概率；⑵.被呼叫人在办公室的概率；某一时段打进
来三个电话，求⑶.这三个电话都是打给同一人的概率；⑷.这三个电话
是打给不同人的概率；⑸.这三个电话都是打给B的条件下，而B却都
不在办公室的概率。
解:用123,,AAA分别表示电话是打给,,ABC的，123,,BBB分
别表示,,ABC因公外出，则
⑴.123131111()()()24432kkPPBBBPB≤≤==
=??=∏无人接电话；⑵.[]3()()()1()52545420
kkkkkkPPABPAPB≤≤≤≤==-=?+?+?=∑∑被呼叫人在
办公室；⑶.[]33331322117()()()()()555125
kkPPA≤≤==++=∑三个电话都是打给同一人的；
⑷.()6()6()()()6555125
PPAAAPAPAPA====三个电话是打给不同的人；
⑸.[]33211()()()464
PBBPB===都不在办公室三个电话是打给的。