向量求导

向量求导

adyen-度厄星君

2023年2月22日发(作者：变量代换)

1/2

导数知识点：

1、

)(xfy在

0

x处的导数，记作)(

0

'xf或

0

|'

xx

y



，即)(

0

'xf=

x

xfxxf

x

y

xx











)()(

limlim00

00

.

2.导数的几何意义：

函数)(xfy在点

0

x处的导数的几何意义就是曲线)(xfy在点))(,(

0

xfx处的切线的斜率，也就是说，曲

线)(xfy在点P))(,(

0

xfx处的切线的斜率是)(

0

'xf，切线方程为).)((

0

'

0

xxxfyy

3.求导数的四则运算法则：

''')(vuvu

)(...)()()(...)()(''

2

'

1

'

21

xfxfxfyxfxfxfy

nn



''''''')()(cvcvvccvuvvuuv

（

c

为常数）

)0(

2

''

'



















v

v

uvvu

v

u

4.复合函数的求导法则：

)()())((''

'xufxf

x



或

xux

uyy'''

5.函数单调性：

⑴函数单调性的判定方法：设函数)(xfy在某个区间内可导，如果)('xf＞0，则)(xfy为增函数；如

果)('xf＜0，则)(xfy为减函数.

⑵常数的判定方法；

如果函数)(xfy在区间

I

内恒有)('xf=0，则)(xfy为常数.

6.几种常见的函数导数：

0'C（

C

为常数）

1')(nnnxx（

Rn

）

xxee')(aaaxxln)('

x

x

1

)(ln'

e

x

x

aa

log

1

)(log'

xxcos)(sin'xxsin)(cos'

2/2

空间向量知识点：

1、令

a

=(a1,a2,a3),

),,(

321

bbbb

，则

),,(

332211

babababa

，

))(,,(

321

Raaaa，

332211

babababa

，

a∥

)(,,

332211

Rbababab

3

3

2

2

1

1

b

a

b

a

b

a

。

0

332211

babababa

。

222

3

2

1

aaaaaa(向量模与向量之间的转化：aaaaaa2)

空间两个向量的夹角公式

2

3

2

2

2

1

2

3

2

2

2

1

332211

||||

,cos

bbbaaa

bababa

ba

ba

ba

























2、空间两点的距离公式：2

12

2

12

2

12

)()()(zzyyxxd

.

3、向量的常用方法：

①利用法向量求点到面的距离定理：如图，设n是平面的法向量，AB是平面的一条射线，其中

A

，则点B到平面的距离为

||

||

n

nAB

.

②.直线

AB

与平面所成角

|

||||

|sin

mAB

mAB

(m为平面的法向量).

③.利用法向量求二面角的平面角定理：设

21

,nn

分别是二面角l中平面,的法向量，则

21

,nn

所成的角就是所求二面角的平面角或其补角大小（

21

,nn

方向相同，则为补角，

21

,nn

反方，则为其夹角）.

二面角l的平面角

|

||||

||cos|

mn

mn

（m，n为平面，的法向量）.