等效应力
鸡舍-卷积的物理意义
2023年2月23日发(作者：贸易公司名字)4应力应变关系
4.1弹性变形时应力和应变的关系
当材料所受应力小于其线弹性极限时，材料应力应变间的关系服从广义Hooke
定律，即
1
()
1
()
1
()
111
222
xxyz
yyxz
zzxy
xyxyyzyzzxzx
E
E
E
GGG
，，
（4.1）
式中，E为拉压弹性模量，G为剪切模量，为泊松比，对于各向同性材料，三个常
数之间满足
21
E
G
关系。
由上式可得
11212
()()
33mxyzxyzmEE
（4.2）
于是
11
()'
2xmxmxEG
或
1112
''
22xmxxmGGE
类似地可以得到
1112
''
22ymyymGGE
1112
''
22zmzzmGGE
于是，方程（4.1）可写成如下形式
12
1
2
'
00
'00
00
'
xxyxzxxyxz
m
v
yxyyzyxyyzm
GE
m
zxzyzzxzyz
即
'
112
2ijijmijijmGE
（4.3）
显然，弹性变形包括体积改变的变形和形状改变的变形。前者与球应力分量成正
比，即
12
mmE
（4.4）
后者与偏差应力分量成正比，即
''
1
2
''
1
2
''
1
2
111
222
xxmx
G
yymy
G
zzmz
G
xyxyyzyzzxzx
GGG
，，
或简写为
2
ijij
G
（4.5）
此即为广义Hooke定律。
4.2塑性变形时应力和应变的关系
弹性力学是以应力与应变成线性关系的广义Hooke定律为其基础的；而在塑性
力学的范围内，一般来说，应力与应变间的关系是非线性的，同时这种非线性的特征，
又与所研究的具体材料和塑性应变有关。
塑性变形过程中的应力应变关系十分复杂，相关的理论较多，但可将它们分为两
大类，即增量理论和全量理论。
4.2.1增量理论
在弹性极限范围内，弹性全量应变与当时的应力状态有确定的一一对应关系，而
与加载的历程无关。但由于塑性变形的不可恢复性，塑性全量应变与当时的应力状态
不是单值关系，而与加载的历史有关。图4.1所示低碳钢拉伸实验的结果表明：在应
力超过弹性极限条件下卸载时，其应力应变基本呈平行于弹性线的线性关系，直到材
料反向时的屈服极限'
s
，这就是材料的卸载规律（图4.1a）。因此，当材料发生塑性
图4.1单向拉伸随加载历史变化的应力应变关系
变形时，即使应力水平相同，不同加载历程所对应的应变值也会不同（图4.1b）。同
样，对于同一应变值，不同加载历程所对应的应力值也会不同（图4.1c）。因此，只
有明确了加载历程，才能得到应力应变间的对应关系。
既然塑性变形时的应变与加载历史有关，而且也不容易得到全量应变与应力状态
间的对应关系，人们自然想到建立塑性变形每一瞬时应变增量与当时应力状态之间的
关系，又因为金属塑性变形过程中体积的变化可以忽略，人们又会想到建立每一瞬时
应变增量与当时应力偏量之间的关系，增量理论便建立了这样的关系，这里的“增量”
指的是应变增量，是相对全量应变而言的。
增量理论又称流动理论，是历史上最早提出来的阐述塑性变形过程应力应变关系
的理论，代表性的有Levy-Mises（列维－米赛斯）理论和Prandtl-Reuss（普朗特－劳
斯）理论。
4.2.1.1Levy-Mises理论
（圣维南）首先提出了应变增量主轴与应力主轴相重合的假定。1871年
Levy进一步提出塑性变形过程中应变增量的各分量与相应的应力偏量分量成比例；
1913年Mises独立地提出了同样假设，并考虑到材料达到塑性状态后的塑性变形较
大，因此建议忽略变形中的弹性部分（假定为刚塑性材料），即假定塑性应变增量与
应力偏量主轴或应力的主方向重合，即
d
zx
zx
yz
yz
xy
xy
z
z
y
y
x
x
d
dd
d
d
d
'''（4.6a）
或
dd
ijij
'
（4.6b）
该式称为Levy-Mises流动法则，它说明：塑性变形时，应变增量主轴与应力偏
量主轴重合，即与应力主轴重合；应变增量的各分量与应力偏量的各相应分量成正比。
显然，上式在主轴的情况下为
dd
dd
'
3
3
'
2
2
'
1
1
（4.7）
或表达为应变增量张量与应力张量之间的关系，即
21
32
21
32
21
32
()
()
()
xxyz
yyzx
zzxy
xyxyyzyzzxzx
dd
dd
dd
dddddd
，，
（4.8）
式中，d为瞬时的非负比例系数，它在塑性变形过程中是变化的。
将式（4.7）代入式（3.40），得
222
2''''''
122331
222
2
122331
2
9
2
9
e
dd
d
参照等效应力式（3.30a），可得等效应变增量和等效应力之间的函数关系
3
2
e
e
d
d
（4.9）
于是，式（4.6）可写为
'
'
'
33
,
22
33
,
22
33
,
22
ee
xxxyxy
ee
ee
yyyzyz
ee
ee
zzzxzx
ee
dd
dd
dd
dd
dd
dd
（4.10）
或写作张量形式
'
3
2
e
ijij
e
d
d
（4.11）
于是，通过等效应力和等效应变增量式，Levy-Mises塑性应力应变关系式中的比例系
数d便可计算出来，从而通过应力状态可以求出应变增量的具体值。
式（4.11）与广义Hooke定律的结构极为相似，只不过等式左边为应变增量，比例
系数为瞬时变化值，这正好体现了塑性变形与弹性变形的不同。
若某平面应变状态的z向没有应变，即
z
d
＝0，则按照式（4.6）有'
z
＝0，此时
0
3
xyz
zz
，
1
()
2zxy
在主轴坐标系下则有
213
1
()
2
，此即平面应变条件下应力间应满足的关系。
4.2.1.2Prandtl-Reuss理论
当变形较小，如应变的弹性部分和塑性部分属于同一量级时，忽略弹性变形将会
带来较大误差，此时总应变增量应由弹性应变增量和塑性应变增量两部分组成，即
e
ij
p
ijij
ddd
前者为塑性部分，由（4.6）式确定，即
dd
ij
p
ij
'
后者为弹性部分，由（4.3）式确定，即
'
12
1
2
'e
v
ijijmijijm
GE
ddddd
于是
''
12
1
2
v
ijijijijm
GE
dddd＋（4.12）
上式即为Prandtl-Reuss理论。
Prandtl-Reuss理论与Levy-Mises理论的差别在于前者考虑了塑性区的弹性应变
部分，因而得出了不同的本构方程式。
增量理论建立了各瞬时应变增量和应力偏量之间的关系，考虑了加载过程对变形
的影响，能反映复杂的加载情况，并不受加载条件的限制。但变形终了的应变需由各
瞬时的应变增量积分得出，因此实际应用较为复杂。
需要说明的是，Levy-Mises理论和Prandtl-Reuss理论都只能在加载的情况下使
用，卸载时须按Hooke定律计算。
4.2.2全量理论
全量理论又称形变理论，它所建立的是应力与应变全量之间的关系，这一点和弹
性理论极为相似，但全量理论要求变形体受简单加载，即要求各应力分量在加载过程
中按同一比例增加，因而变形体内各点的应力主轴方向不发生变化，显然，这一要求
限定了全量理论的应用范围。
4.2.2.1Hencky（汉基）理论
Hencky小塑性变形理论描述了偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量间的函
数关系，即偏差塑性应变分量与相应的偏差应力分量及切应力分量成正比，即
zx
p
zx
yz
p
yz
xy
p
xy
z
p
z
y
p
y
x
p
x
'
'
'
'
'
')(
)(
)(
（4.13a）
或
'p
ijij
（4.13b）
式中，—瞬时的正值比例常数，在整个加载过程中可能为变量。
因为p
x
p
m
p
x
p
x
)('，所以，式（4.13）也可改写为
zx
p
zx
yz
p
yz
xy
p
xy
z
p
z
y
p
y
x
p
x
'''（4.14a）
即
'p
ijij
（4.14b）
或
pppp
pp
xyyz
zx
xyyzzx
（4.14c）
4.2.2.2A.Ильющин（依留辛）简单加载定理
在Hencky和Nadai（纳代依）工作的基础上，A.Ильющин于1943年将形
变理论的形式和所必须满足的条件进行了整理，提出了物体内每个单元都处于简单加
载的具体条件，并认为物体处于简单加载状态，即当外荷载从一开始即按同一比例系
数增加时，由形变理论计算的结果是正确的。
满足简单加载的四个具体条件是：
(1)小变形，即塑性变形和弹性变形属于同一量级；
(2)
12
，即材料为不可压缩体；
(3)荷载（包括体力）按比例单调增长，变形体处于主动变形过程，即应力强度
不断增加，在变形过程中不出现中间卸载的情况，如有位移边界条件，只能是零位移
边界条件；
(4)材料的应力——应变曲线具有n
ee
A的幂函数形式。
4.2.3全量理论和增量理论的关系
既然全量理论和增量理论都适用于简单加载（比例加载），那么，这两种理论在
比例加载条件下的结果应该是一致的。对简单加载
0
ijij
c
，0
ee
c
，0
ijij
ddc
式中，c为随时间变化的参数，0
e
及0
ij
分别为等效应力和应力偏量的初始值。于是，
根据程式（4.11），有
00
00
333
222
eee
ijijijij
eee
ddd
dc
c
积分得
0
0
3
2
ij
ijije
e
dd
在加载过程中，应变分量的增量比例保持不变，即
000
3
::::::::dddccc
，将其代入式（3.40）得
222
122331
222
2233
1
1111
2
9
2
11
9
e
ddddddd
cccc
d
cccc
对上式进行积分运算，设初始应变为零，则积分常数为零，于是
2222
122331123
22
93e
d
或
2
0
123
2
123
0
2
3
23
3
232
ij
ijijij
ee
上式即为Hencky理论式（4.14b）。此外，由推导过程得知，Hencky理论式中
的瞬时正值比例常数
2
123
2
33
3
22
e
ee
（4.15）
全量理论表示瞬时应力状态和塑性全应变间的一一对应关系，这在数学处理上比
较方便，近年的应用实践表明，全量理论的应用范围大大超过了微小变形和简单加载
条件的限制。然而该理论仍缺乏普遍性，研究大塑性变形的一般问题最好还是采用增
量理论。全量理论与增量理论的比较见表4.1所示。
表4.1增量理论与全量理论的简单比较
弹性应变塑性应变泊松比
应变大
小
加载
条件
材料
模型
建立
年代
全
量
理
Henky
'
2
ij
e
ijG
'p
ijij
0.5
小应变
简单
加载
理想
弹塑
性
1924
4.2.4卸载时的应力应变关系
图4.2为强化材料单向拉伸时的应力应变图示。当单向拉伸试件加载至应力*
1
（*
1s
）时开始卸载至
1
，卸载应力——应变关系符合弹性规律，即
**
1111
E
（4.16）
与之相应，应力的改变量*
111
，应变的改变量*
111
，物体内的残余变
形*
111
。
对于外力按比例减小的简单卸载，复杂应力状态下应力和应变分量的改变量之间
也存在类似的线性关系。
由于加载时应力和应变改变量按弹塑性体计算，而卸载时则按弹性体计算，故当
全部荷载卸除后物体内会有残余应力和应变存在，显然，其数值为卸载前后值之差。
论
3
2
e
e
依留辛
'
2
ij
e
ijG
'p
ijij
3
2
e
e
0.5
小应变
简单
加载
幂强
化材
料
1943
增
量
理
论
Levy-
Mises
0e
ij
d
dd
ijij
'
3
2
e
e
d
d
0.5
增量（每
个瞬间
是小应
变）
复杂
加载
理想
刚塑
性
1871
，
1913
Prandtl
-Reuss
2
ij
e
ij
d
d
G
dd
ij
p
ij
'
3
2
e
e
d
d
0.5
增量（每
个瞬间
是小应
变）
复杂
加载
理想
弹塑
性
1924
，
1930
图4.2单向拉伸加卸载应力应变图
在单向拉伸过程中，当轴向应力
1
增加即
1
0d
时，为加载过程；当
1
0d
时，
为卸载过程。对复杂应力状态来说，可以使用等效应力的增量
e
d
来判断加卸载过程。
对于理想刚塑性材料，应力点只能在屈服曲面上移动，且屈服面不能扩大，因此
0
e
d
即为加载过程，此时应力点保持在屈服面上，而塑性变形可以任意增大；而
0
e
d
为卸载过程。对于强化材料来说，应力需要不断增加才能继续发生塑性变形，
因此
0
e
d
为加载过程；而
0
e
d
为卸载过程；当
0
e
d
时，相当于应力状态从
一个塑性状态过渡到另一个塑性状态，但不引起新的塑性变形，此即强化材料的中性
变载过程。
4.3塑性应力应变关系的实验验证
按增量理论式（4.6），在主轴坐标系条件下，有
2313
12
122313
dddd
dd
d
（4.17）
若令应变Lode（罗德）参数
2321
13
d
dddd
dd
（4.18）
则
d
。
图4.3给出了若干实验结果，显然，上述关系式成立。至于实验结果与上述关系
式之间存在小偏差的原因，一般认为是材料各向异性所致。若在实验中能较好消除材
料的各向异性，实验结果支持两Lode参数相等的结论，从而验证了应变增量偏量和
应力偏量成比例的假设。
图4.3塑性应力应变关系的实验验证
思考与练习
1.弹性变形时应力与应变有何关系？弹性变形包括几部分变形？各部分与应力有
何对应关系？
2.试确定理想刚塑性材料单向拉伸应力状态、单向压缩应力状态、纯剪切应力状态
的塑性应变增量之比。
3.已知：
1231
,,0
33
p
ssdC
，，试求：
p
p
i
ppdWddd,,,
32
。
4.作用在物体上的三个主应力
123
60,30,0MPaMPa，求比值
31
dd，如
果在原有应力状态上叠加一个40
m
MPa的静水压力，比值
31
dd如何变化，并
解释这一结果。
5.一薄壁管承受拉力和扭矩的联合作用而屈服，已知材料的屈服应力为
s
，轴向正
应力分量2
zs
，试求切应力
z
及应变增量各分量的比值。
6.某理想塑性材料的屈服应力为150N/mm2，已知某点的应变增量为
2
0.10.050.05
0.050.1010
0.0500.2
ij
d
平均应力为50N/mm2，试确定该点的应力状态。
7.已知
123
10,2,586.5
ee
MPaMPaMPa，，求
123
,,。
8.图示受扭圆轴为理想弹塑性体，试求：
a)圆轴弹性极限扭矩；
b)弹塑性分界半径R与扭转角之间的关系；
c)卸载后的残余应力和残余应变值。
图4.4受扭圆轴
9.一刚塑性硬化材料的等效应力－－等效应变曲线为22001/
ee
Nmm
。某质
点承受两向应力，应力主轴始终不变。试按下列两种加载路线分别求出最终的塑性全
量主应变
123
、、。
a）主应力从0开始直接按比例加载到20,0,200/Nmm30
；
b）主应力从0开始按比例加载到2,0,100/Nmm-150
，然后按比例变载到
20,0,200/Nmm30
。